Ромбокубооктаэдр как сделать

Обновлено: 22.01.2025

В геометрии , в ромбокубооктаэдре , или небольшой ромбокубооктаэдре , является архимедовым твердым веществом с восьмью треугольными и восемнадцатью квадратными гранями. Есть 24 идентичных вершины, в каждой из которых сходятся один треугольник и три квадрата. (Обратите внимание, что шесть квадратов имеют только общие вершины с треугольниками, в то время как другие двенадцать имеют одно ребро.) Многогранник имеет октаэдрическую симметрию , как куб и октаэдр . Его двойник называется дельтовидным икоситетраэдром или трапециевидным икоситетраэдром, хотя его грани на самом деле не соответствуют действительности.трапеции .

Содержание

5.1 декартовы координаты
5.2 Площадь и объем
5.3 Плотность плотной упаковки

8.1 Мутации симметрии
8.2 Расположение вершин

Его также можно назвать расширенным или наклонным кубом или октаэдром из-за операций усечения на любом однородном многограннике .

Ромбокубооктаэдр можно рассматривать как расширенный куб (синие грани) или расширенный октаэдр (красные грани).

Имеются искажения ромбокубооктаэдра, которые, хотя некоторые из граней не являются правильными многоугольниками, по-прежнему однородны по вершинам. Некоторые из них можно сделать, если взять куб или октаэдр и отрезать края, а затем обрезать углы, так что полученный многогранник имеет шесть квадратных и двенадцать прямоугольных граней. Они обладают октаэдрической симметрией и образуют непрерывный ряд между кубом и октаэдром, аналогично искажениям ромбикосододекаэдра или тетраэдрическим искажениям кубооктаэдра . Однако ромбокубооктаэдр также имеет второй набор искажений с шестью прямоугольными и шестнадцатью трапециевидными гранями, которые не обладают октаэдрической симметрией, а скорее T _h симметрией, поэтому они инвариантны относительно тех же вращений, что итетраэдр, но разные отражения.

Линии, вдоль которых можно повернуть кубик Рубика , проецируются на сферу, похожую, топологически идентичную ребрам ромбокубооктаэдра. Фактически были созданы варианты, использующие механизм кубика Рубика, которые очень напоминают ромбокубооктаэдр. [2] [3]

Ромбокубооктаэдр используется в трех однородных мозаиках, заполняющих пространство : кубические соты с углами , усеченные кубические соты и чередующиеся кубические соты .

Ромбокубооктаэдр можно разделить на два квадратных купола и центральную восьмиугольную призму . Вращение одного купола на 45 градусов создает псевдо-ромбы-cubocta-гранник . Оба этих многогранника имеют одинаковую фигуру вершины: 3.4.4.4.

Есть три пары параллельных плоскостей, каждая из которых пересекает ромбокубооктаэдр в правильном восьмиугольнике. Ромбокубооктаэдр можно разделить вдоль любого из них, чтобы получить восьмиугольную призму с правильными гранями и два дополнительных многогранника, называемых квадратными куполами , которые считаются твердыми телами Джонсона ; таким образом, это удлиненная квадратная ортобикупола . Эти части можно собрать заново, чтобы получить новое твердое тело, называемое удлиненной квадратной гиробикуполой или псевдоромбикубооктаэдром., с симметрией квадратной антипризмы. В этом случае все вершины локально такие же, как у ромбокубооктаэдра, с одним треугольником и тремя квадратами, сходящимися в каждом, но не все они идентичны по отношению ко всему многограннику, поскольку некоторые из них ближе к оси симметрии, чем другие.

Ромбокубооктаэдр

Псевдоромбокубооктаэдр

Ромбокубооктаэдр имеет шесть специальных ортогональных проекций , по центру, на вершине, на двух типов ребер и трех типов граней: треугольников и двух квадратов. Последние два соответствуют самолетам Кокстера B ₂ и A ₂ .

Ортогональные проекции

В центре	Вершина	Край 3-4	Край 4-4	Face Square-1	Face Square-2	Лицо треугольник
Твердый
Каркас
Проективная симметрия	[2]	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]
Двойной

Ромбокубооктаэдр также можно представить как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортогональная проекция	Стереографические проекции
(6) с квадратным центром	(6) с квадратным центром	(8) треугольник с центром

Полусимметричная форма ромбокубооктаэдра, , существует с пиритоэдрической симметрией , [4,3 + ], (3 * 2) как диаграмма Кокстера , Символ Шлефли s ₂ , и может быть назван кантическим курносым октаэдром . Эту форму можно визуализировать, поочередно раскрашивая края 6 квадратов . Эти квадраты можно затем превратить в прямоугольники , в то время как 8 треугольников останутся равносторонними. 12 диагональных квадратных граней станут равнобедренными трапециями . В пределе прямоугольники могут быть сведены к краям, а трапеции - в треугольники, и образуется икосаэдр за счет конструкции плоского октаэдра , , с . ( Соединение двух икосаэдров строится из обоих чередующихся позиций.)

Вариации пиритоэдрической симметрии
Единая геометрия	Неоднородная геометрия	Неоднородная геометрия	В пределе курносый октаэдр икосаэдра , , с одной из двух позиций.	Соединение двух икосаэдров из обоих чередующихся позиций.

Декартовы координаты для вершин ромбокубооктаэдр с центром в начале координат, причем длина ребра 2 единицы, являются все даже перестановок из

Если исходный ромбокубооктаэдр имеет единичную длину ребра, его двойной стромбический икоситетраэдр имеет длину ребра

Площадь A и объем V ромбокубооктаэдра с длиной ребра a равны:

Оптимальная доля упаковки ромбокубооктаэдров определяется выражением

Было замечено, что это оптимальное значение получено в решетке Браве де Граафом ( 2011 ). Поскольку ромбокубооктаэдр содержится в ромбическом додекаэдре , вписанная сфера которого идентична его собственной вписанной сфере, значение оптимальной фракции упаковки является следствием гипотезы Кеплера : этого можно достичь, поместив ромбокубоктаэдр в каждую ячейку ромбического додекаэдра. соты , и его невозможно превзойти, поскольку в противном случае оптимальную плотность упаковки сфер можно было бы превзойти, поместив сферу в каждый ромбокубооктаэдр гипотетической упаковки, которая ее превосходит.

В играх Freescape Driller и Dark Side была игровая карта в форме ромбокубооктаэдра.

Звуковой Еж 3 ' ы льды зона оснащена колонны увенчанных rhombicuboctahedra.

Во время повального увлечения кубиком Рубика в 1980-х годах по крайней мере две проданные извилистые головоломки имели форму ромбокубооктаэдра (механизм был похож на кубик Рубика ). [2] [3]

Солнечные часы (1596)

Уличный фонарь в Майнце

Матрица с 18 маркированными гранями

Кабелас стрельбы по мишеням

Вариант кубика Рубика

Ромбокубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
	т	г г	т т		rr s ₂	tr	sr	ч	ч 2 т	с с

знак равно	знак равно	знак равно		знак равно или же	знак равно или же	знак равно

Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности скошенных многогранников с фигурой вершины (3.4. N .4) и продолжается как мозаики гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .

* n 32 изменение симметрии расширенных мозаик: 3.4. п. 4
Симметрия * n 32 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paracomp.
Симметрия * n 32 [n, 3]	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3] .	* ∞32 [∞, 3]
Фигура
Конфиг.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

* n 42 мутация симметрии расширенных плиток : n .4.4.4

У него общее расположение вершин с тремя невыпуклыми однородными многогранниками : звездчатым усеченным шестигранником , маленьким ромбогексаэдром (имеющим треугольные грани и шесть квадратных граней вместе) и маленьким кубокубооктаэдром (имеющим двенадцать общих квадратных граней).

Ромбокубооктаэдр

Малый кубокубооктаэдр

Малый ромбогексаэдр

Звездчатый усеченный шестигранник

В математической области теории графов , A rhombicuboctahedral график является графиком вершин и ребер из ромбокубооктаэдра, один из Архимеда твердых веществ . Он имеет 24 вершины и 48 ребер и является архимедовым графом квартики . [7]

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
До 500 000 руб. ежемесячно и 10 документов.

Презентация "Ромбокубооктаэдр" содержит описание геометрической формы, из чего состоит , историческую справку, развертку, по которой можно изготовить макет, приведены примеры объектов, выполненных руками человека и имеющих форму ромбокубаоктаэдра. Презентацию можно использовать на уроках геометрии в 10 классе при изучении темы "Правильные многоугольники".Презентация - проект "Ромбокубооктаэдр".

Презентация - проект "Ромбокубооктаэдр".

Кол- во вершин: 24 Кол- во рёбер: 48 Кол- во граней: 26 (квадрат, правильный треугольник) В основание ромбокубооктаэдра лежит квадрат

Презентация - проект "Ромбокубооктаэдр".

Этот многогранник не был известен на протяжении двух тысяч лет

Презентация - проект "Ромбокубооктаэдр".

Ромбокубооктаэдр в архитектуре Высота 72,6 м Националь ная библиотека в Белоруссии

Ромбокубооктаэдр (rhombicuboctahedron) - архимедово тело, образованное 18 квадратами и 8 треугольниками. Квадраты образуют два множества. На изображении они окрашены в разные цвета. Многогранник поражает своей кубической формой. Кажется, что он весь состоит из квадратов. Редкие вкрапления треугольников смягчают откровенный кубизм этой модели.
Многочисленные квадраты, видимо, определяют легкость использования этой формы в архитектуре. Можно встретить оригинальные здания ромбокубооктаэдрической формы. В свое время я не удержался и сделал шкатулку такой формы.

Шкатулка сохранилась до сих пор. На фотографии можно увидеть приоткрытую шкатулку, а на экране монитора соответствующую ей по форме модель:

Как уже отмечалось, многогранник составляют три типа граней: 6 квадратных, соответствующих кубической симметрии, 8 треугольных, соответствующих октаэдральной симметрии и 12 квадратов соответственно ромбододекаэдральной симметрии. Таким образом, имеем три эпюры соответственно:
Эпюра кубической симметрии

Эпюра октаэдральной симметрии

Эпюра ромбододекаэдральной симметрии

В отличие от первых двух третья эпюра хотя и содержит зеркальную симметрию, но симметрия поворота на угол 90 градусов отсутствует, что приводит к некоторой ассиметричности, которую будем наблюдать в звездчатых формах этого замечательного многогранника.

Сначала рассмотрим симметрии многогранника. Как уже было сказано, все грани разбиваются на три подмножества: кубической, октаэдральной и ромбододекаэдральной симметрии. Это теория. Визуальное представление этого можно увидеть на трех изображениях ниже. Первый рисунок показывает как первый набор граней пересекаясь между собой образуют куб.

Продолжение граней полупрозрачно, хорошо видно исходный многогранник и шесть оброзующих его граней. Безусловно, куб можно считать звездчатой формой ромбокубооктаэдра.

Второй набор граней образует октаэдр.

Третий набор - ромбододекаэдр:

Таким образом, октаэдр и ромбододекаэдр также являются звездчатыми формами ромбокубооктаэдра.

Перейдем теперь к описанию правильных звездчатых форм ромбокубооктаэдра (rhombicuboctahedron). Всего их у меня получилось 8 штук. Оставалось еще немного неиспользованных отсеков по краям эпюр. Из них удалось собрать замкнутые отсеки, соединенные между собой вершинами. Получилось нечто составленное из пиков.

Небольшой ромбокубооктаэдр является архимедовой твердый с восемью треугольными гранями и восемнадцать квадратных граней . Он имеет 24 одинаковых вершины, в которых встречаются треугольник и три квадрата. Многогранник имеет восьмигранную симметрию , как куба и октаэдра . Его двойник называется трапециевидным икоситетраэдром , хотя его грани на самом деле не являются настоящими трапециями .

Резюме

Значение имени

Название ромбокубооктаэдр относится к тому факту, что 12 квадратных граней расположены в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбического додекаэдра, который является двойным кубооктаэдру .

Его также можно назвать расширенным кубом или расширенным октаэдром из операций усечения однородного многогранника .

Геометрические данные

Все декартовы координаты ромбокубооктаэдра представляют собой перестановки

Есть три пары параллельных плоскостей, каждая из которых пересекает ромбокубооктаэдр через восемь ребер, принимающих форму правильного восьмиугольника. Ромбокубооктаэдр можно разделить на любые два, чтобы получить восьмиугольную призму с правильными гранями и два дополнительных многогранника, называемых восьмиугольными куполами , которые относятся к телам Джонсона . Их можно собрать вместе, чтобы получить новое твердое тело, называемое гировидным восьмиугольным бикуполой с симметрией квадратной антипризмы. В этом все вершины локально такие же, как у ромбокубооктаэдра, с треугольником и тремя квадратами, пересекающимися в каждой вершине, но не все одинаковы по отношению ко всему многограннику, поскольку некоторые из них находятся ближе к оси l многогранника. симметрия, чем другие.

Имеются такие искажения маленького ромбокубооктаэдра, что, хотя некоторые грани не являются правильными многоугольниками, они по-прежнему однородны по вершинам. Некоторые из них можно сделать, если взять куб или октаэдр и вырезать края, а затем уравновесить углы, так что полученный многогранник имеет шесть квадратов и двенадцать прямоугольных граней. Они обладают октаэдрической симметрией и образуют непрерывный ряд между кубом и октаэдром, аналогично искажениям малого ромбикосододекаэдра или тетраэдрическим искажениям кубооктаэдра . Тем не менее, маленький ромбокубооктаэдр также имеет второй набор искажений с шестью прямоугольными гранями и шестнадцатью трапециевидными гранями, которые не обладают октаэдрической симметрией, а скорее T _h симметрией , поэтому они инвариантны относительно тех же вращений, что и тетраэдр, но имеют разные мысли.

Линии, вдоль которых можно вращать кубик Рубика , проецируются на сферу, похожую, топологически идентичную ребрам небольшого ромбокубооктаэдра. Фактически были созданы варианты с использованием механизма кубика Рубика, очень напоминающие небольшой ромбокубооктаэдр.

Маленький ромбокубооктаэдр - это пространство, заполненное комбинацией кубов и тетраэдров.

Ромбокубооктаэдр в искусстве

На портрете Луки Пачоли работы Якопо де Барбари многогранник, подвешенный слева от изображения, представляет собой ромбокубооктаэдр из наполовину заполненного стакана воды. Додекаэдра в правом нижнем углу построен из шаблона .

Ромбокубооктаэдр из Мичиел Коигнет представляет собой портативный солнечные часы бронза , построенный в XVI - м веке.

Читайте также:

Ромбокубооктаэдрический граф