У меня быстродействующий компьютер или я не закончу проект вовремя и сдам экзамен

Обновлено: 15.01.2025

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ,
ЛОГИКА,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Г Л А В А
1
1
1.1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ
В этом разделе рассматриваются таблицы истинности, знакомство с которыми будет для нас первым шагом в изучении логики. Далее мы увидим, что табли- цы истинности являются также основным инструментом для определения других важных понятий дискретной математики. Логика, созданная как наука знамени- тым Аристотелем (384–322 до н.э.), на протяжении столетий использовалась для развития многих областей знания, включая теологию, философию, математику.
Она — тот фундамент, на котором построено все здание математики. По сути,
логика — это наука о рассуждениях, которая позволяет определить истинность или ложность того или иного математического утверждения, исходя из совокуп- ности первичных предположений, называемых аксиомами. Логика применяется также в информатике для построения компьютерных программ и доказательства их корректности. Понятия, методы и средства логики лежат в основе современных информационных технологий. Одна из основных целей этой книги — изложить основы математической логики, показать, как она используется в информатике, и разработать методы анализа и доказательства математических утверждений.
Высказывание — это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Иными словами, утвержде- ние об истинности или ложности высказывания должно иметь смысл. Истинность или ложность, приписываемые некоторому утверждению, называются его значе-
нием истинности, или истинностным значением.
Вот примеры предложений, не являющихся высказываниями:
Кто вы?
(вопрос),
Прочтите эту главу до следующего занятия
(приказ или восклицание),
Это утверждение ложно
(внутренне противоречивое утверждение).

16
ГЛАВА 1. Таблицы истинности, логика, доказательства
Мы будем обозначать высказывания буквами латинского алфавита p, q, r, . . .
Например, p может обозначать утверждение Завтра будет дождь, а q — утвер- ждение Квадрат целого числа есть число положительное.
В обыденной речи для образования сложного предложения из простых ис- пользуются связки — особые части речи, соединяющие отдельные предложения.
Наиболее часто употребляются связки и, или, нет, если . . . то, только если,
и тогда и только тогда. В отличие от обыденной речи, в логике смысл таких связок должен быть определен однозначно. Истинность сложного высказывания однозначно определяется истинностью или ложностью составляющих его частей.
Высказывание, не содержащее связок, называется простым. Высказывание, со- держащее связки, называется сложным.
Пусть p и q обозначают высказывания p :
Джейн водит автомобиль
,
q :
У Боба русые волосы
Сложное высказывание
Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы
состоит из двух частей, объединенных связкой и. Это высказывание может быть символически записано в виде p и q или просто как p
∧ q ,
где символ ∧ обозначает слово и на языке символических выражений. Выражение p
∧ q называется конъюнкцией высказываний p и q.
Точно так же высказывание
Джейн водит автомобиль или у Боба рыжие волосы.
символически выражается как p или q или p
∨ q ,
где ∨ обозначает слово или в переводе на символический язык. Выражение p ∨ q называется дизъюнкцией высказываний p и q.
Опровержение, или отрицание высказывания p обозначается через
∼p .
Таким образом, если p есть высказывание Джейн водит автомобиль, то ∼p —
это утверждение Джейн не водит автомобиль.
Если r есть высказывание Джо нравится информатика, то Джейн не во-
дит автомобиль и у Боба русые волосы или Джо любит информатику симво- лически запишется как ((∼p) ∧ q) ∨ r. И наоборот, выражение p ∧ (∼q) ∧ r — это

РАЗДЕЛ 1.1. Высказывания и логические связки
17
символическая форма записи высказывания Джейн водит автомобиль, у Боба
волосы не русые и Джо нравится информатика.
Рассмотрим выражение p ∧ q. Если некто говорит: “Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы”, то мы, естественно, представляем себе Джейн за рулем автомобиля и русоволосого Боба. В любой другой ситуации (например, если Боб не русоволос или Джейн не водит автомобиль) мы скажем, что говорящий не прав.
Возможны четыре случая, которые нам необходимо рассмотреть. Высказы- вание p может быть истинным (T ) или ложным (F ) и независимо от того, какое истинностное значение принимает p, высказывание q может также быть истин- ным (T ) или ложным (F ). Таблица истинности перечисляет все возможные комбинации истинности и ложности сложных высказываний.
Случай
p q
p ∧ q
1
T
T
T
2
T
F
F
3
F
T
F
4
F
F
F
Ранее мы убедились, что только в первом случае высказывание p∧q истинно.
В остальных же мы имеем ложное значение p ∧ q. Например, случай 3 описывает значение истинности для p ∧ q, когда неверно, что Джейн водит автомобиль и у
Боба русые волосы. Если p — высказывание Джон богат, а q — высказывание
Джон красив, то не знакомая с Джоном девушка, которую убедили в том, что высказывание Джон богат и Джон красив, или Джон богат и красив истинно,
будет представлять себе Джона и богатым, и красивым.
Точно так же рассмотрим высказывание
Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы
,
которое символически выражается как p ∨ q. Если некто скажет: “Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы”, то он будет не прав только тогда, когда
Джейн не сможет управлять автомобилем, а Боб не будет русоволосым. Для того чтобы все высказывание было истинным, достаточно, чтобы одна из двух состав- ляющих его компонент была истинной. Поэтому p ∨ q имеет таблицу истинности
Случай
p q
p ∨ q
1
T
T
T
2
T
F
T
3
F
T
T
4
F
F
F
Высказывание p ∨ q ложно только в случае 4, когда p и q оба ложны.
Если p — высказывание Джон богат, а q — высказывание Джон красив, и не знакомая с Джоном девушка уверена в истинности высказывания Джон богат
или Джон красив, или Джон богат или красив, то она вправе ожидать, что

18
ГЛАВА 1. Таблицы истинности, логика, доказательства
истинно одно из высказываний, но не обязательно оба. Девушка почувствует себя введенной в заблуждение, только если обнаружит, что Джон беден и уродлив.
Таблица истинности для отрицания p имеет вид
Случай
p
∼p
1
T
F
2
F
T
Истинностное значение ∼p всегда противоположно истинностному значе- нию p. В таблицах истинности отрицание всегда оценивается первым, если только за знаком отрицания не следует высказывание, заключенное в скобки. Поэтому
∼p ∨ q интерпретируется как (∼p) ∨ q, так что отрицание применяется только к p.
Если мы хотим отрицать все высказывание p∧q, то это записывается как ∼(p∨q).
Символы ∧ и ∨ называют бинарными связками, так как они связывают два высказывания как, например, в выражениях p ∧ q и p ∨ q. Символ ∼ является
унарной связкой, так как применяется только к одному высказыванию.
Еще одна бинарная связка — это исключающее или, которое обозначается через ∨ . Высказывание p ∨ q истинно, когда истинно p или q, но не оба одновре- менно. Эта связка имеет таблицу истинности
Случай
p q
p ∨ q
1
T
T
F
2
T
F
T
3
F
T
T
4
F
F
F
Используя слово или, мы можем иметь в виду исключающее или. Например,
когда мы говорим: “Дик сдаст экзамен по логике или он не сдаст этот экзамен”,
мы, конечно, предполагаем, что Дик сделает что-то одно. Таким образом, когда мы говорим, что p — либо истина, либо ложь, то, естественно, предполагаем,
что это не выполняется одновременно. В логике исключающее или используется довольно редко, и в дальнейшем мы, как правило, будем обходиться без него.
Рассмотрим высказывание
Сэм уплатит налог за машину или Сэм утратит свою
машину и будет ходить на работу пешком .
Пусть p обозначает высказывание Сэм уплатит налог за машину, q — высказы- вание Сэм останется при своей машине, а r — высказывание Сэм будет ходить
на работу пешком. Тогда наше сложное высказывание можно представить в виде p
∨ ((∼q) ∧ r) ,
где скобки использованы, чтобы показать, какие именно высказывания являются компонентами каждой связки.
Таблица истинности дает возможность однозначно указать те ситуации, ко- гда высказывание p ∨ ((∼q) ∧ r) является истинным; при этом мы должны быть

РАЗДЕЛ 1.1. Высказывания и логические связки
19
уверены, что учтены все случаи. Поскольку сложное высказывание содержит три основных высказывания p, q и r, то возможны восемь случаев
Случай
p q
r
∼q
(∼q) ∧ r p ∨ ((∼q) ∧ r)
1
T
T
T
F
F
T
2
T
T
F
F
F
T
3
T
F
T
T
T
T
4
T
F
F
T
F
T
5
F
T
T
F
F
F
6
F
T
F
F
F
F
7
F
F
T
T
T
T
8
F
F
F
T
F
F
При нахождении значений истинности для столбца (∼q) ∧ r мы используем столбцы для (∼q) и r, а также таблицу истинности для ∧. Таблица истинности для ∧ показывает, что высказывание (∼q) ∧ r истинно лишь в том случае, когда истинны оба высказывания (∼q) и r. Это имеет место лишь в случаях 3 и 7.
Заметим, что при определении значений истинности для столбца p∨((∼q)∧r)
играет роль только истинность высказываний p и (∼q) ∧ r. Таблица истинности для ∨ показывает, что единственный случай, когда высказывание, образованное с помощью связки или, ложно, — это случай, когда ложны обе части этого вы- сказывания. Такая ситуация имеет место только в случаях 5, 6 и 8.
Если Сэм не уплатит налог за машину (т.e. p ложно, или имеет значение F ),
лишится своей машины (q имеет значение F ) и будет ходить на работу пешком (r имеет значение T ), то будет иметь место случай 7. Тот, кто скажет: “Сэм уплатит налог за машину или Сэм утратит машину и будет ходить на работу пешком”,
будет абсолютно прав.
Другой, эквивалентный способ построения таблицы истинности состоит в том, чтобы записывать истинностные значения выражения под связкой. Снова рассмотрим выражение p ∨ ((∼q) ∧ r). Сначала мы записываем истинностные зна- чения под переменными p, q и r. Единицы под столбцами истинностных значений указывают на то, что этим столбцам истинностные значения присваиваются в пер- вую очередь. В общем случае число под столбцом будет показывать номер шага,
на котором производятся вычисления соответствующих истинностных значений.
Случай
p q
r p
∨
((∼
q)
∧
r)
1
T
T
T
T
T
T
2
T
T
F
T
T
F
3
T
F
T
T
F
T
4
T
F
F
T
F
F
5
F
T
T
F
T
T
6
F
T
F
F
T
F
7
F
F
T
F
F
T
8
F
F
F
F
F
F
1 1
1

20
ГЛАВА 1. Таблицы истинности, логика, доказательства
Затем мы записываем под символом ∼ истинностные значения высказывания ∼q.
Случай
p q
r p
∨
((∼
q)
∧
r)
1
T
T
T
T
F
T
T
2
T
T
F
T
F
T
F
3
T
F
T
T
T
F
T
4
T
F
F
T
T
F
F
5
F
T
T
F
F
T
T
6
F
T
F
F
F
T
F
7
F
F
T
F
T
F
T
8
F
F
F
F
T
F
F
1 2
1 1
Далее записываем истинностные значения (∼q) ∧ r под символом ∧.
Случай
p q
r p
∨
((∼
q)
∧
r)
1
T
T
T
T
F
T
F
T
2
T
T
F
T
F
T
F
F
3
T
F
T
T
T
F
T
T
4
T
F
F
T
T
F
F
F
5
F
T
T
F
F
T
F
T
6
F
T
F
F
F
T
F
F
7
F
F
T
F
T
F
T
T
8
F
F
F
F
T
F
F
F
1 2
1 3
1
Наконец, записываем значения высказывания p ∨ ((∼q) ∧ r) под символом ∨.
Случай
p q
r p
∨
((∼
q)
∧
r)
1
T
T
T
T
T
F
T
F
T
2
T
T
F
T
T
F
T
F
F
3
T
F
T
T
T
T
F
T
T
4
T
F
F
T
T
T
F
F
F
5
F
T
T
F
F
F
T
F
T
6
F
T
F
F
F
F
T
F
F
7
F
F
T
F
T
T
F
T
T
8
F
F
F
F
F
T
F
F
F
1 4
2 1
3 1
ПРИМЕР 1.1.
Пусть p, q и r обозначают, соответственно, высказывания Фрэд
любит футбол, Фрэд любит гольф, Фрэд любит теннис. Требуется записать высказывание Фрэд любит футбол и неверно, что он любит гольф или теннис
в символической форме и указать соответствующую ему таблицу истинности.

РАЗДЕЛ 1.1. Высказывания и логические связки
21
Сначала заменим это высказывание эквивалентным — Фрэду нравится фут-
бол и неверно, что Фрэд любит гольф или теннис. Высказывание Фрэд любит
гольф или теннис в символической форме записывается как q
∨ r. Высказыва- ние Неверно, что Фрэд любит гольф или теннис, символически записывается как ∼(q ∨ r), поскольку отрицание применяется ко всему высказыванию, которое следует после “что”. Итак, исходное высказывание символически изображается p
∧ (∼(q ∨ r)). Таблица истинности этого высказывания имеет вид
Случай
p q
r p
∧
(∼
(q ∨ r))
1
T
T
T
T
F
F
T
2
T
T
F
T
F
F
T
3
T
F
T
T
F
F
T
4
T
F
F
T
T
T
F
5
F
T
T
F
F
F
T
6
F
T
F
F
F
F
T
7
F
F
T
F
F
F
T
8
F
F
F
F
F
T
F
1
∗
3 2
I
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найдите среди указанных ниже предложений высказывания. Укажите их истинностные значения.
а) Который час?
б) Целое число 1 есть наименьшее положительное целое число.
в) Если x = 3, то x
2
= 6.
г) Берегись автомобиля!
д) Южная Дакота — южный штат.
2. Найдите среди указанных ниже предложений высказывания. Укажите их истинностные значения.
а) Все четные числа делятся на 2.
б) Загрузите пакеты в машину.
в) Это утверждение не может быть истинным.
г) Юпитер — ближайшая к солнцу планета.
д) Не следует хранить компакт-диски в микроволновой печи.
3. Пусть p, q и r обозначают следующие высказывания:
p :
Путешествие на Марс является дорогостоящим.
q :
Я совершу путешествие на Марс.
r :
У меня есть деньги.
Запишите в символической форме такие высказывания:
а) У меня нет денег и я не совершу путешествие на Марс.
б) У меня нет денег и путешествие на Марс является дорогостоящим
или я совершу путешествие на Марс.

22
ГЛАВА 1. Таблицы истинности, логика, доказательства
в) Неверно, что у меня есть деньги и я полечу на Марс.
г) Путешествие на Марс не является дорогостоящим и я полечу на Марс
или путешествие на Марс является дорогостоящим и я не полечу на
Марс.
4. Пусть p, q и r обозначают следующие высказывания:
p :
Мой компьютер — быстродействующий.
q :
Я окончу проект вовремя.
r :
Я сдам экзамен.
Запишите в символической форме такие высказывания:
а) У меня не быстродействующий компьютер или я закончу проект во-
время.
б) Я не закончу проект вовремя и не сдам экзамен.
в) Неверно, что я закончу проект и сдам экзамен.
г) У меня быстродействующий компьютер или я не закончу проект во-
время и сдам экзамен.
5. Постройте таблицы истинности для каждого высказывания в упражнении 3.
6. Постройте таблицы истинности для каждого высказывания в упражнении 4.
7. Пусть p, q и r обозначают следующие высказывания:
p :
Эта игра очень трудна.
q :
Я играю в шахматы.
r :
Игра в шахматы требует времени.
Интерпретируйте следующие выражения как обычные высказывания:
а) q ∧ r;
б) ∼p ∨ ∼q;
в) (p ∨ r) ∧ q;
г) p ∧ q ∧ r.
8. Пусть p, q и r обозначают следующие высказывания:
p :
Доги — большие собаки.
q :
У меня маленький дом.
r :
У меня есть дог.
Представьте следующие символические выражения как обычные высказыва- ния:
а) p ∧ q ∧ ∼r;
б) p ∧ (∼q ∨ ∼r);
в) (p ∨ ∼q) ∧ r;
г) (p ∧ r) ∨ (q ∧ ∼r).
9. Постройте таблицы истинности для высказываний в упражнении 7.
10. Постройте таблицы истинности для высказываний в упражнении 8.
11. Постройте таблицы истинности для следующих высказываний:

8
Информационно-логические основы построения ЭВМ
Что из предложенного является высказыванием?
Задание №1
1. Который час?
2. Целое число 1 есть наименьшее положительное число.
3. Если х=3, то х^2=6.
4. Берегись автомобиля!
5. Южная Дакота – северный штат.
6. Все четные числа делятся на 2?
7. Загрузите пакеты в машину.
8. Юпитер – ближайшая к солнцу планета.
9. Это утверждение не может быть истинным.
10. Не следует хранить компакт-диски в микроволновой печи.
PAGE

9
Информационно-логические основы построения ЭВМ
PAGE
Высказывания в символической форме
Задание №2
Пусть P, Q и R обозначают следующие высказывания:
P: Мой компьютер - быстродействующий
Q: Я окончу проект вовремя
R: Я сдам экзамен
Высказывание «У меня не быстродействующий компьютер или я закончу проект вовремя»,
записанное в символической форме будет иметь вид .

10
Информационно-логические основы построения ЭВМ
PAGE
Высказывания в символической форме
Задание №3
Пусть P, Q и R обозначают следующие высказывания:
P: Он купит компьютер.
Q: Он будет праздновать всю ночь.
R: Он выиграет лотерею.
Высказывание «Если он не купит компьютер, то и праздновать всю ночь не будет», записанное в
символической форме будет иметь вид .

19
Информационно-логические основы построения ЭВМ
Схемы на элементах логики.
Задание №4
Структурная формула для логической схемы имеет вид .
А
В
С
ИЛИ
ИЛИ
И
НЕ
НЕ
F
PAGE

20
Информационно-логические основы построения ЭВМ
PAGE
Логические операции с множествами.
Задание №5
Даны множества точек А, В и С, принадлежащих кругу, треугольнику или прямоугольнику
соответственно. Используя операции над множествами (объединения, пересечения, разности и
дополнения) опишите множество точек,
ограниченное выделенной областью
.

26
Информационно-логические основы построения ЭВМ
PAGE
Решение логических задач
Задание №6
Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли
были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не
были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?
Использовать метод таблиц для решения логической задачи.

26
Информационно-логические основы построения ЭВМ
PAGE
Решение логических задач.
Задание №7
Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами,
получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и
раковина, куда можно выливать воду.
Решить задачу методом блок-схем.

26
Информационно-логические основы построения ЭВМ
PAGE
Решение логических задач.
Задание №8
В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что
вода и молоко не в чашке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в
банке не лимонад и не вода, а стакан стоит между сосудом с молоком и банкой. Вода
находится в .

34
Информационно-логические основы построения ЭВМ
PAGE
Триггеры.
Задание №9
Часто сигналы проходят через тракты, не обладающие одинаковой задержкой. Поэтому
сигналы попадают на входы схемы не одновременно, что вызывает ложное срабатывание
триггера – эффект «гонок». Чтобы этого не происходило, используют синхронные RS триггеры.
Смоделировать работу
однотактного синхронного RS триггера:
Смоделировать работу
двухтактного синхронного RS триггера:

Из элементарных высказываний строятся более сложные высказывания с помощью логических связок «НЕ», «И», «ИЛИ», «ТО ЖЕ, ЧТО» («ЭКВИВАЛЕНЦИЯ»), «ИЗ  СЛЕДУЕТ». («  ВЛЕЧЁТ», «ПОТОМУ, ЧТО».). Эти связки называются сентенциональными. Связки логики высказываний представляют функции истинности или функции алгебры логики. В таб.1.1 представлены логические связки и их обозначения.

Таблица1.1

Название	Тип	Обозначение	Как читается	Другие обозначения
Отрицание	Унарный		не	S, NoT, не
Конъюнкция	Бинарный		и	,  , AND, и
Дизъюнкция	Бинарный		или	, or, или
Импликация	Бинарный		влечёт	, 
Эквивалент-ность	Бинарный		эквивалентно	, 

Определение 1. Отрицанием высказывания P называется высказывание P (или P), которое истинно только тогда, когда P ложно.
Пример. Высказывание «Неправда, что идёт снег» является отрицанием высказывания «идёт снег».

Определение 2. Конъюнкцией высказываний P и q называется высказывание, которое истинно только тогда, когда P и q истинны., т.е. P = 1 и q = 1.

Пример. Чтобы успешно сдать экзамен, нужно иметь при себе зачётку и правильно ответить на вопросы. Для успешной сдачи экзамена нужно выполнить оба условия. Если обозначить как P – «иметь зачётку» и q – «правильно ответить на вопросы», то условием сдачи будет конъюнкция высказываний P & q.

Определение 3. Дизъюнкцией высказываний P и q называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, т. е. P = 0 и q =0.

Примеры. (7 >3 или 4  1) =1; (или SiN2X имеет период 2, или
2 – рациональное число) = 0.

Определение 4. Импликацией высказываний P и q называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда P истинно, q ложно, т.е. P = 1 и q =0 (из P следует q).

Пример. Вышеприведённый пример с успешной сдачей экзамена можно записать как P&q  r, где r – «успешно сдать экзамен».

Определение 5. Эквиваленцией высказываний P и q называется высказывание, которое истинно только и только тогда, когда значения высказываний P и q совпадают (P эквивалентно q).

Пример. «Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечётной длины». Если P – высказывание «иметь циклы нечетной длины», q – «граф двудольный», то начальная фраза примера запишется в виде q P .

Значения истинности для бинарных связок представлены в табл.1.2.

Таблица 1.2

P	q	P	P  q	P & q	P  q	P q
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1	1

С помощью связок можно получать составные высказывания, которым соответствует формула, например, (A & B)  (A v В). Такие высказывания называют сложными. Каждое сложное высказывание, как и элементарное принимает значение из множества F, T>. В формулах используются скобки для определения порядка выполнения действий.

Пример. Пусть значения элементарных высказываний: P₁ = 1, P₂ = 0,
P₃ = 1 и имеется составное высказывание:

Найти значение сложного высказывания.

Ответ: Значение сложного высказывания – 1.

Итак, словарь исчисления высказываний даёт возможность строить сложные высказывания из простых или элементарных, соединяя последние связками. Получаем формулы, которые являются объектами языка. Аналогия с естественными языками очевидна: фраза – это составное высказывание, построенное по определённым правилам.

Базис. Всякое высказывание является формулой.
Индукционный шаг. Если A и B формулы, то A, (AB), (A B), (AB), (A B) – формулы.
Ограничение. Формула однозначно получается с помощью правил, описанных в базисе и индукционном шаге.

Объектами изучения естественных и формальных языков являются синтаксис и семантика. Синтаксис позволяет распознать фразы среди наборов слов. Семантика придаёт определённое значение фразам. Высказывания либо истинны, либо ложны, значит семантическая область T, F> или . Семантика есть набор правил интерпретации формул.

Интерпретация – это отображение i, сопоставляющее каждому элементарному высказыванию P некоторое значение истинности. Интерпретацию i, заданную на множестве элементарных высказываний, можно распространить на множество формул посредством таблиц истинности.

1) Две недели назад мы с женой были в опере. Опера нам очень понравилась - Two weeks ago my wife and I were at opera. We liked it very much.

2) Мой сын окончил школу три года назад . - My son finished school three years ago.

3) В воскресенье мы не ездили на дачу. Мы навестили своих родителей . - We didn't go to our dacha on Sunday. We visited our parents.

4) В каком году вы окончили институт ? - In what year did you graduate from the institute?

5) Вчера мы не обедали дома , мы ходили в ресторан . - Yesterday we didn't have dinner at home, we went to the restaurant.

6) Билл научился говорить по - французски в детстве , когда он жил с родителями во Франции . - Bill learned to speak French when he was a child and had been living in France with his parents.

8) В прошлом году мы сдавали экзамены в июне . - Last year we took our exams in June.

9) Сколько вам понадобилось времени , чтобы закончить перевод ? - How much time would it take you to finish the translation?

10) Когда он уехал в командировку? - When did he leave for a business trip?

11) Ты был дома в понедельник утром, не так ли? - You were at home on Monday morning, weren't you?

12) Ты вчера опоздал на лекцию? - Нет, я пришёл вовремя. - Were you late at your lecture yesterday? - No, I came in time. (или No, I was in time.)

13) Какой язык ты изучал в школе? - Немецкий. - What language did you study at school? - German.

14) Вчера я проснулся в 7 часов. Я умылся, позавтракал и пошёл в институт. - Yesterday I woke up at 7 o'clock. I washed myself, had breakfast and went to the institute.

15) Николай не был вчера в институте. У него болела голова. - Nick wasn't at the institute yesterday. His had awful headache.

16) Почему ты мне не позвонил вчера? - Извини, но я вернулся домой очень поздно. - Why didn't you call me yesterdayt? - Sorry, but I came home very late.

17) Где он купил словарь? - Я не знаю, где он его купил. - Where did he buy a dictionary? - I don't know where he has bought it.

18) В прошлом году я обычно рано вставал. - I used to get up early last year.

19) Вчера у нас было собрание. Мой начальник выступил с докладом. Его доклад всем понравился. - Yesterday we had a meeting. My boss had made a report. His report was liked by everybody. (Everybody liked his report.)

20) Кто помог тебе перевести статью? - Я перевел ее сам. - Who helped you to translate the article? - I translated it myself. (I have translated it myself.)

Читайте также: