Круг как сделать замеры
Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которую называют центром окружности.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.
Длина окружности вычисляется по формулам: С = πd или С = 2πR, где π ≈ 3, 14 – иррациональное число.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которая называется центром окружности.
Элементы окружности: центр, радиус, диаметр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.
Как измерить дину окружности?
Можно взять сантиметровую ленту (если нет ленты, можно воспользоваться нитью или полоской бумаги).
Можно прокатить кольцо по ровной поверхности, сделав полный оборот.
Проверьте, верно ли, что отношение длины окружности к диаметру ≈ 3?
Возьмите несколько круглых предметов (тарелка, стакан, игрушечное колесо и др.).
Результаты измерений можно записать в таблицу в тетради.
Закон для более точного вычисления числа π очень сложен. В настоящее время значение π для точных расчётов в строительстве, авиационной или космической промышленности находят при помощи компьютера.
Вспомните, что π – это иррациональное число, которое выражается бесконечной непериодической дробью.
При решении обычных задач используют приближенное значение
иногда используют π ≈ 3
Обозначим длину окружности буквой С, а её диаметр – буквой d, и запишем формулу:
На этом уроке мы рассмотрим одни из самых древнейших геометрических фигур: окружность и круг.
Определим, какими элементами характеризуются круг и окружность, в чем сходство и различие этих фигур.
Узнаем, как рассчитать длину окружности и площадь круга.
Окружность и круг
Мы часто встречаем такие понятия, как окружность и круг.
Давайте попробуем разобраться, что называют окружностью, а что кругом.
Окружность - это замкнутая плоская кривая, все точки которой удалены на одинаковые расстояния от заданной точки, называемой центром окружности.
Центр окружности- это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности, ее обозначают обычно заглавной буквой О.
По сути, окружность - это изогнутая линия. Наглядно представить данную геометрическую фигуру можно, обведя стакан или блюдце карандашом, - оставшийся нарисованный след и будет окружностью.
Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью. Можно также сказать что это часть плоскости, которая находится внутри линии окружности.
Круг - плоская фигура, ее можно получить, закрасив окружность или вырезав его из бумаги по контуру окружности.
Свои имена окружность и круг приобрели не сразу.
Только в Древней Греции окружность и круг приобрели себе свои названия.
Круг всегда привлекал к себе внимание как самая простая фигура из кривых, но самая загадочная.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Древние греки считали круг и окружность символом бесконечности и совершенства. Поражало то, что в каждой своей точке окружность устроена одинаково, представляя собой бесконечную линию, которая движется сама по себе.
У древних славян еще за долго до христианства круг был символом солнца.
В Древнем Египте и Греции круг изображали в виде змея Уробороса, который кусает свой хвост, образуя тем самым, окружность - этот символ обозначал бесконечность и цикличность во всей вселенной (смена дня и ночи, жизни и смерти т.д.).
Символика круга в различных религиях сопоставляется с целостностью, вечностью и бесконечной мудростью.
Например, в масонских учениях круг как форма без начала и конца - это источник бесконечного времени и пространства, в котором заключена тайна творения.
У буддистов круг символизирует единство внутреннего и внешнего мира.
В дзен-буддизме круг - это символ высшей степени просветления и совершенства. На основе этого представления построены принципы инь и янь (в виде круга, разделенного на две части, - символа взаимодействия и борьбы двух начал).
В христианстве круг служит эталоном божественного и духовного совершенства.
В живой и неживой природе круги и окружности встречаются как на макроуровнях, так и на микроуровнях. Например, движение электронов вокруг атомного ядра; вращение планет вокруг солнца; распространение волн на воде от упавшего груза; образование солнечного и лунного гало; срез дерева; зрачок глаза у человека и многое другое.
Рассмотрим подробней элементы, характерные для окружности.
Радиус окружности- это отрезок, соединяющий центр окружности и любую другую точку, расположенную на линии окружности.
С латинского радиус (radius)- луч, спица колеса. Радиус не сразу приобрел себе такое название.
Слово радиус впервые встречается в 1569 году у французского ученого П. Рамуса, а общепризнанным становится к концу XVII века.
Радиус обозначается маленькой латинской буквой (r) или заглавной (R).
В окружности можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет линия окружности; все эти радиусы равны.
Диаметр - это отрезок прямой, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на этой окружности.
Диаметр в переводе с греческого (diametros) - поперечник.
Обычно диаметр обозначают латинской маленькой буквой d или заглавной D.
По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.
d = 2r
Следовательно, радиус- это половина диаметра.
r = d: 2
Пример 1
Радиус окружности равен 6 см.
Чему равен диаметр окружности?
r = 6 см
d - ?
Решение:
d = 2r
d = 2r= 2*6 = 12 (см) диаметр окружности
Ответ: d= 12 см
Пример 2
Диаметр окружности равен 12 см.
Чему равен радиус окружности?
d = 12 см
r - ?
Решение:
r = d : 2
r = 12 : 2 = 6 (см) радиус окружности
Ответ: r = 6 см
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Секущая окружности - это прямая, пересекающая окружность в двух точках. В результате окружность делится на дуги.
Точки А и В - точки пересечения секущей с окружностью.
Образовались две дуги: \(\mathbf\)
Отрезок, который соединяет любые две точки на окружности (отрезок секущей), называется хордой.
Отрезок АВ (отрезок секущей) на рисунке - хорда окружности.
Хорда в переводе с греческого - струна, тетива.
На рисунке отрезок MN является хордой.
Если хорда проходит через центр окружности, то она является самой большой хордой для этой окружности. По своей сути она является диаметром для данной окружности и делит окружность на две равные дуги.
По мере удаления хорды от центра размеры ее уменьшаются, а дуги делятся на большую и малую.
АВ- самая большая хорда окружности- диаметр окружности.
CD, N1M1, NM, FE- хорды окружности.
Хорды окружности, удаленные на равные расстояния от центра, равны.
Хорды NM и N1M1 равны.
Если две хорды пересекаются в точке, то их отрезки пропорциональны.
Важно отметить, что все рассмотренные элементы окружности одинаковы и для круга.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Длина окружности и площадь круга
Давайте выясним, что такое длина окружности и как ее определить.
Представьте, что окружность обернута нитью.
Если разрезать эту нить в некоторой точке и размотать ее, то длина нитки будет равна длине окружности.
Обычно длина окружности обозначается заглавной буквой С
Длина окружности (С) зависит от длины ее диаметра (d)
Обратите внимание на рисунок.
Вы можете заметить, что чем больше диаметр, тем больше длина окружности.
Из этого следует, что длина окружности прямо пропорционально зависит от диаметра окружности.
А значит, для любых окружностей отношение длины окружности (С) к длине диаметра (d) является числом постоянным.
С- это длина окружности
d- диаметр окружности
запишем отношение \(\mathbf\)
отсюда следует, что длина окружности равна
Так как диаметр окружности вдвое больше радиуса d = 2r, получим еще одну формулу для вычисления длины окружности
Выясним, чему равна постоянная величина - число \(\mathbf<\pi>\)
Число \(\mathbf<\pi>\)- это иррациональное число, т.е. число, которое представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
История числа \(\mathbf< \pi>\) насчитывает около 4 тысячелетий.
Одно из первых доказательств древнего существования этого числа \(\mathbf< \pi>\) заключено в папирусе Ахмеса, в одном из старейших задачников (1650 год до н.э.), найденного в Древнем Египте.
В папирусе дано достаточно точное, особенного для того времени, значение числа, равного 3,1605.
Точнее число \(\mathbf< \pi>\) рассчитал древнегреческий математик Архимед. Он приближенно представил значение константы в виде обыкновенной дроби \(\mathbf>\)
Архимеду удалось найти точное приближение числа \(\mathbf< \pi>\) (т.е. узкий числовой промежуток к которому принадлежит число \(\mathbf< \pi>\)).
Это приближение выглядело так \(\mathbf
Рассмотрим примеры решения задач
Задача 1
Найдите длину окружности, если ее радиус равен 4 см.
Число \(\mathbf<<\pi>>\) округлите до сотых.
r = 4 см
Длину окружности С - ?
Решение:
Подставив в формулу известные значения радиуса и постоянной \(\mathbf<\pi>\), получим:
Ответ: \(\mathbf\)(см)
Задача 2
Длина окружности надувного бассейна 15,7м.
Найдите диаметр этого бассейна.
Число \(\mathbf<\pi>\) округлите до сотых.
C = 15,7 м
Диаметр d - ?
Решение:
Подставив в формулу известные значения длины окружности и постоянной \(\mathbf<\pi>\), получим:
Ответ: \(\mathbf\) (м)
Задача 3
Диаметр окружности равен 6 см.
Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.
Значение числа \(\mathbf<\pi>\) округлить до сотых.
d = 6 cм
Площадь круга S - ?
Решение:
Подставим в формулу известные значения диаметра окружности и постоянной , получим:
\(\mathbf3,146^2 = \frac <3,1436> > = 3,149=28,26\) (cм 2 ) площадь круга
Ответ: \(\mathbf\) (см 2 )
Задача 4
Вычислите площадь полукруга, если радиус круга равен 5 см.
Значение \(\mathbf<\pi >\) округлить до целых.
r = 5 cм
Площадь полукруга Sп - ?
Решение:
Площадь круга найдем по формуле:
Площадь полукруга будет равна половине площади всего круга.
Следовательно, формула для расчета площади полукруга получится вида:
Подставим в формулу известные значения радиуса круга и постоянной \(\mathbf<\pi>\), получим:
\(\mathbf =37,5>\) (cм 2 ) площадь полукруга
Ответ: \(\mathbf\) (см 2 )
Задача 5
Найдите площадь круга, если известна длина окружности С.
Длина окружности С
Площадь круга S - ?
Решение:
Длина окружности выражается формулой:
Выразим неизвестный радиус окружности через длину окружности:
Площадь круга определяем по формуле:
Подставим, полученные выражения для радиуса окружности, в формулу площади круга, получим:
Сократим полученную дробь:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Кроме вычислительных задач, существуют задачи на построение окружности и круга.
Окружность и круг можно начертить с помощью чертежного инструмента, который называется циркуль.
Циркуль использовали еще с древности, много тысяч лет назад, об этом свидетельствуют найденные на раскопках находки, изображения.
Рассмотрим, как построить окружность (круг) на бумаге с помощью циркуля и линейки.
Ставим точку на листе бумаги - это будет центр окружности (круга), в эту точку ставим иголку циркуля.
Если в задаче задан диаметр, то, прежде чем совершать замер по линейке, необходимо диаметр разделить пополам.
Таким образом, устанавливаем раствор циркуля по линейке на расстояние d:2 = r и чертим окружность по выше изложенной схеме.
Чтобы начертить окружность на местности, пользуются колышком и веревкой. Колышек вбивают в землю - предполагаемый центр окружности; веревка одним концом закрепляется к этому колышку, второй конец веревки туго натягивается; далее очерчивают окружность.
Данный способ построения окружности (круга) может быть применен и на бумаге, если под рукой не оказалось циркуля.
В качестве колышка берется кнопка, к ней привязывается нить определенной длинны (длина нити равна значению заданного радиуса), ко второму концу привязывается карандаш
Окружностью называется фигура которая состоит из всех точек плоскости равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Радиусом называется любой отрезок соединяющей точку окружности с ее центром.
Чтобы построить окружность необходимо знать уравнение окружности:
(х – а) 2 + (у – b) 2 = R 2
Точка С(а;b) центр окружности, радиус R, х и у – координаты произвольной точки окружности.
И так, чтобы построить окружность необходимо знать цент окружности и радиус. Рассмотрим пример:
Пример №1:
(х – 1) 2 + (у – 2) 2 = 4 2
Найдем центр окружности:
х – 1=0
x=1
Центр окружности будет находится в точке (1;2)
Найдем радиус окружности:
R 2 =4
R 2 =2 2
R=2
Построим окружность. Отметим сначала центр окружности, а потом отложим с четырех сторон (вверх, вниз, влево и право) длину радиуса и отметим эту длину точками. Потом проведем окружность.
Пример №2:
х 2 + (у + 1) 2 =1
Можно представить уравнение окружности ввиде:
(х-0) 2 + (у + 1) 2 =1 2
Найдем центр окружности:
х=0
Центр окружности будет находится в точке (0;–1)
Найдем радиус окружности:
R 2 =1
R 2 =1 2
R=1
Построим окружность.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Нас окружает множество предметов. И многие из них имеют круглую форму. Она задана им для удобного использования. Взять, например, колесо. Если бы оно было изготовлено в форме квадрата, то как бы катилось по дороге?
Для того чтобы изготовить предмет круглой формы, нужно знать, как выглядит формула длины окружности через диаметр. Для этого сначала определим, что же представляет собой это понятие.
Круг и окружность
Окружностью является множество точек, которые размещены на равном расстоянии от основной точки - центра. Это расстояние называется радиусом.
Расстояние между двумя точками на данной линии называется хордой. Помимо того, если хорда проходит через основную точку (центр), тогда она называется диаметром.
А теперь рассмотрим, что такое круг. Совокупность всех точек, которые находятся внутри очертания, называется кругом.
Что такое длина окружности?
После того как мы рассмотрели все определения, мы можем высчитывать диаметр окружности. Формула будет рассмотрена немного позже.
Для начала мы попробуем измерить длину очертания стакана. Для этого мы обмотаем его ниткой, затем ее измерим линейкой и узнаем приблизительную длину воображаемой линии вокруг стакана. Потому что размер зависит от правильного измерения предмета, а данный способ не является надежным. Но тем не менее сделать точные измерения вполне возможно.
Для этого опять вспомним о колесе. Неоднократно мы видели, что если увеличить спицу в колесе (радиус), то увеличится и длина обода колеса (окружности). И так же при уменьшении радиуса окружности уменьшается и длина обода.
Если внимательно проследить за этими изменениями, то увидим, что длина воображаемой круглой линии пропорциональна ее радиусу. И данное число является постоянным. Дальше рассмотрим, как определяется диаметр окружности: формула для этого применится в примере ниже. И рассмотрим ее, следуя шаг за шагом.
Формула окружности через диаметр
Поскольку длина очертания пропорциональна к радиусу, то и соответственно пропорциональна диаметру. Поэтому ее длину мы условно означим буквой C, диаметр - d. Поскольку соотношение длины очертания и диаметра - постоянное число, то его можно определить.
Проделав все подсчеты, мы определим число, которое приблизительно равно 3,1415… По той причине, что при подсчетах конкретное число не получилось, то обозначим его буквой π. Этот значок нам пригодится для того, чтобы была выведена формула длины окружности через диаметр.
Проведем воображаемую линию через центральную точку и измерим расстояние между двумя крайними. Это и будет диаметр. Если будем знать диаметр окружности, формула для определения длины ее самой будет выглядеть так: C = d * π.
Если мы будем определять длину разных очертаний, то если известен их диаметр, формула будет применена одна и та же. Поскольку знак π - это приблизительное исчисление, то и было решено умножать диаметр на 3,14 (число, округленное до сотых).
Как вычислить диаметр: формула
На этот раз попробуем с помощью данной формулы вычислить другие величины, помимо длины очертания. Чтобы вычислить диаметр по длине окружности, формула используется та же. Только для этого ее длину делим на π. Это будет выглядеть так d = C / π.
Рассмотрим, как эта формула действует на практике. К примеру, нам известна длина очертания колодца, следует вычислить его диаметр. Измерить его невозможно, поскольку из-за погодных условий нет доступа к нему. А задача у нас - изготовить крышку. Что будем делать в таком случае?
Нужно воспользоваться формулой. Возьмем длину очертания колодца - к примеру, 600 см. В формулу ставим конкретное число, а именно С = 600 / 3,14. В результате мы получим приблизительно 191 см. Округлим результат до 200 см. Затем с помощью циркуля рисуем круглую линию с радиусом в 100 см.
Поскольку очертание с большим диаметром нужно чертить соответствующим циркулем, то такой инструмент можно изготовить самому. Для этого возьмем рейку нужной длины и на каждом конце вбиваем по гвоздю. Устанавливаем один гвоздь в заготовку и слегка его вбиваем, для того чтобы он не сдвинулся с намеченного места. А с помощью второго чертим линию. Приспособление очень простое и удобное.
Современные технологии позволяют для вычисления длины очертания использовать онлайн-калькулятор. Для этого нужно всего лишь ввести диаметр окружности. Формула будет применена автоматически. Так же можно вычислять длину окружности с помощью радиуса. Кроме того, если вы знаете длину окружности, онлайн-калькулятор вычисляет радиус и диаметр с помощью данной формулы.
Читайте также: