Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Обновлено: 15.01.2025

Для начала рассмотрим алфавиты восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления, т. е. цифры, с помощью которых мы будем записывать числа в этих системах счисления.

Восьмеричные числа записываются с помощью восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Алфавит шестнадцатеричной системы счисления состоит из десяти цифр и шести букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Как и в десятичной системе, восьмеричное или шестнадцатеричное число можно записать в развёрнутом виде, т. е. представить как сумму произведений составляющих его цифр и соответствующих степеней основания системы счисления: восемь или шестнадцать.

Например, развёрнутая форма записи восьмеричного числа 167 будет такой: 167₈ = 1 × 8 2 + 6 × 8 1 + 7 × 8 0

И ещё один пример с шестнадцатеричным числом: 5 FC ₁₆ = 5 × 16 2 + F × 16 1 + C × 16 0

Вернёмся к развёрнутой записи восьмеричного числа. Если вычислить значение этого выражения, то будет найден десятичный эквивалент этого числа.

Вернёмся к развёрнутой записи шестнадцатеричного числа. Каждая буква в алфавите шестнадцатеричной системы счисления имеет числовой эквивалент.

Если в развёрнутой записи заменить буквы их числовыми эквивалентами и вычислить значение выражения, то получится значение числа в десятичной системе счисления.

5 FC ₁₆ = 5 × 16 2 + F × 16 1 + C × 16 0 = 5 × 16 2 + 15 × 16 1 + 12 = 1280 + 240 + 12 = 1532₁₀.

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Например, нужно десятичное число 571 перевести в восьмеричную систему счисления. Разделим 571 на 8.Неполное частное 71 и остаток 3. Продолжим деление. 71 делим на 8. Неполное частное 8, остаток 7. При делении 8 на 8 получается частное 1, а остаток равен 0. Разделим 1 на 8. Неполное частное 0, а остаток 1.

Мы получили неполное частное 0, следовательно можем записать результат. Для этого записываем остатки от последнего к первому.

Аналогично осуществляется перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Выполняется последовательное деление на 16.

Переведём десятичное число 467 в шестнадцатеричную систему счисления.

Разделим 461 на 16. Неполное частное 28 и остаток 13. Продолжим деление. 28 делим на 16. Неполное частное 1, остаток 12. Разделим 1 на 8. Неполное частное 0, а остаток 1. Мы получили неполное частное 0, следовательно, можем записать результат, выписывая остатки от последнего к первому.

Если остаток –двузначное число, то его надо заменить соответствующей буквой.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 -- соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q , и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

Для перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q , записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дpобная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде

xq = (anan-1 . a0 , a-1 a-2 . a-m)q

сводится к вычислению значения многочлена

x10 = an qn + an-1 qn-1 + . + a0 q0 + a-1 q -1 + a-2 q-2 + . + a-m q-m

средствами десятичной арифметики.

Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах -- десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:

На этом рисунке использованы следующие обозначения:

в кружках записаны основания систем счисления;

стрелки указывают направление перевода;

номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 4.1.

означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Таблица 4.1 Сводная таблица переводов целых чисел

Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны -- это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Как представляются в компьютере целые числа?

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака

Обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. В однобайтовом формате принимают значения от 000000002 до 111111112. В двубайтовом формате -- от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

Ключевые слова система счисления цифра алфавит позиционная система счисления основание развёрнутая форма записи числа свёрнутая форма записи числа двоичная система счисления восьмеричная система счисления шестнадцатеричная система счисления

Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа,. Алфавит системы счисления - совокупность цифр. Общие сведения Древнеславянская система счисления Вавилонская система счисления Египетская система счисления

Узловые числа обозначаются цифрами. Узловые и алгоритмические числа Алгоритмические числа получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.  100 +  10 + =

Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Унарная система счисления Узелковое письмо «кипу» Зарубки Примеры узлов «кипу» Узелки, дощечки Камушки

Римская система счисления 40 = X L 1935 M C M X X X 28 X X V I I I V Непозиционная система счисления Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. 1 I 100 C 5 V 500 D 10 X 1000 M 50 L

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит. Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Позиционная система счисления

Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э. Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе. Десятичная система счисления

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Aq =±(an–1qn–1+ an–2  qn–2+…+ a0  q0+ a–1q–1+…+ a–m q–m) Здесь: А — число; q — основание системы счисления; ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; qi — «вес» i-го разряда. Такая запись числа называется развёрнутой формой записи. Основная формула

Aq =±(an–1  qn–1+ an–2  qn–2+…+ a0  q0+ a–1  q–1+…+ a–m  q–m) Примеры записи чисел в развёрнутой форме: 2012=2103 +0102 +1101 +2100 0,125=110-1 +210-2 +510–3 14351,1=1104 +4103 +3102 +5101 +1100 +110–1 Развёрнутая форма

Двоичная система счисления Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Двоичный алфавит: 0 и 1. Для целых двоичных чисел можно записать: an–1an–2…a1a0 = an–12n–1 + an–22n–2 +…+ a020 Например: 100112 =124+023+022+121+120 = 24 +21 + 20 =1910 Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления: Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления an–12n–1+an–22n–2+… a121 +a0 = an–12n–2 +…+ a1 (остаток a0) 2 an–12n–1+an–22n–2+… a1 = an–12n–3+…+ a2 (остаток a1) 2 . . . an–12n–1+an–22n–2+… a2 = an–12n–4 +…+ a3 (остаток a2) 2 На n-м шаге получим набор цифр: a0a1a2…an–1

36310 = 1011010112 31410 = 1001110102 Компактное оформление 363 181 90 45 22 11 5 2 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 314 157 78 39 19 9 4 2 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. an–1an–2…a1a0 = an–18n–1+an–28n–2+…+a080 Пример: 10638 =183 +082+681+380=56310. Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения. Восьмеричная система счисления Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Основание: q = 16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 3АF16 =3162+10161+15160 =768+160+15=94310. Шестнадцатеричная система счисления Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления 15410 = 9А16 154 16 9 -144 10 (А) 9 16 0

1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю; 2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка. Цифровые весы Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Двоичная арифметика Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения: Арифметика одноразрядных двоичных чисел Арифметика многоразрядных двоичных чисел Умножение и деление двоичных чисел + 0 1 0 0 1 1 1 10 х 0 1 0 0 0 1 0 1

«Компьютерные» системы счисления Двоичная система используется в компьютерной технике, так как: двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями; представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво; двоичная арифметика наиболее проста; существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных. Двоичный код удобен для компьютера. Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Aq =±(an–1qn–1 + an–2qn–2 +…+ a0q0 + a–1q–1 +…+ a–mq–m) Здесь: А — число; q — основание системы счисления; ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; qi — «вес» i-го разряда. Самое главное

Вопросы и задания Чем различаются унарные, позиционные и непозиционные системы счисления? Цифры каких систем счисления приведены на рис.? Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме? Запишите в развёрнутом виде числа: а) 143,51110 б) 1435118 в) 14351116 г) 1435,115 Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел: а) 1728 б) 2ЕА16 в) 1010102 г) 10,12 д) 2436 Укажите, какое из чисел 1100112, 1114,358 и1В16 является: а) наибольшим б) наименьшим Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления. Верны ли следующие равенства? а) 334 =217 б) 338 =214 Найдите основание х системы счисления, если: а) 14x=910 б) 2002x=13010 Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную: а) 89 б) 600 в) 2010 Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную: а) 513 б) 600 в) 2010 Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную: а) 513 б) 600 в) 2010 Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16. Выполните операцию сложения над двоичными числами: а) 101010 + 1101 б) 1010 + 1010 в) 10101 + 111 Выполните операцию умножения над двоичными числами: а) 1010 · 11 б) 111 · 101 в) 1010 · 111 Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе: а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000; б) 1100 ? 10 ? 10 = 100; в) 1100 ? 11 ? 100 = 0. Вычислите выражения: а) (11111012 +AF16):368 б) 1258 + 1012 ·2A16 – 1418 Ответ дайте в десятичной системе счисления. Задачник «Системы счисления» Основание 2 Основание 8 Основание 10 Основание 16 101010 127 321 2А

Опорный конспект Непозиционная В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Aq =±(an–1* qn–1 + an–2* qn–2 +…+ a0*q0 + a–1* q–1 +…+ a–m * q–m). Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа. Алфавит - совокупность цифр системы счисления. Система счисления Двоичная Десятичная Восьмеричная Шестнадцатеричная Римская Позиционная

Почему мы используем другие базы, которые не являются ни двоичными (для компьютеров), ни десятичными (для людей)?

Компьютеры в конечном итоге представляют их в двоичном формате, и люди настоятельно предпочитают получать их десятичное представление. Почему бы не придерживаться этих двух баз?

Я склонен думать, что нет веской причины использовать гекс или что-то с большим количеством символов для чисел. Более того, я склонен думать, что бинарное повторение может заменить другие обозначения для общего случая в будущем. @MikhailV Шестнадцатеричное представление является ОЧЕНЬ более кратким, чем двоичное представление. Я бы сказал, что это довольно веская причина, чтобы использовать большее количество глифов, чем, скажем, 2.

Восьмеричное (основание-8) и шестнадцатеричное (основание-16) числа являются разумным компромиссом между компьютерами, использующими двоичную (основание-2) систему, и десятичной (основание-10) системой, которую использует большинство людей.

Компьютеры плохо разбираются в нескольких символах, поэтому для них подходит база 2 (где у вас всего 2 символа), в то время как более длинные строки, числа с большим количеством цифр, представляют меньшую проблему. Люди очень хороши с несколькими символами, но не так хороши в запоминании длинных строк.

Восьмеричное и шестнадцатеричное используют преимущество человека, заключающееся в том, что они могут работать с большим количеством символов, в то время как он все еще легко конвертируется назад и вперед между двоичными числами, потому что каждая шестнадцатеричная цифра представляет 4 двоичные цифры ( ), а каждая восьмеричная цифра представляет 3 ( 8 = 2 3 ). Я думаю, что hex побеждает восьмеричное, потому что его легко использовать для представления байтов и 16/32/64-битных чисел. 16 = 2 4 8 = 2 3

Чтобы быть точным, цвета в десятичной записи будут использовать тройки, а белый будет (255, 255, 255). Мы объединяем шестнадцатеричные значения только потому, что они всегда состоят из 2 цифр. Мы могли бы сделать то же самое с десятичными числами, используя 0, тогда белые были бы 255255255 вместо 16777215. @ Spidey Точно. Более того, мой мозг может анализировать что-то вроде (127 255 255) намного проще, и я даже могу догадаться, как будет выглядеть цвет, так как я могу видеть пропорцию количества чернил и мне не нужно вычислять это в шестнадцатеричном виде в моей голове.

Мы используем их для удобства и краткости.

Hex и Oct - действительно выдающиеся сжатые представления двоичного файла. Hex, в частности, хорошо подходит для сжатых форм адресов памяти. Каждая октавная цифра напрямую отображается в 3 двоичных разряда, а каждая шестнадцатеричная цифра - в 4 двоичных разряда. Это результат того, что основания (8 и 16) имеют степени 2 ( и 2 4 ). Например, я могу записать двоичный код 01101001 в виде шестнадцатеричного числа 69 или, если я добавлю его с начальным нулем в виде окт 151 . 2 3 2 4 01101001 69 151

Итак, скажем, вам нужны 64-битные адреса памяти. Вы можете просмотреть все 64 двоичных разряда или сжать их до 16 шестнадцатеричных цифр. Часто вам не нужно сравнивать несколько адресов, чтобы увидеть, совпадают ли они или смежные. Вы бы предпочли посмотреть на 64 бит или 16 цифр?

"Вы бы предпочли посмотреть на 64 или 16 цифр?" Конечно, я бы посмотрел на сгруппированные биты. Но, конечно же, не в обозначении «01», которое уродливо и ранит мои глаза. И я даже не говорю, насколько сильно гекс вредит моим глазам. @MikhailV: Что вы подразумеваете под «01»? Вы говорите, что предпочитаете смотреть на биты, но не в «01» нотации - какую нотацию вы бы тогда использовали. Если вы говорите, что гекс ранит ваши глаза, я не могу не думать, что вы могли практиковаться немного больше в десятичной, чем в гекс. (На самом деле я думал, что это был (сольный) секс, который, как говорили, вреден для твоих глаз, но это уже другая история.) Я предпочитаю это более популярному в настоящее время ответу dtech, потому что он подчеркивает простоту использования, но вы, возможно, указали, что не только более короткие представления, но и большее разнообразие цифр облегчают узнать, где вы находитесь, когда читаете число в шестнадцатеричном или восьмеричное. @ PaulA.Clayton: хорошие моменты; еще одно преимущество PDP-11 заключалось в том, что, хотя слова (естественная единица операций) были 16 битами, большинство кодов команд естественно делилось на 2-битную операцию и четыре 3-битные группы, представляющие номер регистра и режим адреса, оба из которых имели 8 возможностей, из двух аргументов. Мой любимый: 014747 = MOV - (ПК), - (ПК), который заполняет память собой (если это разрешено).

Двоичные числа в тексте - пустая трата места.

Вступление

Как уже упоминалось в других ответах, могут быть разные обозначения для разных целей и ограничений. Обозначения на самом деле представляют собой кодировку в виде последовательности символов, и мы знаем из изучения алгоритмов и структуры данных, что есть много способов, которыми мы можем кодировать абстрактные понятия, например, список или набор, в зависимости от того, что мы хотим с ним делать , В этом случае это в основном алгоритмическое удобство.

При рассмотрении представления чисел применяется то же самое. Внутри компьютера все является двоичным на самом низком уровне, хотя для некоторых приложений могут использоваться странные представления.

За пределами компьютера мы используем любое понятное человеку представление, в зависимости от удобства человека относительно вида представленной ценности. Двоичное представление часто слишком длинное и неструктурированное, чтобы его можно было легко прочитать и записать, что позволяет заменить его на шестнадцатеричное или восьмеричное. Выбор часто может быть связан с тем, как информация структурирована в двоичном слове, которое не обязательно должно представлять число.

Но, рассматривая только цифры , то есть представление чисел, стоит посмотреть на другие системы представления чисел, чтобы понять, что основными факторами являются: физиология, привычка и удобство.Удобство, конечно, является ведущим фактором, создающим разнообразие, поскольку оно зависит от контекста использования.

Более широкий взгляд

2 N системы, в основном двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные.

Суть вопроса, похоже, никоим образом не ограничена компьютерами, а люди использовали и продолжают использовать несколько других систем нумерации. Некоторые из них даже используются в компьютерах, например, при работе с длинными целыми числами (не говоря уже о нецелых числах ).

Первое замечание состоит в том, что когда люди считают тысячи или миллионы как единое целое, это все еще считается десятичным числом, потому что это степени 10. Поэтому можно задаться вопросом, почему восьмеричное или шестнадцатеричное не следует считать просто вариацией двоичного числа. Одной из возможных причин может быть количество символов, используемых для представления чисел (хотя это спорный вопрос, как мы увидим в других системах).

Затем, что касается людей, они используют несколько систем в базе 5, называемых кинарными системами . На самом деле, большинство из этих систем имеют две базы, вторая с двумя или четырьмя, чередующаяся с базовой пятью, что делает их эквивалентными основанию 10 (десятичное) или основанию 20 (восьмое). Угадайте, откуда это приходит :)

Эти двухосновные системы называются биквинарными или квадрикунарными системами. Чистая квина редко используется.

Римская цифра может рассматриваться как бинарная система (которая показывает, как с ними делать арифметику). Китайские и японские счеты используют би-квинари. Quadri-Quinary был использован майя.

Причин для использования системы, вероятно, много. Одна веская причина в том, что это был первый местный проект, и теперь люди привыкли к нему. Например, можно также задаться вопросом, почему англоговорящие люди все еще используют чрезвычайно странную систему нумерации при попытке измерить расстояния. Можно утверждать, что это вопрос нескольких единиц, а не нумерации, но это очень слабое замечание. Числа используются в основном для измерения вещей.

Другими причинами сохранения системы является удобство в данном контексте. Может быть компромисс между количеством различных символов или позиций на счетах и количеством символов, необходимых для формирования достаточно больших чисел. База 2 работает с 2 различными символами, но имеет много случаев, что может быть неудобно для представления материала. Vigesimal base 20 потребует двадцать символов и очень большие таблицы умножения, которые люди не помнят. Но би-квинарная или квадри-кинарная система намного более управляема, особенно для построения счётов. Чистая система семейств, вероятно, была бы еще лучше, но она идет вразрез с привычками и интуицией, основанными на физиологии. И всегда приятно иметь возможность считать пальцами, когда мы не знаем ничего лучше.

Но это еще не все.

Одной из очень старых и очень распространенных систем является система шестидесятых, используемая для измерения времени и углов (но мы знаем, что они связаны через вращение Земли). Он использует основание 60, но не использует 60 символов, поскольку это слишком много. Поэтому он использует другую систему для представления своих синболов (например, десятичную систему).

Круг можно разделить на 6 частей, соответствующих углам 60 градусов, которые проще всего построить с равносторонними треугольниками. Тогда каждый градус составляет 60 минут дуги, каждый делится на 60 секунд.

Он возник у древних шумеров в 3-м тысячелетии до нашей эры, был передан древним вавилонянам и до сих пор используется - в измененной форме - для измерения времени, углов и географических координат.

Учитывая происхождение, это была довольно удобная система, в то время как математика едва вступала в детство. Не только угол 60⁰ легко рисовать, но и угол 60 имеет много факторов, так что он позволяет делить на целые числа без остатка.

12 × 5 знак равно 60

Но есть и другие способы добраться до 60 лет, например, видно-тройная система вавилонян .

Почему мы до сих пор используем половозрелую систему. Я думаю, что мы просто привыкли к этому, и у нас может быть слишком много конфликтующих вопросов, чтобы изменение было полностью оправданным.

Интересно отметить, что существует большое взаимодействие между системами нумерации и системами единиц. Но этого и следовало ожидать, так как мера играет важную роль для чисел. Это заметно в противопоставлении десятичной и двоичной метрик для объема памяти .

Читайте также: