В треугольнике fly k60 0 f k 4 k y 5 найдите f y
В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №9 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.
Как формулируется задание 9 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.
Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.
Вот необходимая теория для решения задания №9 ЕГЭ.
Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 9 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.
Рекомендации:
Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)
Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?
Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.
Задание 9 в формате ЕГЭ-2021
Линейная функция
1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором
Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:
Вычтем из первого уравнения второе:
Уравнение прямой имеет вид:
Найдем, при каком значение функции равно -13,5.
2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Запишем формулы функций.
Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция
Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции
Вычтем из первого уравнения второе.
Прямая задается формулой:
Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:
3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).
Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен
Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: эта прямая задается формулой
Для точки пересечения прямых:
Квадратичная функция. Необходимая теория
4. На рисунке изображен график функции Найдите b.
На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции сдвигом на 1 вправо, то есть
5. На рисунке изображен график функции . Найдите с.
На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при положительный. График сдвинут относительно графика функции на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид .
6. На рисунке изображён график функции Найдите
График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:
Формула функции имеет вид:
7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому
График функции проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:
Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:
(это абсцисса точки A) или (это абсцисса точки B).
Степенные функции. Необходимая теория
8. На рисунке изображены графики функций и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
График функции проходит через точку (2; 1); значит,
График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда
Для точек A и B имеем:
Отсюда (абсцисса точки A) или (абсцисса точки B).
9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).
Функция задана формулой:
Ее график проходит через точку (4; 5); значит,
10. На рисунке изображен график функции . Найдите .
График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = - 1. Тогда =5.
Показательная функция. Необходимая теория
11. На рисунке изображён график функции Найдите
График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:
Поделим второе уравнение на первое:
Подставим во второе уравнение:
12. На рисунке изображен график функции . Найдите
График функции проходит через точку Это значит, что
формула функции имеет вид: .
Логарифмическая функция. Необходимая теория
13. На рисунке изображён график функции Найдите
График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.
Вычтем из второго уравнения первое:
или — не подходит, так как (как основание логарифма).
14. На рисунке изображен график функции .
График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:
Тригонометрические функции. Необходимая теория
15. На рисунке изображён график функции Найдите
График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).
Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на .
16. На рисунке изображён график функции
На рисунке — график функции Так как
График функции проходит через точку A Подставим и координаты точки А в формулу функции.
Так как получим:
17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения
Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то
Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:
Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 9 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.
Ознакомьтесь с Проектом Демонстрационного варианта ЕГЭ 2022 по математике, который здесь представлен с решениями всех заданий первой части - заданий с кратким ответом.
Здесь вы можете ознакомиться с первой частью варианта и поработать над заданиями профильного уровня с кратким ответом. Вторая часть варианта – задания профильного уровня с развёрнутым ответом – представлена в разделе Профильный уровень. Задачи с развёрнутым ответом.
В демонстрационном варианте представлено по несколько примеров заданий на некоторые позиции экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию будет предложено только одно задание.
Чтобы ознакомиться с содержанием экзамена базового уровня, перейдите на страницу с интерактивной Демоверсией базового уровня.
Сдадим ЕГЭ по математике? Легко!
Нужны такие материалы в сети? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Задание 1
Найдите корень уравнения 3 x − 5 = 81 .
Найдите корень уравнения √3x + 49 ______ = 10.
Найдите корень уравнения log8(5x + 47) = 3 .
По определению логарифма \( 8^3 = 5x+47.\)\(5x+47 = 512;\;\;5x=465;\;\;x=93.\)
Решите уравнение √2x + 3 ______ = x.
Если корней окажется несколько, то в ответ запишите наименьший из них.
\(x_1 2 :2 2 , т.е. площадь отсеченного треугольника составляет четверть площади исходног: 24:4 = 6.
В ромбе ABCD угол DBA равен 13°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.
Задание 4
\[\sin = 2\sin\cos;\\ \sin^2= 1- \cos^2 = 1 - 0,6^2 = 1-0,36=0,64;\\ \sin = \pm\sqrt = \pm0,8.\] По условию \(\pi \(16\log_<(\sqrt[\Large4])>\) .Задание 5
В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.
Объём цилиндра можно найти по формуле \(V = \pi r^2 h\).Таким образом, объём жидкости в первом сосуде составляет \(\pi r_1^2\cdot16\), во втором – \(\pi (2r_1)^2\cdot h_2\). При переливании жидкости её объём сохраняется, следовательно \[\pi r_1^2\cdot16 = \pi (2r_1)^2\cdot h_2; \\ 16r_1^2 = 4r_1^2h_2;\;\; h_2=4.\]
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Площадь боковой поверхности призмы состоит из суммы площадей 3-ёх параллелограммов. Плоскость, параллельная боковому ребру, пересекает две грани призмы по прямым, параллельным рёбрам. Легко доказать, что при заданном условии эти прямые делят каждую грань на два равных параллелограмма.Проведенная плоскость образует новую грань отсечённой призмы, которая также составляет половинку противолежащей грани исходной призмы (по свойствам средней линии треугольника). Таким образом, площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы составляет половину заданной площади: 24:2 = 12.
Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2 , считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?
Разделив высоту конуса в отношении 1:2, получим, что высота меньшего конуса (верхней части) составляет одну третью часть высоты большего (исходного) конуса.
Так как маленький конус полностью подобен большому, то можно воспользоваться правилами подобия: если линейные размеры подобных фигур относятся с коэффициентом \(k\), то их объёмы относятся с коэффициентом \(k^3\).
\[k = \frac; \;\; k^3 = \frac\] Следовательно, объём маленького конуса равен \(54:27=2,\) а объём нижней части большого конуса \(54-2 = 52.\)
Задание 6
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x) . На оси абсцисс отмечены девять точек: x1 , x2 , . x9.
Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f'(x) в точке x0.
Для получения абсолютной величины числа нужно построить на клеточках прямоугольный треугольник так, чтобы его гипотенуза располагалась на касательной, а вершины строго в узлах клеток. Отношение длины катета, параллельного оси Oy к длине катета, параллельного оси Oх, даёт значение тангенса нужного угла.
Задание 7
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0 — частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
Первым делом убеждаемся, что размерности всех величин в формуле, в условии задачи и в вопросе к заданию заданы в единой системе единиц. Если требуется, например, переход от километров к метрам или от секунд к часам, выполняем соответствующие вычисления.
Задание 8
Весной катер идёт против течения реки в 1 2 _ 3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 1 _ 2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
Обозначим символом v собственную скорость катера (км/ч), символом x - скорость течения реки весной (км/ч). Тогда скорость течения реки летом составляет (x - 1) км/ч. Имеем
весной: катер идёт против течения со скоростью (v - x), по течению со скоростью (v + x). По условию первая скорость в 1 2 /3 раза меньше, т.е.
(v + x)/(v - x) = 1 2 /3 ;
летом: катер идёт против течения со скоростью (v - (x - 1)), по течению со скоростью (v + (x - 1)). По условию первая скорость в 1 1 /2 раза меньше, т.е.
(v + (x - 1))/(v - (x - 1)) = 1 1 /2 .
Объединяем уравнения в систему и решаем её:
Ответ: 5
Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса первого раствора \(x\;кг,\) второго – \(у\;кг.\) При смешивании растворов количество кислоты в смесях сохраняется. Вычисляем количество кислоты в растворах до и после смешивания, получившиеся "законы сохранения" для обоих случаев объединяем в систему уравнений. \[\beginАвтомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч . Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?
Первый автомобиль движется относительно второго со скоростью \( 70-40=30 (км/ч).\) Следовательно за 15 минут после обгона он удалится на расстояние \(30\cdot15:60 = 7,5 (км).\)Задание 9
На рисунке изображён график функции вида \(f(x)= ax^2 + bx + c,\) где числа \(a, b\; и \;c\) — целые. Найдите значение \(f(-12)\).
Формула функции – квадратный трёхчлен, график функции – парабола. Требуется определить значение функции в точке, которая не видна на графике, поэтому нужно воспользоваться формулой. Для этого сначала нужно уточнить формулу, т.е. определить неизвестные коэффициенты квадратного трёхчлена.
Три неизвестных коэффициента можно найти путём решения системы трёх линейных уравнений. Чтобы составить такую систему уравнений, берём на графике три "удобные" точки и подставляем их координаты в формулу функции.
Точки "удобны", если их координаты хорошо считываются, например, находятся в узлах сетки, или мы о них что-то знаем из теории. Для параболы очень хорошими точками являются вершина и точка пересечения с осью ординат. К сожалению, последняя на заданном участке графика также не видна.
На рисунке показаны выбранные мною точки, которые задают следующие соотношения \[x_в=-4\;\Rightarrow\;-\frac = -4;\\ f(-3)=-2\; \Rightarrow\;a(-3)^2 + b(-3) + c = -2;\\ f(-2)=1\;\Rightarrow\;a(-2)^2 + b(-2) + c = 1.\] Получили ситему уравнений \[ \begin -\dfrac = -4,\\ 9a -3b + c = -2,\\ 4a -2b + c = 1. \end\] Решаем её \[\begin b = 8a,\\9a -24a + c = -2,\\4a -16a + c = 1; \end\; \begin b = 8a,\\c = 15a-2,\\c = 12a+1; \end\; \begin b = 8a,\\0 = 3a-3,\\c = 12a+1; \end\; \begin b = 8,\\a = 1,\\c = 13.\\ \end\] Таким образом, уравнение функции имеет вид \(f(x)= x^2 + 8x + 13\), чтобы найти её значение в заданной точке, подставляем −12 в формулу \[f(-12)= (-12)^2 + 8\cdot(-12) +13 = 144-96+13 = 61.\]
Так как по графику хорошо считывается вершина параболы – точка с координатами (−4;−3), то имеет смысл вспомнить, что вершина параболы связана с коэффициентами квадратного трёхчлена формулами \[x_в = -\dfrac;\;y_в = -\dfrac.\] И формулу функции (квадратный трёхчлен) представить в преобразованном виде \[ax^2 + bx + c = a\left(x+\frac\right)^2-\frac = a(x-x_в)^2 + y_в = a(x+4)^2 -3.\] В формуле остался один неизвестный коэффициент. Чтобы найти его значение, считаем с графика координаты еще одной точки, например (−3;−2) и подставим их в уравнение. \[f(x) = a\left(x+4\right)^2 -3\\ -2 = a(-3+4)^2 -3\;\; \Rightarrow \;\; a = 1.\] Таким образом, формула приобрела вид \(f(x) = (x+4)^2 -3\). Подстановкой находим искомое значение \(f(-12) = (-12+4)^2 -3 = 64-3=61.\)
Ответ: 61
Задание 10
Симметричную игральную кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало три очка»?
Используем классическое определение вероятности \(P =\dfrac,\) где \(n -\) общее число исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Чтобы найти количество исходов, рассмотрим из каких трёх слагаемых может состоять число 6.
1) 6 = 1+2+3;
2) 6 = 2+2+2;
3) 6 = 4+1+1.
При трёхкратном бросании игральной кости вариант 1 может реализоваться 6-ю способами, т.к. очки могут выпадать в любом порядке: перестановки из 3-ёх элементов 3! = 6.
Вариант 2 может реализоваться только одним способом.
Вариант 3 реализуется 3-мя способами: 4 очка могут выпасть при первом, или при втором, или при третьем бросании.
Итого \(n = 6+1+3 = 10.\)
В первом варианте тройка присутствует по одному разу в каждом из 6-ти способов. Во втором и третьем вариантах тройки вообще нет.
Итого \(m = 6.\) \[P =\frac = \frac = 0,6.\]
В городе 48% взрослого населения мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причем доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Используем И/ИЛИ-правила (правила умножения/сложения вероятностей).
От долей населения в процентах перейдём к соответствующим вероятностям в десятичных дробях. (Это можно сделать, опираясь на такое доказательство: если в городе живёт N взрослых человек и 48% из них мужчины, то мужчин в городе живёт \(\dfrac,\) тогда вероятность встретить взрослого мужчину составляет \(\dfrac = \dfrac = 0,48.)\)
Неизвестную вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером» обозначим x. А находить будем вероятность другого, более общего события «выбранный взрослый житель города является пенсионером». Это событие можно записать так:
"Житель города является пенсионером, если он мужчина И при этом пенсионер ИЛИ она женщина И при этом пенсионер".
Учитывая независимость и несовместимость событий (один человек не может быть одновременно женщиной и мужчиной, быть и не быть персионером), к "И" применяем правило умножения вероятностей, к "ИЛИ" - правило сложения вероятностей. Получим формулу для вероятностей
- Событие П - "Житель города является пенсионером". Вероятность этого события P(П) = 0,126 находим в условии задачи (пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения).
- Событие М - "Этот житель города является мужчиной". Вероятность этого события P(М) = 0,48 находим в условии задачи.
- Событие МП - "Выбранный мужчина является пенсионером". Вероятность этого события мы приняли за x.
- Событие Ж - "Этот житель города является женщиной". Вероятность этого события P(Ж) = 1 − 0,48 = 0,52, так как оно противоположно событию "житель города мужчина".
- Событие ЖП - "Выбранная женщина является пенсионеркой". Вероятность этого события P(ЖП) = 0,15 находим в условии задачи (доля пенсионеров среди женщин равна 15%).
Задание 11
Найдите наименьшее значение функции \[y = 9x - 9\ln <(x + 11)>+ 7\] на отрезке [−10,5; 0].
Наименьшее значение функции на отрезке может достигаться в точке минимума внутри отрезка или на одном из его краёв.Ищем точку (точки, если их несколько), в которых производная равна нулю или не существует – точки возможных экстремумов.
\[y' = (9x - 9\ln <(x + 11)>+ 7)' = 9 - \frac = \frac;\\ \frac = 0\; \Leftrightarrow \; x_1 = -10, \; x_2 = -11.\] Так как "подозрительных" точек внутри отрезка мало, точнее, всего одна \(x_1=-10\) (\(x_2 0 \\ y'(-12) = \dfrac = \dfrac = 18 >0.\)
4) Делаем выводы: на заданном отрезке находится только точка минимума функции \(x = -10\), следовательно в ней и достигается наименьшее значение \(y(-10) = -83.\)
Замечание: Если всё-таки требуется оценить значения ln2 и ln11, нужно составить неравенства.
Вспомним, что натуральный логарифм - это логарифм по основанию \(e = 2,718. \) и функция lnx является монотонно возрастающей, поэтому
\(\sqrt -87,5+9\cdot0,5 > -83;\\ e^2 7-9\cdot3 > -83.\)
Найдите точку максимума функции \[y = (x + 8)^2\cdot e^.\]
1) \(y'=\left((x + 8)^2\cdot e^\right)'=\left((x + 8)^2\right)'\cdot e^+(x + 8)^2\cdot\left( e^\right)' = \\ = 2(x+8)\cdot e^ +(x + 8)^2\cdot e^\cdot(3-x)' = 2(x+8)\cdot e^ - (x + 8)^2\cdot e^ = \\= e^\cdot(x+8)\cdot(2-x-8)=-e^\cdot(x+8)\cdot(x+6);\)
2) \(-e^\cdot(x+8)\cdot(x+6) = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;(x+8)(x+6)= 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_1 = -8,\;x_2 = -6; \)
Найдите точку минимума функции \[y = -\frac.\]
2) \(\dfrac
Чтобы получить наиболее высокие баллы, нужно продолжить подготовку и перейти к решению задач ЕГЭ по математике с развёрнутым ответом.
💡 Если Вы - учитель математики, то Вы можете создавать готовые карточки для учеников с индивидуальными заданиями и с ответами для отработки заданий на графики функций. Данные задачи доступны в Конструкторе бесплатно.
.jpg)
.jpg)
Ознакомьтесь с Проектом Демонстрационного варианта ЕГЭ 2022 по математике, который здесь представлен с решениями всех заданий первой части - заданий с кратким ответом.
Здесь вы можете ознакомиться с первой частью варианта и поработать над заданиями профильного уровня с кратким ответом. Вторая часть варианта – задания профильного уровня с развёрнутым ответом – представлена в разделе Профильный уровень. Задачи с развёрнутым ответом.
В демонстрационном варианте представлено по несколько примеров заданий на некоторые позиции экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию будет предложено только одно задание.
Чтобы ознакомиться с содержанием экзамена базового уровня, перейдите на страницу с интерактивной Демоверсией базового уровня.
Сдадим ЕГЭ по математике? Легко!
Нужны такие материалы в сети? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Задание 1
Найдите корень уравнения 3 x − 5 = 81 .
Найдите корень уравнения √3x + 49 ______ = 10.
Найдите корень уравнения log8(5x + 47) = 3 .
По определению логарифма \( 8^3 = 5x+47.\)\(5x+47 = 512;\;\;5x=465;\;\;x=93.\)
Решите уравнение √2x + 3 ______ = x.
Если корней окажется несколько, то в ответ запишите наименьший из них.
\(x_1 2 :2 2 , т.е. площадь отсеченного треугольника составляет четверть площади исходног: 24:4 = 6.
В ромбе ABCD угол DBA равен 13°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.
Задание 4
\[\sin = 2\sin\cos;\\ \sin^2= 1- \cos^2 = 1 - 0,6^2 = 1-0,36=0,64;\\ \sin = \pm\sqrt = \pm0,8.\] По условию \(\pi \(16\log_<(\sqrt[\Large4])>\) .Задание 5
В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.
Объём цилиндра можно найти по формуле \(V = \pi r^2 h\).Таким образом, объём жидкости в первом сосуде составляет \(\pi r_1^2\cdot16\), во втором – \(\pi (2r_1)^2\cdot h_2\). При переливании жидкости её объём сохраняется, следовательно \[\pi r_1^2\cdot16 = \pi (2r_1)^2\cdot h_2; \\ 16r_1^2 = 4r_1^2h_2;\;\; h_2=4.\]
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Площадь боковой поверхности призмы состоит из суммы площадей 3-ёх параллелограммов. Плоскость, параллельная боковому ребру, пересекает две грани призмы по прямым, параллельным рёбрам. Легко доказать, что при заданном условии эти прямые делят каждую грань на два равных параллелограмма.Проведенная плоскость образует новую грань отсечённой призмы, которая также составляет половинку противолежащей грани исходной призмы (по свойствам средней линии треугольника). Таким образом, площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы составляет половину заданной площади: 24:2 = 12.
Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2 , считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?
Разделив высоту конуса в отношении 1:2, получим, что высота меньшего конуса (верхней части) составляет одну третью часть высоты большего (исходного) конуса.
Так как маленький конус полностью подобен большому, то можно воспользоваться правилами подобия: если линейные размеры подобных фигур относятся с коэффициентом \(k\), то их объёмы относятся с коэффициентом \(k^3\).
\[k = \frac; \;\; k^3 = \frac\] Следовательно, объём маленького конуса равен \(54:27=2,\) а объём нижней части большого конуса \(54-2 = 52.\)
Задание 6
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x) . На оси абсцисс отмечены девять точек: x1 , x2 , . x9.
Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f'(x) в точке x0.
Для получения абсолютной величины числа нужно построить на клеточках прямоугольный треугольник так, чтобы его гипотенуза располагалась на касательной, а вершины строго в узлах клеток. Отношение длины катета, параллельного оси Oy к длине катета, параллельного оси Oх, даёт значение тангенса нужного угла.
Задание 7
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0 — частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
Первым делом убеждаемся, что размерности всех величин в формуле, в условии задачи и в вопросе к заданию заданы в единой системе единиц. Если требуется, например, переход от километров к метрам или от секунд к часам, выполняем соответствующие вычисления.
Задание 8
Весной катер идёт против течения реки в 1 2 _ 3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 1 _ 2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
Обозначим символом v собственную скорость катера (км/ч), символом x - скорость течения реки весной (км/ч). Тогда скорость течения реки летом составляет (x - 1) км/ч. Имеем
весной: катер идёт против течения со скоростью (v - x), по течению со скоростью (v + x). По условию первая скорость в 1 2 /3 раза меньше, т.е.
(v + x)/(v - x) = 1 2 /3 ;
летом: катер идёт против течения со скоростью (v - (x - 1)), по течению со скоростью (v + (x - 1)). По условию первая скорость в 1 1 /2 раза меньше, т.е.
(v + (x - 1))/(v - (x - 1)) = 1 1 /2 .
Объединяем уравнения в систему и решаем её:
Ответ: 5
Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса первого раствора \(x\;кг,\) второго – \(у\;кг.\) При смешивании растворов количество кислоты в смесях сохраняется. Вычисляем количество кислоты в растворах до и после смешивания, получившиеся "законы сохранения" для обоих случаев объединяем в систему уравнений. \[\beginАвтомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч . Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?
Первый автомобиль движется относительно второго со скоростью \( 70-40=30 (км/ч).\) Следовательно за 15 минут после обгона он удалится на расстояние \(30\cdot15:60 = 7,5 (км).\)Задание 9
На рисунке изображён график функции вида \(f(x)= ax^2 + bx + c,\) где числа \(a, b\; и \;c\) — целые. Найдите значение \(f(-12)\).
Формула функции – квадратный трёхчлен, график функции – парабола. Требуется определить значение функции в точке, которая не видна на графике, поэтому нужно воспользоваться формулой. Для этого сначала нужно уточнить формулу, т.е. определить неизвестные коэффициенты квадратного трёхчлена.
Три неизвестных коэффициента можно найти путём решения системы трёх линейных уравнений. Чтобы составить такую систему уравнений, берём на графике три "удобные" точки и подставляем их координаты в формулу функции.
Точки "удобны", если их координаты хорошо считываются, например, находятся в узлах сетки, или мы о них что-то знаем из теории. Для параболы очень хорошими точками являются вершина и точка пересечения с осью ординат. К сожалению, последняя на заданном участке графика также не видна.
На рисунке показаны выбранные мною точки, которые задают следующие соотношения \[x_в=-4\;\Rightarrow\;-\frac = -4;\\ f(-3)=-2\; \Rightarrow\;a(-3)^2 + b(-3) + c = -2;\\ f(-2)=1\;\Rightarrow\;a(-2)^2 + b(-2) + c = 1.\] Получили ситему уравнений \[ \begin -\dfrac = -4,\\ 9a -3b + c = -2,\\ 4a -2b + c = 1. \end\] Решаем её \[\begin b = 8a,\\9a -24a + c = -2,\\4a -16a + c = 1; \end\; \begin b = 8a,\\c = 15a-2,\\c = 12a+1; \end\; \begin b = 8a,\\0 = 3a-3,\\c = 12a+1; \end\; \begin b = 8,\\a = 1,\\c = 13.\\ \end\] Таким образом, уравнение функции имеет вид \(f(x)= x^2 + 8x + 13\), чтобы найти её значение в заданной точке, подставляем −12 в формулу \[f(-12)= (-12)^2 + 8\cdot(-12) +13 = 144-96+13 = 61.\]
Так как по графику хорошо считывается вершина параболы – точка с координатами (−4;−3), то имеет смысл вспомнить, что вершина параболы связана с коэффициентами квадратного трёхчлена формулами \[x_в = -\dfrac;\;y_в = -\dfrac.\] И формулу функции (квадратный трёхчлен) представить в преобразованном виде \[ax^2 + bx + c = a\left(x+\frac\right)^2-\frac = a(x-x_в)^2 + y_в = a(x+4)^2 -3.\] В формуле остался один неизвестный коэффициент. Чтобы найти его значение, считаем с графика координаты еще одной точки, например (−3;−2) и подставим их в уравнение. \[f(x) = a\left(x+4\right)^2 -3\\ -2 = a(-3+4)^2 -3\;\; \Rightarrow \;\; a = 1.\] Таким образом, формула приобрела вид \(f(x) = (x+4)^2 -3\). Подстановкой находим искомое значение \(f(-12) = (-12+4)^2 -3 = 64-3=61.\)
Ответ: 61
Задание 10
Симметричную игральную кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало три очка»?
Используем классическое определение вероятности \(P =\dfrac,\) где \(n -\) общее число исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Чтобы найти количество исходов, рассмотрим из каких трёх слагаемых может состоять число 6.
1) 6 = 1+2+3;
2) 6 = 2+2+2;
3) 6 = 4+1+1.
При трёхкратном бросании игральной кости вариант 1 может реализоваться 6-ю способами, т.к. очки могут выпадать в любом порядке: перестановки из 3-ёх элементов 3! = 6.
Вариант 2 может реализоваться только одним способом.
Вариант 3 реализуется 3-мя способами: 4 очка могут выпасть при первом, или при втором, или при третьем бросании.
Итого \(n = 6+1+3 = 10.\)
В первом варианте тройка присутствует по одному разу в каждом из 6-ти способов. Во втором и третьем вариантах тройки вообще нет.
Итого \(m = 6.\) \[P =\frac = \frac = 0,6.\]
В городе 48% взрослого населения мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причем доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Используем И/ИЛИ-правила (правила умножения/сложения вероятностей).
От долей населения в процентах перейдём к соответствующим вероятностям в десятичных дробях. (Это можно сделать, опираясь на такое доказательство: если в городе живёт N взрослых человек и 48% из них мужчины, то мужчин в городе живёт \(\dfrac,\) тогда вероятность встретить взрослого мужчину составляет \(\dfrac = \dfrac = 0,48.)\)
Неизвестную вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером» обозначим x. А находить будем вероятность другого, более общего события «выбранный взрослый житель города является пенсионером». Это событие можно записать так:
"Житель города является пенсионером, если он мужчина И при этом пенсионер ИЛИ она женщина И при этом пенсионер".
Учитывая независимость и несовместимость событий (один человек не может быть одновременно женщиной и мужчиной, быть и не быть персионером), к "И" применяем правило умножения вероятностей, к "ИЛИ" - правило сложения вероятностей. Получим формулу для вероятностей
- Событие П - "Житель города является пенсионером". Вероятность этого события P(П) = 0,126 находим в условии задачи (пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения).
- Событие М - "Этот житель города является мужчиной". Вероятность этого события P(М) = 0,48 находим в условии задачи.
- Событие МП - "Выбранный мужчина является пенсионером". Вероятность этого события мы приняли за x.
- Событие Ж - "Этот житель города является женщиной". Вероятность этого события P(Ж) = 1 − 0,48 = 0,52, так как оно противоположно событию "житель города мужчина".
- Событие ЖП - "Выбранная женщина является пенсионеркой". Вероятность этого события P(ЖП) = 0,15 находим в условии задачи (доля пенсионеров среди женщин равна 15%).
Задание 11
Найдите наименьшее значение функции \[y = 9x - 9\ln <(x + 11)>+ 7\] на отрезке [−10,5; 0].
Наименьшее значение функции на отрезке может достигаться в точке минимума внутри отрезка или на одном из его краёв.Ищем точку (точки, если их несколько), в которых производная равна нулю или не существует – точки возможных экстремумов.
\[y' = (9x - 9\ln <(x + 11)>+ 7)' = 9 - \frac = \frac;\\ \frac = 0\; \Leftrightarrow \; x_1 = -10, \; x_2 = -11.\] Так как "подозрительных" точек внутри отрезка мало, точнее, всего одна \(x_1=-10\) (\(x_2 0 \\ y'(-12) = \dfrac = \dfrac = 18 >0.\)
4) Делаем выводы: на заданном отрезке находится только точка минимума функции \(x = -10\), следовательно в ней и достигается наименьшее значение \(y(-10) = -83.\)
Замечание: Если всё-таки требуется оценить значения ln2 и ln11, нужно составить неравенства.
Вспомним, что натуральный логарифм - это логарифм по основанию \(e = 2,718. \) и функция lnx является монотонно возрастающей, поэтому
\(\sqrt -87,5+9\cdot0,5 > -83;\\ e^2 7-9\cdot3 > -83.\)
Найдите точку максимума функции \[y = (x + 8)^2\cdot e^.\]
1) \(y'=\left((x + 8)^2\cdot e^\right)'=\left((x + 8)^2\right)'\cdot e^+(x + 8)^2\cdot\left( e^\right)' = \\ = 2(x+8)\cdot e^ +(x + 8)^2\cdot e^\cdot(3-x)' = 2(x+8)\cdot e^ - (x + 8)^2\cdot e^ = \\= e^\cdot(x+8)\cdot(2-x-8)=-e^\cdot(x+8)\cdot(x+6);\)
2) \(-e^\cdot(x+8)\cdot(x+6) = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;(x+8)(x+6)= 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_1 = -8,\;x_2 = -6; \)
Найдите точку минимума функции \[y = -\frac.\]
2) \(\dfrac
Чтобы получить наиболее высокие баллы, нужно продолжить подготовку и перейти к решению задач ЕГЭ по математике с развёрнутым ответом.
Читайте также: