Как построить лемнискату бернулли в excel
Цель данной работы – изучить задачу теории вероятностей о повторении однородных независимых испытаний. Для небольшого числа испытаний n < 30 эта задача была разрешена Бернулли, при большем числе испытаний используются предельные формулы Пуассона и Лапласа. При использовании компьютера область применения исходной формулы Бернулли может быть расширена до n = 200, поэтому представляется возможность оценить точность предельных формул Пуассона – Лапласа. На практическом занятия осваиваются также приемы работы с электронной таблицей Excel – как организовать вычисления по формулам Бернулли, Пуассона, Лапласа; как строятся графики зависимостей и как эти графики форматируются к стандартному виду; как работать с большими таблицами и по заданному аргументу находить в таблице значение функции; и многое другое.
Изучение распределения Бернулли средствами Excel
Распределение Бернулли зависит от двух параметров n и p (q = 1 – p). На рабочем листе Exсel предлагается построить графики распределения при различных значениях параметра p (0 < p < 1) и при различных значениях другого параметра n (n = 10, 20, 30, 50). Эти графики позволят заметить характерные особенности распределения Бернулли. Кроме этого, полезно убедиться, что характеристики распределения правильно воспроизводятся известными формулами: M(m) = np, D(m) = npq. Далее полезно также убедиться в справедливости правила «3-х сигм»: M(m) – 3×sm < m < M(m) + 3×sm , где ; значения m, выходящие за пределы указанного интервала, маловероятны (их вероятность меньше 0,01).
Ниже приведен фрагмент рабочего листа таблицы Excel.
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| Распределение Бернулли | |||||||||
| Pn(m)=n!/m!/(n-m)!*p^m*q^(n-m) | |||||||||
| Pn(m)=Pn(m-1)*(n-m+1)/m*p/q | Pn(0)=q^n | ||||||||
| n = | n = | n = | n = | n = | |||||
| p = | 0,1 | p = | 0,3 | p = | 0,5 | p = | 0,7 | p = | 0,9 |
| q = | 0,9 | q = | 0,7 | q = | 0,5 | q = | 0,3 | q = | 0,1 |
| M = | M = | M = | M = | M = | |||||
| D = | 0,9 | D = | 2,1 | D = | 2,5 | D = | 2,1 | D = | 0,9 |
| M-3Sm= | -1,84605 | M-3Sm= | -1,34741 | M-3Sm= | 0,256584 | M-3Sm= | 2,652587 | M-3Sm= | 6,15395 |
| M+3Sm= | 3,84605 | M+3Sm= | 7,347413 | M+3Sm= | 9,743416 | M+3Sm= | 11,34741 | M+3Sm= | 11,84605 |
| m | р=0,1 | m | р=0,3 | m | р=0,5 | m | р=0,7 | m | р=0,9 |
| 0,34868 | 0,02825 | 0,00098 | 5,9E-06 | 1E-10 | |||||
| 0,38742 | 0,12106 | 0,00977 | 0,00014 | 9E-09 | |||||
| 0,19371 | 0,23347 | 0,04395 | 0,00145 | 3,64E-07 | |||||
| 0,05740 | 0,26683 | 0,11719 | 0,00900 | 8,75E-06 | |||||
| 0,01116 | 0,20012 | 0,20508 | 0,03676 | 0,00014 | |||||
| 0,00149 | 0,10292 | 0,24609 | 0,10292 | 0,00149 | |||||
| 0,00014 | 0,03676 | 0,20508 | 0,20012 | 0,01116 | |||||
| 8,75E-06 | 0,00900 | 0,11719 | 0,26683 | 0,05740 | |||||
| 3,65E-07 | 0,00145 | 0,04395 | 0,23347 | 0,19371 | |||||
| 9E-09 | 0,00014 | 0,00977 | 0,12106 | 0,38742 | |||||
| 1E-10 | 5,9E-06 | 0,00098 | 0,02825 | 0,34868 |
Рассмотрим внимательно первый блок (столбцы A, B таблицы Excel).
В строках 5 и 6 задаем значения параметров n = 10, p = 0,1. В следующих строках вычисляем q = 1 – p, M = S m Pn(m), D = S m 2 Pn(m) – M^2, M-3Sm = M – 3*КОРЕНЬ(D), M+3Sm = M + 3*КОРЕНЬ(D). Последние 4 формулы можно набрать позже, когда будет заполнен диапазон B14:B24, содержащий значения Pn(m). Отметим полезный прием: в столбце А записываем текст и сдвигаем его вправо, а в столбце В – вычисляем числовое значение и сдвигаем его влево. Получается понятный комментарий к выполненным действиям. Лист Excel, помимо всего прочего, является отчетным документом, поэтому не стоит экономить на комментариях и заголовках. Из информации в строках 8 – 11 первого блока, видно, что, действительно, M = np = 10´0,1 = 1; D = npq = 10´0,1´0,9 = 0,9; и что все вероятные значения m не превзойдут 4.
Значения Pn(m) удобно вычислять по реккурентной формуле (эта формула приведена в строке 3 рабочего листа). Начальное значение Pn(0) = q n вычисляем в ячейке В14. При наборе реккурентной формулы в ячейке В15 следует зафиксировать (знаками $) неизменяемые значения n, p, q. Далее формула копируется ниже до ячейки В24.
Заполнив первый блок, копируем его несколько раз вправо и в новых блоках заменяем значение параметра p на p = 0,3; p = 0,5; p = 0,7; p = 0,9. Все автоматически пересчитывается. В блоках серым фоном выделены значения Pn(m), которые признаны значимыми по правилу «3-х сигм».
Теперь строим графики. Выделяем значения m вместе с заголовком в ячейке А13, далее при нажатой клавише Ctrl выделяем мышкой значения Pn(m) для p = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9. Выделять диапазоны надо вместе с заголовками в строке 13, тогда эти заголовки автоматически будут отображены в легенде (пояснениях к каждой линии на графике). Вызываем Мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы – точечная, легенда – внизу, линии сетки – основные, заголовок: “Распределение Бернулли при разных p (n=10)”. В результате получаем следующий график, который почти не требует дополнительного форматирования:
Из этого графика видно, как меняется асимметрия распределения при увеличении параметра p: при p = 0,5 распределение симметричное, при p < 0,5 – распределение скошено влево (положительная асимметрия), а при p > 0,5 – скошено вправо (отрицательная асимметрия).
Как уже указывалось выше, заголовки из строки 13 автоматически переносятся в легенду диаграммы. Но тогда хотелось бы, чтобы они автоматически корректировались при изменении параметра p. Поэтому в качестве заголовка в ячейке В13 набрана формула ="р="&ТЕКСТ(B9;"0,0"). Функция ТЕКСТ(Число;Формат) переводит в символьную форму значение p из ячейки В9; в тексте заголовка это число будет округлено до одного знака после запятой. Остальные заголовки в строке 13 корректируются автоматически при копировании.
Теперь переходим к изучению зависимости распределения Бернулли от второго параметра n. Скопируем все 5 готовых блоков вправо, начиная со столбца K, и заменим в новых блоках значения параметров: n = 10, 20, 30, 40, 50 и p = 0,1 (для всех новых блоков). Естественно, новые таблицы надо продлить вниз до строки 64 (они теперь будут иметь разную длину). Ненужную информацию можно скрыть с помощью условного форматирования. Так, таблица для n = 10 фактически обрывается на строке 24, поэтому можно сделать так, чтобы дальнейшие значения m и нулевые значения Pn(m) выводились серым цветом на белом фоне (тогда они почти не будут видны). Условный формат для колонки m задаем по условию:
Обратите внимание, что в ссылке на ячейку L8 зафиксирован только номер строки. Для колонки Pn(m) с заголовком n=10 условие будет более простое: значение равно 0 . При копировании отформатированного блока, копируются также все условные форматы.
Наконец, надо заменить заголовки в строке 13 на формулы ="n="&ТЕКСТ(L8;"0").
| K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T |
| n = | n = | n = | n = | n = | |||||
| p = | 0,1 | p = | 0,1 | p = | 0,1 | p = | 0,1 | p = | 0,1 |
| q = | 0,9 | q = | 0,9 | q = | 0,9 | q = | 0,9 | q = | 0,9 |
| M = | M = | M = | M = | M = | |||||
| D = | 0,9 | D = | 1,8 | D = | 2,7 | D = | 3,6 | D = | 4,5 |
| M-3Sm= | -1,84605 | M-3Sm= | -2,02492 | M-3Sm= | -1,9295 | M-3Sm= | -1,6921 | M-3Sm= | -1,36396 |
| M+3Sm= | 3,84605 | M+3Sm= | 6,024922 | M+3Sm= | 7,929503 | M+3Sm= | 9,6921 | M+3Sm= | 11,36396 |
| m | n=10 | m | n=20 | m | n=30 | m | n=40 | m | n=50 |
| 0,348678 | 0,121577 | 0,042391 | 0,014781 | 0,005154 | |||||
| 0,387420 | 0,270170 | 0,141304 | 0,065693 | 0,028632 | |||||
| 0,193710 | 0,285180 | 0,227656 | 0,142334 | 0,077943 | |||||
| 0,057396 | 0,190120 | 0,236088 | 0,200323 | 0,138565 | |||||
| 0,01116 | 0,089779 | 0,177066 | 0,205887 | 0,180905 | |||||
| 0,001488 | 0,031921 | 0,102305 | 0,164710 | 0,184925 | |||||
| 0,000138 | 0,008867 | 0,047363 | 0,106756 | 0,154104 | |||||
| 8,75E-06 | 0,00197 | 0,018043 | 0,057614 | 0,107628 | |||||
| 3,65E-07 | 0,000356 | 0,005764 | 0,026407 | 0,064278 | |||||
| 9E-09 | 5,27E-05 | 0,001565 | 0,010432 | 0,033329 | |||||
| 1E-10 | 6,44E-06 | 0,000365 | 0,003593 | 0,015183 | |||||
| 6,51E-07 | 7,38E-05 | 0,001089 | 0,006135 | ||||||
| 5,42E-08 | 1,3E-05 | 0,000292 | 0,002215 | ||||||
| 3,71E-09 | 2E-06 | 7E-05 | 0,000719 | ||||||
| 2,06E-10 | 2,69E-07 | 1,5E-05 | 0,000211 | ||||||
| 9,15E-12 | 3,19E-08 | 2,89E-06 | 5,63E-05 | ||||||
| 3,18E-13 | 3,33E-09 | 5,01E-07 | 1,37E-05 | ||||||
| 8,31E-15 | 3,04E-10 | 7,86E-08 | 3,04E-06 | ||||||
| 1,54E-16 | 2,44E-11 | 1,12E-08 | 6,2E-07 | ||||||
| 1,8E-18 | 1,71E-12 | 1,44E-09 | 1,16E-07 | ||||||
| 1E-20 | 1,05E-13 | 1,68E-10 | 2E-08 |
Интересно, что хотя таблицы продолжаются до строки 64, фактически (согласно правилу "3-х сигм") их можно было оборвать на строке 25 (это отразится только на значениях M и D в строках 8, 9). Все готово для построения нового графика, из которого будет видно, как с увеличением n распределение Бернулли приближается к некой стандартной форме – к распределению Лапласа, или к, так называемому, нормальному закону распределения Гаусса.
Считается, что при n ³ 30 распределение уже практически нормальное. Этот вопрос еще будет обсуждаться ниже при изучении распределения Лапласа. Там же рассмотрим применение кумуляты.
Построить спираль Архимеда по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 10 с шагом 0,2
- в столбце В – значения r = 0,5* t
- в столбце С – значения х = r * cos ( t )
- в столбце D – значения y = r * sin ( t )
- выделить значения в столбцах С и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить астроиду по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 7 с шагом 0,2
- в столбце В – значения х = 2*( cos ( t )) 3
- в столбце С – значения y = 2*( sin ( t )) 3
- выделить значения в столбцах B и С и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
П остроить улитку Паскаля по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения p = cos ( t )–0,5
- в столбце D – значения x = p * cos ( t )
- в столбце Е – значения у = p * sin ( t )
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить лемнискату Бернулли по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения r = 2* sin (2* t ) 2
- в столбце D – значения x = r * cos ( t )
- в столбце E – значения y = r * sin ( t )
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
П остроить график в форме сердца по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения x = 16*( sin ( t )) 3
- в столбце D – значения у =13* cos ( t )–5* cos (2* t )–2* cos (3* t )– cos (4* t )
- выделить значения в столбцах C и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
В строках 5 и 6 задаем значения параметров n = 10, p = 0,1. В следующих строках вычисляем q = 1 – p, M = S m Pn(m), D = S m 2 Pn(m) – M^2, M-3Sm = M – 3*КОРЕНЬ(D), M+3Sm = M + 3*КОРЕНЬ(D). Последние 4 формулы можно набрать позже, когда будет заполнен диапазон B14:B24, содержащий значения Pn(m). Отметим полезный прием: в столбце А записываем текст и сдвигаем его вправо, а в столбце В – вычисляем числовое значение и сдвигаем его влево. Получается понятный комментарий к выполненным действиям. Лист Excel, помимо всего прочего, является отчетным документом, поэтому не стоит экономить на комментариях и заголовках. Из информации в строках 8 – 11 первого блока, видно, что, действительно, M = np = 10´0,1 = 1; D = npq = 10´0,1´0,9 = 0,9; и что все вероятные значения m не превзойдут 4.
Значения Pn(m) удобно вычислять по реккурентной формуле (эта формула приведена в строке 3 рабочего листа). Начальное значение Pn(0) = q n вычисляем в ячейке В14. При наборе реккурентной формулы в ячейке В15 следует зафиксировать (знаками $) неизменяемые значения n, p, q. Далее формула копируется ниже до ячейки В24.
Заполнив первый блок, копируем его несколько раз вправо и в новых блоках заменяем значение параметра p на p = 0,3; p = 0,5; p = 0,7; p = 0,9. Все автоматически пересчитывается. В блоках серым фоном выделены значения Pn(m), которые признаны значимыми по правилу «3-х сигм».
Теперь строим графики. Выделяем значения m вместе с заголовком в ячейке А13, далее при нажатой клавише Ctrl выделяем мышкой значения Pn(m) для p = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9. Выделять диапазоны надо вместе с заголовками в строке 13, тогда эти заголовки автоматически будут отображены в легенде (пояснениях к каждой линии на графике). Вызываем Мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы – точечная, легенда – внизу, линии сетки – основные, заголовок: “Распределение Бернулли при разных p (n=10)”. В результате получаем следующий график, который почти не требует дополнительного форматирования:
Из этого графика видно, как меняется асимметрия распределения при увеличении параметра p: при p = 0,5 распределение симметричное, при p 0,5 – скошено вправо (отрицательная асимметрия).
Как уже указывалось выше, заголовки из строки 13 автоматически переносятся в легенду диаграммы. Но тогда хотелось бы, чтобы они автоматически корректировались при изменении параметра p. Поэтому в качестве заголовка в ячейке В13 набрана формула ="р="&ТЕКСТ(B9;"0,0"). Функция ТЕКСТ(Число;Формат) переводит в символьную форму значение p из ячейки В9; в тексте заголовка это число будет округлено до одного знака после запятой. Остальные заголовки в строке 13 корректируются автоматически при копировании.
Теперь переходим к изучению зависимости распределения Бернулли от второго параметра n. Скопируем все 5 готовых блоков вправо, начиная со столбца K, и заменим в новых блоках значения параметров: n = 10, 20, 30, 40, 50 и p = 0,1 (для всех новых блоков). Естественно, новые таблицы надо продлить вниз до строки 64 (они теперь будут иметь разную длину). Ненужную информацию можно скрыть с помощью условного форматирования. Так, таблица для n = 10 фактически обрывается на строке 24, поэтому можно сделать так, чтобы дальнейшие значения m и нулевые значения Pn(m) выводились серым цветом на белом фоне (тогда они почти не будут видны). Условный формат для колонки m задаем по условию:
Обратите внимание, что в ссылке на ячейку L8 зафиксирован только номер строки. Для колонки Pn(m) с заголовком n=10 условие будет более простое: значение равно 0 . При копировании отформатированного блока, копируются также все условные форматы.
Наконец, надо заменить заголовки в строке 13 на формулы ="n="&ТЕКСТ(L8;"0").
| K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T |
| n = | n = | n = | n = | n = | |||||
| p = | 0,1 | p = | 0,1 | p = | 0,1 | p = | 0,1 | p = | 0,1 |
| q = | 0,9 | q = | 0,9 | q = | 0,9 | q = | 0,9 | q = | 0,9 |
| M = | M = | M = | M = | M = | |||||
| D = | 0,9 | D = | 1,8 | D = | 2,7 | D = | 3,6 | D = | 4,5 |
| M-3Sm= | -1,84605 | M-3Sm= | -2,02492 | M-3Sm= | -1,9295 | M-3Sm= | -1,6921 | M-3Sm= | -1,36396 |
| M+3Sm= | 3,84605 | M+3Sm= | 6,024922 | M+3Sm= | 7,929503 | M+3Sm= | 9,6921 | M+3Sm= | 11,36396 |
| m | n=10 | m | n=20 | m | n=30 | m | n=40 | m | n=50 |
| 0,348678 | 0,121577 | 0,042391 | 0,014781 | 0,005154 | |||||
| 0,387420 | 0,270170 | 0,141304 | 0,065693 | 0,028632 | |||||
| 0,193710 | 0,285180 | 0,227656 | 0,142334 | 0,077943 | |||||
| 0,057396 | 0,190120 | 0,236088 | 0,200323 | 0,138565 | |||||
| 0,01116 | 0,089779 | 0,177066 | 0,205887 | 0,180905 | |||||
| 0,001488 | 0,031921 | 0,102305 | 0,164710 | 0,184925 | |||||
| 0,000138 | 0,008867 | 0,047363 | 0,106756 | 0,154104 | |||||
| 8,75E-06 | 0,00197 | 0,018043 | 0,057614 | 0,107628 | |||||
| 3,65E-07 | 0,000356 | 0,005764 | 0,026407 | 0,064278 | |||||
| 9E-09 | 5,27E-05 | 0,001565 | 0,010432 | 0,033329 | |||||
| 1E-10 | 6,44E-06 | 0,000365 | 0,003593 | 0,015183 | |||||
| 6,51E-07 | 7,38E-05 | 0,001089 | 0,006135 | ||||||
| 5,42E-08 | 1,3E-05 | 0,000292 | 0,002215 | ||||||
| 3,71E-09 | 2E-06 | 7E-05 | 0,000719 | ||||||
| 2,06E-10 | 2,69E-07 | 1,5E-05 | 0,000211 | ||||||
| 9,15E-12 | 3,19E-08 | 2,89E-06 | 5,63E-05 | ||||||
| 3,18E-13 | 3,33E-09 | 5,01E-07 | 1,37E-05 | ||||||
| 8,31E-15 | 3,04E-10 | 7,86E-08 | 3,04E-06 | ||||||
| 1,54E-16 | 2,44E-11 | 1,12E-08 | 6,2E-07 | ||||||
| 1,8E-18 | 1,71E-12 | 1,44E-09 | 1,16E-07 | ||||||
| 1E-20 | 1,05E-13 | 1,68E-10 | 2E-08 |
Интересно, что хотя таблицы продолжаются до строки 64, фактически (согласно правилу "3-х сигм") их можно было оборвать на строке 25 (это отразится только на значениях M и D в строках 8, 9). Все готово для построения нового графика, из которого будет видно, как с увеличением n распределение Бернулли приближается к некой стандартной форме – к распределению Лапласа, или к, так называемому, нормальному закону распределения Гаусса.
Считается, что при n ³ 30 распределение уже практически нормальное. Этот вопрос еще будет обсуждаться ниже при изучении распределения Лапласа. Там же рассмотрим применение кумуляты.
Очень часто при работе в Excel необходимо использовать вычисления вероятности появления некоторого события. Для этого используется статистическая функция ВЕРОЯТНОСТЬ.
Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel
Стоит отметить, что используются часто в Excel и другие статистические функции, к примеру:
Функция выполняет вычисление вероятности того, что значения с интервала находятся в заданных пределах. В случае, если верхний предел не будет задан, то будет возвращена вероятность того, что значения аргумента x_интервал будет равно значению аргумента под названием нижний_предел.
Вычисление процента вероятности события в Excel
Пример 1. Дана таблица диапазона числовых значений, а также вероятностей, которые им соответствуют:
Необходимо при использовании данной статистической функции вычислить вероятность события, что значение с указанного интервала входит в интервал [1;4].
Для этого введем функцию со следующими аргументами:
- х_интервал – это начальные данные (0, …, 4);
- интервал вероятностей является множеством вероятностей для начальных данных (0,15; 0,1; 0,15; 0,2; 0,4);
- нижний предел равен значению 1;
- верхний предел равен 4.
В результате выполненных вычислений получим:
Пример 2. В условии предыдущего примера нужно вычислить вероятность события «значение х равно 4».
Введем в ячейку С3 введем функцию с такими аргументами:
- х_интервал – начальные параметры (0, …, 4);
- интервал вероятностей – совокупность вероятностей для параметров (0,1; 0,15; 0,2; 0,15; 0,4);
- нижний предел – 4;
В данном примере верхний предел не указан, поскольку необходимо конкретное значение вероятности, а именно для значения 4.
Функция ВЕРОЯТНОСТЬ при нескольких условиях интервалов
Пример 3. В условии примера 1 нужно вычислить вероятность того, что значения интервала [0; 4] будут находится находятся внутри интервалов [0;1] и [3;4].
Описание формул аналогичные предыдущим примерам.
В результате выполненных вычислений получим:
Таким образом составив формулу можно с помощью данной функции вычислить процент вероятности при нескольких условиях.
Схема независимых испытаний
В общем виде схема повторных независимых испытаний записывается в виде задачи:
Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли:
$$ P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^=C_n^k cdot p^k cdot q^. qquad(1) $$
Данная схема описывает большой пласт задач по теории вероятностей (от игры в лотерею до испытания приборов на надежность), главное, выделить несколько характерных моментов:
- Опыт повторяется в одинаковых условиях несколько раз. Например, кубик кидается 5 раз, монета подбрасывается 10 раз, проверяется 20 деталей из одной партии, покупается 8 однотипных лотерейных билетов.
- Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова. Этот пункт связан с предыдущим, рассматриваются детали, которые могут оказаться с одинаковой вероятностью бракованными или билеты, которые выигрывают с одной и той же вероятностью.
- События в каждом опыте наступают или нет независимо от результатов предыдущих опытов. Кубик падает случайно вне зависимости от того, как упал предыдущий и т.п.
Подробнее про формулу Бернулли и примеры ее применения можно почитать в онлайн-учебнике. Мы же перейдем к вычислению с помощью программы MS Excel.
Формула Бернулли в Эксель
Для вычислений с помощью формулы Бернулли в Excel есть специальная функция =БИНОМ.РАСП() , выдающая определенную вероятность биномиального распределения.
Чтобы найти вероятность $P_n(k)$ в формуле (1) используйте следующий текст =БИНОМ.РАСП($k$;$n$;$p$;0) .
Покажем на примере. На листе подкрашены ячейки (серые), куда можно ввести параметры задачи $n, k, p$ и получить искомую вероятность (текст полностью виден в строке формул вверху).
Пример применения формулы на конкретных задачах мы рассмотрим ниже, а пока введем в лист Excel другие нужные формулы, которые пригодятся в решении:
Выше на скриншоте введены формулы для вычисления следующих вероятностей (помимо самих формул для Excel ниже записаны и исходные формулы теории вероятностей):
Примеры решений задач
Рассмотрим решение типовых задач.
Пример 1. Произвели 7 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 5 попаданий; от 6 до 7 попаданий в цель.
Решение. Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (выстрелах), всего их $n=7$, вероятность попадания при каждом одинакова и равна $p=0,75$, вероятность промаха $q=1-p=1-0,75=0,25$. Нужно найти, что будет ровно $k=5$ попаданий. Подставляем все в формулу (1) и получаем:
$$ P_7(5)=C_<7>^5 cdot 0,75^5 cdot 0,25^2 = 21cdot 0,75^5 cdot 0,25^2= 0,31146. $$
Для вероятности 6 или 7 попаданий суммируем:
$$ P_7(6)+P_7(7)=C_<7>^6 cdot 0,75^6 cdot 0,25^1+C_<7>^7 cdot 0,75^7 cdot 0,25^0= \ = 7cdot 0,75^6 cdot 0,25+0,75^7=0,44495. $$
А вот это решение в файле эксель:
Пример 2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье:
1. Ровно 2 мальчика
2. От 4 до 5 мальчиков
3. Не более 2 мальчиков
4. Не менее 7 мальчиков
5. Хотя бы один мальчик
Каково наиболее вероятное число мальчиков и девочек в семье?
Решение. Сначала запишем данные задачи: $n=10$ (число детей), $p=0,5$ (вероятность рождения мальчика). Формула Бернулли принимает вид: $$P_<10>(k)=C_<10>^k cdot 0,5^kcdot 0,5^<10-k>=C_<10>^k cdot 0,5^<10>$$ Приступим к вычислениям:
Наивероятнейшее число мальчиков найдем из неравенства:
Проведем эти же расчеты в нашем шаблоне эксель, вводя данные задачи в серые ячейки:
Видно, что ответы совпадают.
Пример 3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,3. Куплено 8 билетов. Найти вероятность того, что а) хотя бы один билет выигрышный; б) менее трех билетов выигрышные. Какое наиболее вероятное число выигрышных билетов?
Решение. Полное решение этой задачи можно найти тут, а мы сразу введем данные в Эксель и получим ответы: а) 0,94235; б) 0,55177; в) 2 билета. И они совпадут (с точностью до округления) с ответами ручного решения.
Построение графиков и поверхностей в Excel
Постройте график y=(x^2-8)+15 и поверхность z=2x^2+2y^2.Проведенные вычисления и графики должны.
Построение поверхностей в трехмерном пространстве
Построить верхнюю (четные варианты) или нижнюю (нечетные варианты) часть эллипсоида, заданного.
Построение поверхностей в трехмерном пространстве
Помогите сделать лабораторную, пожалуйста. 1.Построить верхнюю часть эллипсоида, заданного.
Построение графиков функций и поверхностей в MS Excel
Помогите Построить графики функций и поверхностей в MS Excel. Буду Вам очень благодарна
замечательные кривые
Х задаёте сами, а Y рассчитываете - данные в ссылке. График - лепестковая.
Добавлено через 9 минут
B2 - угол в радианах от 0 до 360 Я уже была на этой ссылке.Смотрела.Как роза выглядит я и так знала. Мне нужна именно формула которую в строке в Excel записать, все остальное есть.Для астроиды для х это будет =$B$1*COS(A3)^3, а для y =$B$1*SIN(A3)^3. Вот такого типа мне и нужны формулы для графиков кардиоиды, розы и лемниската бернулли. Из поверхностей второго порядка остался двуполостной гиперболоид - остальные вроде сделала. А этот вверх ногами получается, ветвями вверх.Прикрепляю вообще само задание
Решение
для Двуполостной гиперболоид X и Y не задаются соответственно берите произвольно, например с графика примера от -4 до 4Видео про построение поверхности смотрите в шапке.
формула где Н1 - значение "с"
А3 - значение "Х"
J1 - значение "а"
B2 - значение "Y"
L1 - значение "в"
Построение поверхностей
Добрый день, необходимо построить 2 поверхности, 1)F= 9,2 – 3,00 •Х +2,01• Y +8,21 Z +4,81• Х^2.
Построение поверхностей
Доброго времени суток! Мне была поставлена задача по построению поверхности (x,y,z) на основании.
Построение поверхностей
Здравствуйте! Хотела бы Вас спросить как построить поверхность с помощью пареметрицкого уравнения.
Построение кривых поверхностей
Здравствуйте, а подскажите как строятся кривые плоскости( по какому алгоритму) в OpenGL или где.
Читайте также: