Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса
В пространстве с заданным базисом линейная функция записывается в виде линейной формы, а билинейная — в виде билинейной формы.
Чтобы задать линейную форму, достаточно задать набор ее коэффициентов для того чтобы задать билинейную (или квадратичную) форму, надо задать ее матрицу
Мы выяснили в § 1, как преобразуется набор коэффициентов линейной формы при переходе от базиса к новому базису . Спрашивается: как при переходе от базиса к базису преобразуется матрица А билинейной формы? Мы сейчас дадим ответ на этот вопрос.
Теорема 2. Пусть билинейная функция записывается относительно базиса в виде билинейной формы
с матрицей А, а относительно базиса в виде билинейной формы
В этих обозначениях имеет место формула
где С, как всегда, есть транспонированная матрица к С (т. е. матрица коэффициентов в ).
Прежде чем доказать формулу (6), укажем на некоторые ее непосредственные следствия.
Таким образом, доказана
Теорема 3. При линейном преобразовании (5) дискриминант квадратичной формы для умножается на квадрат детерминанта матрицы преобразования (4) и, следовательно, сохраняет свой знак.
В частности, если преобразование С ортогонально, то , и, следовательно, при ортогональном преобразовании (5) дискриминант квадратичной формы не меняется.
Доказательство формулы (6). Возьмем матрицы
состоящие из одного столбца и строк.
Транспонированная к X матрица состоит из одной строки и столбцов:
Умножая матрицу А на матрицу , получим матрицу
состоящую снова из одного столбца и строк, а умножая X на матрицу AY, получим уже матрицу , состоящую из одной строки и одного столбца, т. е. из одного элемента
который есть не что иное, как наша билинейная форма
Итак, билинейная форма (изображающая функцию ) может быть записана в виде следующего произведения матриц:
Запишем преобразование (5) в виде матричного равенства:
Подставим (10) и (11) в (9), получим тождество
Но в силу (9) с заменой А на матричное произведение
представляет собою билинейную форму от переменных с матрицей и
Так как матрица формы была обозначена через , то формула (6) доказана.
Подставляя в предыдущие формулы всюду и, следовательно, , получаем
Следствие. Пусть квадратичная функция , определенная в , записывается относительно базиса квадратичной формой с симметричной матрицей А:
Пусть даны в n-мерном пространстве два базиса: $ e_1, e_2, . e_n $ и $ e_n$ и $ f_1, f_2, . f_n.$ Пусть векторы $ f_1, f_2, . f_n$ выражаются через векторы базиса $ e_1, e_2, . e_n$ формулами
$$
\left.\begin
f_1 = c_ e_1 + c_ e_2 + . + c_ e_n, \\
f_2 = c_ e_1 + c_ e_2 + . + c_ e_n, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
f_n = c_ e_1 + c_ e_2 + . + c_ e_n,
\end\right\rbrace
\qquad \qquad (5) $$
Таким образом, $ c_, c_, . c_$ - координаты вектора $ f_k$ в базисе $ e_1, e_2, . e_n.$ Матрицу
$$ C= \begin
c_ c_ & c_ \\
c_ c_ & c_ \\
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . \\
c_ c_ & c_
\end $$
назовем матрицей перехода от базиса $ e_1, e_2, . e_n$ к базису $ f_1, f_2, . f_n.$
Пусть $ A=||\alpha_ || $ есть матрица билинейной формы $ A (x; y) $ в базисе $ e_1, e_2, . e_n, $ а $ B = ||b_ || $ - матрица той же билинейной формы в базисе $ f_1, f_2, . f_n. $ Наша задача состоит в том, что по матрице $ ||\alpha_ ||$ найти матрица $ ||\alpha_ ||. $
По определению [формула (4)] $ b_ A = (f_p; f_q), $ т. е. $ b_$ - значение билинейной формы $ A(x; y) $ при $ x=f_p, y=f_q;$ для того чтобы найти его, воспользуемся формулой (3), подставив вместо $ \xi_1, \xi_2, . \xi_n $ и $ \eta_1, \eta_2, . \eta_n$ координаты векторов $ f_p и f_q$ в базисе $ e_1, e_2, . e_n,$ т. е. числа $ c_, c_, . c_ $ и $ c_, c_, . c_. $ Получим:
$$ b_ = A(f_p; f_q) = \sum_^n \alpha_ c_ c_. \qquad \qquad (6) $$
Это есть искомая формула.
Запишем ее матричной форме. Для этого положим $ c'_ = c_$; таким образом, $ c'_$ являются элементами матрицы $ C',$ транспонированной к матрице $C$. Тогда
$$ b_ = \sum_^n c'' \alpha_ c_. $$
В матричной форме это означает *):
$$ B = C' AC. \qquad \qquad (7) $$
Итак: если $ A$ и $ B$ суть матрицы билинейной формы $ A (x; y) $ соответственно в базисах $ e_1, e_2, . e_n$ и $ f_1, f_2, . f_n, $ то $ B = C' AC, $ где C - матрица перехода от базиса $ e_1, e_2, . e_n$ к базису $ f_1, f_2, . f_n, $ а $C'S$ - матрица, транспортирования к матрице С.
Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы
Следующая формула: Итого ^^ iCtijCjk (как определено матричным произведением) предварительно Построить элементы матрицы A (e) C. G.10 справа) является элементом матрицы C1 A (e) C В левой части G.10 находится элемент (f) матрицы A. Следовательно, A (/) = = C A (e) C. Теорема доказана.
Конечно заданный ранг билинейной формы Линейное линейное пространство L называется рангом этой матрицы Образуется на любой базе в пространстве L Определение 2. Линейное линейное пространство L называется невырожденным
Конечно определенная билинейная форма A (x, y) Людмила Фирмаль
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Выберем в n-мерном пространстве какой-либо базиси выразим билинейную форму через коэффициенты ивекторов и в этом базисе. Имеем:
В силу свойств а) и б) пункта билинейной формы, имеем:
.
Обозначим постоянные через. Тогда в заданном базисевсякая билинейная форма вn-мерном пространстве может быть записана в виде:
. (5)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Матрицу , составленную из коэффициентовмногочлена (5), называютматрицей билинейной формы в базисе
Таким образом, в каждом базисе пространства билинейная форма определяется своей матрицей:
.
4.4. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса
Пусть даны в n-мерном линейном пространстве два базиса:и. Причем, векторы второго базисавыражаются через векторы базисаформулами:
назовем матрицей перехода от базиса к базису.
Пусть есть матрица билинейной формы в базисе , аматрица той же билинейной формы в базисе. Наша задача состоит в том, чтобы по матриценайти матрицу.
По определению , то есть- значение билинейной формы при .
Для того, чтобы найти это значение, то есть , воспользуемся формулой (5), подставив в нее вместоикоординаты векторовив базисе, то есть числаи. Получим:
. (6)
Это и есть искомая формула.
Запишем ее в матричной форме. Для этого положим . Таким образом,является элементами матрицы, транспонированной к матрицеС. С учетом этого выражение (6) можно записать так:
.
Итак, если А и В суть матрицы билинейной формы соответственно в базисах и., то преобразование матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому будет иметь вид:
где С- матрица перехода от базисак базису., а- транспонированная матрица.
4.5. Квадратичные формы
Пусть -симметричная билинейная форма.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция , которая получается из билинейной формы , если положить в ней =, называется квадратичной формой.
Всякая квадратичная форма , в базисе евклидового пространстваЕn выражается следующей формулой:
, (7)
где симметричная матрицаквадратичной формы и.
В некотором базисе выражение (7) квадратичной формы может не содержать произведений , то есть
, (8)
Выражение (8) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если , то получаемнормальный вид квадратичной формы .
Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором она имеет канонический вид.
4.6. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду
а) Метод Лагранжа выделения полных квадратов.
Пусть квадратичная форма имеет в базисе вид (7). Для приведения формы к сумме квадратов методом Лагранжа рассмотрим случай квадратичной формы, у которой все коэффициенты (при квадратах ), равны нулю и в то же время эта квадратичная форма не равна тождественно нулю, то есть в ней есть отличное от нуля хотя бы одной произведение, например, .
Выполним преобразование базиса, при котором коэффициенты векторов в старом и новом базисах связаны формулами:
.
.
Таким образом, всегда найдется такой базис, в котором в записи (7) хотя бы один коэффициент при квадрате .отличен от нуля.
В дальнейшем будем считать, что . (Если, то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе, занумеровав векторы, что также является некоторым преобразованием базиса).
Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащей , то есть
.
Дополним эту сумму до полного квадрата:
,
где есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от. Если теперь сделать замену
то квадратичная форма в новом базисе примет вид
.
В полученной форме выделено слагаемое , а оставшаяся частьА, является квадратичной формой в .
Далее эти рассуждения повторяются для исходной квадратичной формы и т.д. Конечным результатом является то, что она приводится к нормальной форме.
ПРИМЕР 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму
.
.
.
.
Получим новое выражение для квадратичной формы:
.
.
форма примет канонический вид:
.
.
б) Метод собственных векторов.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Читайте также: