Численное решение уравнений с помощью электронных таблиц excel

Обновлено: 08.01.2025

Какие основные способы решения систем уравнений применяются учащимися на уроках? Способ подстановки, способ сложения, графический метод.

В данной работе показано, как с помощью электронных таблиц MS Excel можно упростить графический метод решения систем уравнений, а также решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Графический метод решения систем уравнений.

Графический метод наглядно показывает решение систем уравнений, но недостатком этого метода считается:

- много времени уходит на построение графиков функций;

- погрешность при построении;

- погрешность нахождения корней системы уравнений.

Многие из этих минусов можно избежать с помощью электронных таблиц MS Excel.

Решить графически системы уравнений с помощью MS Excel.

Преобразуем данные системы и внесем данные в MS Excel. (см. Приложение1.xls)

Вид данных графиков функций хорошо известен нам по урокам математики, полученные решения означают, что для первой системы уравнений графики функций пересекаются в двух точках; для второй системы уравнений графики функций касаются в точке; для третьей системы уравнений графики функций не пересекаются. Проиллюстрируем эти решения средствами MS Excel.

Построив графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Рассмотрим четвертый способ решения систем уравнений, который называется методом Крамера и решается с помощью определителей.

Запишем метод Крамера для систем 2-го порядка.

решение записывается в виде: , где

, система имеет единственное решение - ,

система имеет бесконечное множество решений.

система не имеет решения.

Для упрощения вычислений можно использовать электронные таблицы MS Excel. В MS Excel есть формула позволяющая упростить процесс подсчета определителя – функция МОПРЕД(диапазон ячеек) (Функция МОПРЕД – возвращает определитель матрицы). Введя коэффициенты системы в ячейки и применив данную функцию можно найти значение определителя матрицы и вычислить корни системы по формуле Крамера.

Решите систему уравнений

Выясните, имеет ли решения система и сколько: а)

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: система не имеет решение.

Усложним работу. Рассмотрим решение системы 3 линейных уравнений с 3 неизвестными.

Численное решение уравнений с помощью электронных таблиц Microsoft Excel Выполнила Соколова М.А.

Введение: В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов: 1.Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования); 2.Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации); 3.Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования); 4.Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации); 5.Анализ полученных результатов (этап интерпретации).

Вариант № 10 индивидуального расчетного задания

Состав задания: Ознакомиться с теоретической частью задания; Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel Оформить презентацию в Ms Power Point , включающую: постановку задачи; алгоритм расчета; таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции; результат расчета и его анализ.

Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью. Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов.

Общая постановка задания: Найти действительные корни уравнения f(x) =0 , где f(x) –алгебраическая или трансцендентная функция. Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений ( квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические) Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов: Отделение(локализация) корня; Приближенное вычисление корня до заданной точности (уточнение корней).

Уточнение корня. Если искомый корень уравнения f(x)=0, отделен, т.е. определен отрезок [a,b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение коня с заданной точностью. Такая задача называется уточнение корня. Уточнение корня можно производить различными методами: Метод половинного деления(бисекции); Метод итераций; Метод хорд(секущих); Метод касательных(Ньютона); Комбинированные методы.

Индивидуальное расчетное задание

Графический метод Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции у = f (х) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f (х) = 0. До настоящего времени графический метод предлагалось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью. Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма: 1) если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз); 2) повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.

Графический метод: X=-0,11096 ,Отрезок [-1;0]

Метод половинного деления Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью. Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов. Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия - сопоставленность или противопоставленность двух частей целого): Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b), либо справа от середины, либо - слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b). Алгоритм для программной реализации: а:=левая граница b:= правая граница m:= (a+b)/2 середина определяем f(a) и f(m) если f(a)*f(m)<0 то b:=m иначе a:=m если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2 m- искомый корень.

ВВЕДЕНИЕ

Современное развитие науки, техники и технологий тесно связано с использованием математических методов, программного обеспечения и мощных ЭВМ, ставшим рабочим инструментом учёного, инженера, конструктора. Все это позволяет строить и исследовать математические модели сложных устройств, систем и процессов, при этом резко сократить время и стоимость инженерных разработок.

Широкое использование ЭВМ способствовало развитию вычислительной математики (прикладной математики). Как и любая наука, вычислительная математика представляет собой сплав "классической" (теоретической) науки и прикладной науки, в роли последней выступает область вычислительных методов.

Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. Последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в дальнейшем данная тенденция сохранится. Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений. При этом актуальным является использование ЭВМ и специального программного обеспечения при решении линейных и нелинейных уравнений и их систем.

Одна из основных целей изучения школьного курса математики заключается в овладении способами решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В школьном курсе изучаются формулы корней квадратных уравнений, методы аналитического решения показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. При этом многие математические задачи, например, решение неравенств и их систем, нахождение области допустимых решений функции и т. п., включают в себя этап решения уравнений.

Цель работы: Освоение приемов численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel.

Задачи:

1) Ознакомиться с историей развития аналитических и численных методов решения уравнений.

2). Изучить особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов.

3). Ознакомиться с вычислительными возможностями ЭТ MS Excel и изучить средства уточнения действительных корней нелинейных уравнений.

4) Освоить приемы отделения и уточнения действительных корней нелинейных уравнений в среде ЭТ MS Excel.

5) Решить задачи численного нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel.

Объект исследования: нелинейные уравнения с одной переменной.

Предмет исследования: возможности ЭТ MS Excel для численного решения нелинейные уравнения с одной переменной.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Краткая история развития численных методов

Вычислительная математика начала свое развитие достаточно давно и в своем развитии прошла три этапа:

I. Первый этап начался 3-4 тысячи лет назад. Жители Вавилона в 2000 г. до н.э. уже умели решать квадратные уравнения и составлять таблицы для решения кубических уравнений путем приведения общего кубического многочлена к нормальному виду. В VII в. индийцы развили последовательную алгебраическую теорию уравнений первой и второй степени. Итальянский математик Ш. Ферро (1465-1526) нашел способ решения кубических уравнений специального вида [1]. Этот научный результат стал отправным пунктом для развития алгебры и математики вообще. Другим итальянским математиком, инженером, медиком и астрологом Дж. Кардано (1506-1576) было найдено решение приведенного кубического уравнения и опубликовано в 1545 г. в его научном труде «Великое искусство». В 1591 году великий французский математик Ф. Виет (1540-1603) впервые ввел символическое обозначение не только для неизвестных, но и для коэффициентов уравнений; указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Вычислительные средства этого этапа – палочки, пальцы, камешки и как вершина – счеты (абак).

II. Второй период начался с И. Ньютона (1642-1727). В этот период решались задачи астрономии, геодезии, баллистики и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. В 1669 г. Ньютон предложил метод касательных для приближенного решения алгебраических уравнений, а в 1676 г. – способ приближенного вычисления определенных интегралов. Вычислительные средства – таблицы элементарных функций, арифмометры и логарифмические линейки.

2. Особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов

С помощью математического моделирования решение научной задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются две основные группы методов: аналитические и численные.

Аналитические методы, как правило, позволяют получить решение задачи в виде формул. В частности, если математическая задача состоит в решении нелинейных уравнений, то использование известных из курса средней школы приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это бывает достаточно редко. Например, если задача свелась к решению уравнения с одной переменной:

то при всей тривиальности этой задачи выразить корни уравнения путем аналитических преобразований не удается. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Доказательство этого факта связано с именами математиков Абеля (1802-1829) и Галуа (1811-1832).

Аналогичные проблемы возникают также и при решении других математических задач. В частности, при вычислении определенных интегралов также часто не удается выразить первообразную через элементарные функции.

Для решения таких задач разрабатываются и применяются методы приближенных вычислений или численные методы, позволяющие свести решение математической задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. Таким образом, численные методы позволяют найти решение в виде числа или таблицы значений, найденных с заданной точностью.

Важным отличием и преимуществом аналитических методов перед численными является то, что они позволяют получить общее решение задачи в виде формулы, по которой можно изучать качественные особенности решения, а также исследовать влияние начальных условий и параметров задачи на характер решения. Численные же методы позволяют найти только частное решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных, при этом численные методы обладают большей общностью.

3. Численное решение уравнений с одной переменной

Нелинейное уравнение с одной переменной в общем случае может быть записано в виде

где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a < x < b.

Всякое значение [a, b], обращающее функцию F(x) в нуль, т.е. когда F() = 0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции F(x).

Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные.Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Как было сказано выше, методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

аналитические (точные) методы;

численные (приближенные) методы.

Задача численного нахождения действительных корней нелинейного уравнения (1) обычно состоит из двух этапов [2]:

отделения корней, т.е. нахождения достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится один и только один искомый корень;

уточнения отделенных на первом этапе корней, т.е. их нахождение численным методом с заданной степенью точности.

В связи с этим рассмотрим вначале задачу отделения корней, а затем возможности численных методов их уточнения.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень. Одним из самых распространенных и не очень точных является графический метод.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) – это точки пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции F(x) и отметить точки пересечения графикас осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив исходное уравнение (1) равносильным ему уравнением:

где функцииF₁(x) и F₂(x) – более простые, чем исходная функцияF(x). Тогда, построив графики функций у =F₁(x) и у = F₂(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Покажем теперь, что найденные графически отрезки содержат один и только один корень решаемого уравнения. Предположим, что найден отрезок [a, b] такой, что

функцияF(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе с производной первого порядка;

значения F(x) на концах отрезка имеют разные знаки (F(a)F(b) < 0);

первая производная F (x) сохраняет определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что F(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным. Такой интервал называют интервалом изоляции искомого корня ξ.

Пример 1. Графически отделить корни уравнения

Решение. Уравнение (3) перепишем в виде равенства lg x=.

Отсюда ясно, что корни уравнения (3) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые (см. рис. 1), приближенно найдем единственный корень уравнения (3) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Рис. 1 – Графическое отделение корней (пример 1)

Убедимся, что отрезок [2, 3] содержит один и только один корень уравнения (3).

Перепишем уравнение в виде F(x) = 0, где .

Тогда F(2) = 2 . lg(2) – 1 = 2 . 0.30103–1=0.60206 –1= –0.39794 0, т.е. на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков.

Найдем первую производную функции:

Следовательно, первая производная сохраняют свой знак на отрезке, а на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков, значит отрезок [2, 3] – отрезок изоляции искомого корня ξ.

После этого выполняется этап уточнения отделенных корней нелинейного уравнения. На каждом из найденных интервалов для поиска корня используются численные методы уточнения корня до заданной точности ε. К данным методам относятся: метод половинного деления (бисекций), метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод последовательных приближений (итераций) и т.п.

4. Средства уточнения корней электронных таблиц Microsoft Excel

Электронные таблицы MS Excel входят в стандартный пакет формирования и обработки информации MS Office и установлены практически на каждом современном компьютере. Применение электронных таблиц упрощает работу с данными и позволяет получать результаты без проведения расчетов вручную или специального программирования. Наиболее широкое применение электронные таблицы нашли в экономических и бухгалтерских расчетах, но не все знают, что и в научно-технических задачах электронные таблицы можно использовать достаточно эффективно. Вычислительную мощь Excel обеспечивают встроенные функции, средства анализа и надстройки.

Надстройки – специальные средства, расширяющие возможности программы MS Excel. Именно надстройки делают ее удобной для использования в научно-технической работе. Хотя эти средства считаются внешними, дополнительными, доступ к ним осуществляется при помощи обычных команд командной строки (обычно через меню команд Сервис или Данные). При этом открываются специальные диалоговые окна, оформленные как стандартные диалоговые окна MS Excel.

Подключить или отключить установленные надстройки Excel можно с помощью Настройки панели быстрого доступа. Подключение надстроек увеличивает нагрузку на вычислительную систему, поэтому обычно рекомендуют подключать только те надстройки, которые реально используются.

Для уточнения корней с помощью ЭТ MS Excel можно использовать средство Подбор параметра (команда Данные → Анализ "что если") или надстройку Поиск решения.

Приведем лист MS Excel (см. рис. 2) с иллюстрацией применения средства Подбор параметра для уточнения корня уравнения (3), изолированного на отрезке [2, 3].

Рис. 2 – Графическое отделение корней уравнения двумя способами и подготовка к этапу уточнения

При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке, в нашем случае N32, до тех пор, пока вычисления по формуле в ячейке О32, ссылающейся на ячейку N32, не дадут нужного результата, а именно нуля функции (см. рис. 3).

Рис. 3 – Окно диалога средства Подбор параметра

После нажатия на кнопку OК MS Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра (см. рис. 4). Если подобранное значение корня необходимо сохранить, то нажмите на ОК, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки, в нашем случае – ячейка N32.

Рис. 4 – Окно диалога Результат подбора параметра

Таким образом, искомое значение корня, уточненное средством Подбор параметра, составит ξ = 2,50617208. При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс, при этом количество итераций и точность может устанавливаться пользователем.

Рассмотрим теперь, как воспользоваться надстройкой Поиск решения на примере нахождения корней алгебраического уравнения х 3 – 10 . х + 2 = 0. На следующем листе MS Excel приведен этап графического отделения корней (см. рис. 5).

Рис. 5 – Этап графического отделения корней уравнения х 3 – 10 . х + 2 = 0

Анализ графика функции показывает, что решаемое уравнение имеет три действительных корня, определены отрезки изоляции искомых корней.

Для уточнения отделенных корней сформируем вторую таблицу, в которую занесем середины отрезков изоляции, которые будут взяты за начальные приближения к искомым корням. Кроме этого, таблица содержит столбец вычисленных значений функции F(x) = х 3 – 10 . х + 2. Далее из команды главного меню Данные следует вызвать надстройку Поиск решения. При этом откроется диалоговое окно, представленное на рис. 6.

Рис. 6 – Диалоговое окно надстройки Поиск решения

Для уточнения первого корня в поле Оптимизировать целевую функцию указываем адрес ячейки D23. Поскольку необходимо найти решение уравнения F(x) = 0, то в переключателе До: записываем значение правой части уравнения (т. е. 0). В поле Изменяя ячейки переменных: заносится абсолютный адрес ячейки С23. Для запуска процесса решения задачи следует щелкнуть по кнопке Найти решение. На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения с информацией о том, найдено или нет искомое решение (см. рис. 7). Если решение найдено, то далее следует выбрать один из следующих возможных вариантов:

• сохранить найденное решение, т. е. заменить исходные значения в изменяемых ячейках на значения, полученные в результате решения задачи;

• восстановить исходные значения в изменяемых ячейках.

Рис. 7 – Диалоговое окно Результаты поиска решения

Таким образом, искомое значение первого корня, уточненное надстройкой Поиск решения, составит ξ₁ = -3,257896991. Аналогично находится второй корень ξ₂ = 0,200809757. Третий корень найдем с помощью средства Подбор параметра. Результаты решения представлены на рис. 8.

Рис. 8 – Результаты уточнения третьего корня

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения данной научно-исследовательской работы достигнута цель исследования – я освоил приемы численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. При этом я ознакомился с историей развития аналитических и численных методов решения уравнений и систем уравнений, изучил особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов. Кроме этого, я ознакомился с вычислительными возможностями ЭТ MS Excel и изучил такие средства уточнения действительных корней нелинейных уравнений, как средство Подбор параметра и надстройка Поиск решения. Оба эти инструмента позволяют подобрать значение искомого корня, при котором функция F(ξ) обращается в ноль. На практике в среде ЭТ MS Excel были графически отделены и уточнены корни трансцендентного уравнения x. lg x – 1 = 0 и алгебраического х 3 – 10 . х + 2 = 0.

Надеюсь, что полученные знания и навыки помогут мне успешно сдать ОГЭ по дисциплинам математика и информатика и ИТК.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Библиографический справочник. – Киев: Наукова думка, 1983. – 638 с.

2. Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664 с.

3. Дж. Уокенбах. Microsoft Office Excel 2007. Библия пользователя. – М.: Диалектика, 2008. – 816 с.

4. П. Дж. Бернс, Дж. Р. Николсон. Секреты Excel для Windows 95. – К.: Диалектика, 1996. – 576 с.

Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

Первый метод

Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Третий метод

Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

1. Записываете произвольную систему уравнений.

2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

Четвертый метод

Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» - «Работа с данными» - «Анализ «что-если»» - «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» - ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» - В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: .
В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Читайте также: