Обратная функция sin
Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.
В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:
sin(arcsin x ) = x
cos(arccos x ) = x
tg(arctg x ) = x ( –∞ < x < +∞ )
ctg(arcctg x ) = x ( –∞ < x < +∞ )
Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin x ) = x при
arccos(cos x ) = x при
arctg(tg x ) = x при
arcctg(ctg x ) = x при
Если переменная x не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n - целое):
sin x = sin(– x–π ) ; sin x = sin( π–x ) ; sin x = sin( x+ 2 πn ) ;
cos x = cos( –x ) ; cos x = cos( 2 π–x ) ; cos x = cos( x+ 2 πn ) ;
tg x = tg( x+πn ) ; ctg x = ctg( x+πn )
Например, если известно, что то
arcsin(sin x ) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .
Легко убедиться, что при π – x попадает в нужный интервал. Для этого умножим на –1 : и прибавим π : или Все правильно.
Обратные функции отрицательного аргумента
Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.
arcsin(– x ) = arcsin(–sin arcsin x ) = arcsin(sin(–arcsin x )) = – arcsin x
Поскольку то умножив на –1 , имеем: или
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.
Аналогично для остальных функций.
arccos(– x ) = arccos(–cos arccos x ) = arccos(cos(π–arccos x )) = π – arccos x
arctg(– x ) = arctg(–tg arctg x ) = arctg(tg(–arctg x )) = – arctg x
arcctg(– x ) = arcctg(–ctg arcctg x ) = arcctg(ctg(π–arcctg x )) = π – arcctg x
Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс
Выразим арксинус через арккосинус.
Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку
Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на –1 : и прибавим π/2 : или Все правильно.
Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.
Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот
Поступаем аналогичным способом.
Формулы суммы и разности
Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.
Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x , Y = arcsin y . Формула применима при
. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(– x ) = – arcsin x, arcsin(– y ) = – arcsin y, то при разных знаках у x и y , X и Y также разного знака и поэтому неравенства выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: . То есть при формула справедлива.
Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0 , или X > 0 и Y > 0 . Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: . Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0 , до π , то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
;
;
;
.
Поскольку и ; то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;
.
Подставляем sin X = sin arcsin x = x :
;
;
;
.
Итак, полученная формула справедлива при или .
Теперь рассмотрим случай x > 0, y > 0 и x 2 + y 2 > 1 . Здесь аргумент синуса принимает значения: . Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса :
Заменив x и y на – x и – y , имеем
при и .
Выполняем преобразования:
при и .
Или
при и .
Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:
при или ;
при и ;
при и .
Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .
Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.
Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения и множество значений .
Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .
Графики обратных тригонометрических функций
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctg x
y = arcctg x
Основные формулы
Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
arcsin(sin x ) = x при
sin(arcsin x ) = x
arccos(cos x ) = x при
cos(arccos x ) = x
arctg(tg x ) = x при
tg(arctg x ) = x
arcctg(ctg x ) = x при
ctg(arcctg x ) = x
Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям.
Арксинус (обозначается как arcsin x; arcsin x — это угол, sin его равняется x).
Арксинус (y = arcsin x) – обратная тригонометрическая функция к sin (x = sin y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его sin.
Функция y=sin x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=arcsin x - строго возрастает.
Свойства функции arcsin .
График арксинуса.
Получение функции arcsin .
Есть функция y = sin x. На всей своей области определения она кусочно-монотонная, таким образом, обратное соответствие y = arcsin x не является функцией. Поэтому рассматриваем отрезок, на котором она только возрастает и принимает каждое значение области значений — ; frac ight ]" />
. Т.к. для функции y = sin x на интервале ; frac ight ]" height="" />
все значения функции получается при только одном значении аргумента, значит, на этом отрезке есть обратная функция y = arcsin x, у которой график является симметричным графику функции y = sin x на отрезке ; frac ight ]" height="" />
относительно прямой y = x.
Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям .
Арктангенс - обозначение: arctg x или arctan x.
Арктангенс (y = arctg x) – обратная функция к tg (x = tg y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его tg.
Функция y = arctg x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arctg x является строго возрастающей.
Свойства функции arctg .
График функции y = arctg x .
, на нем функция монотонна. Это определение называется главным значением арктангенса.
Получение функции arctg .
Есть функция y = tg x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arctg x не является функцией. Поэтому рассматриваем отрезок, на котором она только возрастает и принимает все значения лишь 1 раз — ; frac ight)." width="" height="" />
. На таком отрезке y = tg x только возрастает монотонно и принимает все значения лишь 1 раз, то есть, на интервале ; frac ight)" width="" height="" />
есть обратная y = arctg x, график ее симметричен графику y = tg x на отрезке ; frac ight)" width="" height="" />
относительно прямой y = x.
Читайте также: