Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому как это сделать

Обновлено: 08.01.2025

Основание логарифма и число под знаком логарифма можно поменять местами по формуле: logab=1/logba Логарифм числа b по основанию а равен единице, деленной на логарифм числа а по основанию b.

Как вынести степень из логарифма?

Если и под знаком логарифма, и в основании логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма в виде дроби. Числитель этой дроби — показатель степени, стоящей под знаком логарифма, знаменатель — показатель степени, стоящей в основании логарифма.

Как перевести число в логарифм?

p=log_aa p Любое число можно представить в виде логарифма по любому основанию. Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице. Примеры.

Как выносится основание логарифма?

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания: log_ax n = n log_ax; Или если сказать проще, в данном случае показатель степени выносится как сомножитель, в результате трудоемкое действие возведения в степень меняем на более элементарную операцию умножения.

Чему равен логарифм от логарифма?

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей.

Как вычислить логарифм по основанию 2?

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x. Обозначение: log_a x = b, где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм. Например, 2 3 = 8 ⇒ log₂ 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8).

Как правильно читать логарифм?

Чему равен натуральный логарифм от 0?

Натуральный логарифм нуля не определен.

Чему равен логарифм частного формула?

Логарифм частного, формула

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Как сравнить логарифмы с разными основаниями?

Чтобы сравнить логарифмы с разными основаниями, можно попытаться, используя свойства логарифмов, привести их к одинаковым основаниям. Иногда бывает достаточно сравнить логарифмы с нулём. Примеры. Сравнивать логарифмы можно, опираясь непосредственно на определение логарифма.

Как решать логарифмы с корнем?

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного выражения на показатель корня. Можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм.

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Переход к новому основанию..doc

Технологическая карта (план) занятия №14

Предмет

Тема занятия

Переход к новому основанию.

Вид занятия

(тип урока )

Комбинированный

Время

Цель занятия

Учебная: повторить определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество;

закрепить основные свойства логарифмов;

познакомить обучающихся с формулой перехода к новому основанию, научиться применять ее при решении задач.

Воспитательная: воспитывать внимательность при записи лекций, аккуратность, самостоятельность.

Развивающая: развивать математические способности, логическое мышление, навыки самоконтроля.

Компетенции:

общие:

профессиональные

Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации, необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности (ОК 2)

Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами (ОК 4)

Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста (ОК 5)

Обеспечение занятия

Наглядные пособия: мультимедийная презентация;

Технические средства обучения: ноутбук, проектор;

Учебные места (для лаб. работ, прак. занятий): 204 аудитория;

Д. Литература: 1) Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.И.Башмаков.

2) Ш.А. Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11 кл.

3) А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа, 10-11 кл. Задачник.

Содержание занятия

I 1. .1

2 Орг. момент.

-проверка присутствующих на занятии;

-проверка готовности учащихся к занятию;

-формулировка целей занятия.

Проверка домашнего задания н

1. Сформулировать определение логарифма числа в по основанию а.

2. Записать на доске основное логарифмическое тождество.

3.Сформулировать определение десятичных логарифмов.

4. Сформулировать определение натуральных логарифмов.

5. Соотнести свойства логарифмов на слайде.

6. Устная работа на слайде.

Изучение нового материала

Формула перехода от одного основания логарифма к другому используется для решения уравнений. Пусть мы хотим перейти от логарифмов по основанию а к логарифмам по другому основанию c . Запишем основное логарифмическое тождество: a = b

Прологарифмируем его по основанию c : log = log , используя свойство логарифма получим: log * log = log , отсюда получим ,

Где b >0, a >0, a ≠1, c >0, c ≠1

Следствия: ей ,

Пример1: Пример 2: (из учебника на стр 96.)

формацией выполняет аз

Решение упражнений. № 305, № 306, № 308, № 314

1597 . ( Задачник МордковичА . Г .)

Известно, что log ₂3= a . Найдите:

*** Дано : lg3=a, lg5=b. Вычислить : log ₂ 15.

Решение : log ₂ 15= (lg15/ lg2)= lg(3*5)/ lg(10/5)= (lg3+ lg5)/ (lg10- lg5)=(a+b)/(1-b)

Итог занятия.

Задание на дом: конспект лекций ; № 309, №310, стр.97 .; № 1598 у (Задачник МордковичА.Г.)

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени (х), в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b, т.е. log_ab=x → a x =b.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойств, вытекающие из свойств показательной функции:

1. а logab =b (где b>0, a>0 и a≠0) называют основным логарифмическим тождеством.

При любом a>0 (a≠0) и любых положительных х и у выполняются равенства:

4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: log_ax у=log_ax+log_a у.

5. Логарифм частного равен разности логарифмов: log_a(x /у)=log_ax-log_a у.

6. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени: log_ax k =klog_ax.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Среди них формула перехода к новому основанию: log_ax=log_bx / log_ba. Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т.е. при x>0, a>0 и a≠0, b>0 и b≠1).

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем: log_bx=log_b(а loga х ), откуда log_bx=log_ax·log_ba. Эту формулу так же можно использовать для упрощения выражений.

С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg, а натуральными логарифмами называют логарифмы по основанию е~2,72 и обозначают ln).

Пример1. Вычислите log_0,37.

Решение: воспользуемся формулой перехода к новому основанию и перейдем к основанию 10:

log_0,37=log₁₀7/ log₁₀0,3=lg7/lg0,3.

Пользуясь калькулятором или специальными таблицами, например, таблицей В.М. Брадиса, находим значение lg7=0,8451.

Используя 5 и 3 свойства логарифмов, вычисляем

lg0,3=lg(3/10)=lg3-lg10=0,4771-1=-0,5229.

Итак, log_0,37=0,8451/(-0,5229)=-1,6162.

Решение: используя 5 и 6 свойства логарифмов, вычисляем

lg72-lg9=lg(72/9)=lg8=lg2 3 =3lg2;

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента, то есть при конкретном значении b уравнение имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом b по основанию а:

2. Формула перехода к новому основанию

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество.

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

при любом а;

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :

1. Логарифм произведения:

(произведение может быть положительным, если оба – отрицательные числа, но, исходя из правой части, строго положительны)

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

Иногда в задачах не указано, что и – положительные числа, тогда необходимо при раскрытии логарифма ставить модуль:

( – это любые числа кроме нуля, но их произведение должно быть положительным)

Перейдем к основной формуле данного урока.

Дано:

Доказать:

Применим равносильные преобразования. Поскольку в знаменателе стоит логарифм, а он не может быть равен нулю, т. к. , имеем право домножить обе части на данный логарифм:

Согласно свойству логарифма, внесем сомножитель под знак логарифма как показатель степени:

Применим основное логарифмическое тождество:

Что и требовалось доказать.

3. Решение вычислительной задачи

Пример 1 – вычислить:

Чтобы воспользоваться свойством логарифма, нужно привести заданные логарифмы к одному основанию. Приведем второй логарифм к основанию 2:

Имеем сумму логарифмов с одинаковым основанием. Применим свойство:

4. Решение уравнения

Пример 2 – решить уравнение:

Очевидно, что необходимо выбрать новое основание и привести к нему все логарифмы, чтобы воспользоваться свойствами и решить уравнение. Выберем основание 2:

В результате преобразований получили уравнение:

Разделим обе части на :

По определению логаримфа:

Итак, мы вывели и рассмотрели новую важную формулу – перехода к новому основанию логарифма.

Переход к новому основанию логарифма, решение задач

Часть вторая. 1. Основные теоретические факты

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция принимает все положительные значения. Она монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента, то есть при конкретном значении b уравнение имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом b по основанию а:

Определение:

Напомним основное логарифмическое тождество.

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :

1. Логарифм произведения:

(произведение может быть положительным, если – оба отрицательные числа, но, исходя из правой части, строго положительны)

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

Напомним важную формулу – перехода к новому основанию логарифма:

Здесь

Несложно заметить, что логарифмы в числителе и знаменателе имеют одно и то же основание, по формуле перехода получаем:

Переходим к следствиям из формулы перехода.

2. Первое следствие из формулы перехода

Следствие 1:

Здесь

Распишем по формуле перехода к новому основанию:

Что и требовалось доказать.

Иногда данное свойство используют в следующем виде:

3. Второе следствие из формулы перехода

Следствие 2:

Здесь

Применим формулу перехода к новому основанию, а именно, от основания к основанию а:

Что и требовалось доказать

4. Решение типовых задач

Рассмотрим важное уточнение для четных степеней:

Здесь

Поскольку – четное число, допускаются как положительные, так и отрицательные значения b. Аналогично допускаются как положительные, так и отрицательные значения а, за исключением . Если мы не поставим в правой части модули, то а и b будут только положительными числами, область определения сузится.

Переходим к новому основанию:

Важно, что с помощью модуля мы сохранили неизменной область определения, не сузили ее. Так мы можем предохранить себя от многочисленных типовых ошибок.

Формула перехода к новому основанию и следствия из нее широко используются при решении различных типовых задач.

Пример 1 – вычислить: