Какое выражение можно упростить по формулам приведения sin п 2 x
Суть формул приведения заключается в преобразовании тригонометрических функций углов к более «простому» виду. Они позволяют свести задачу вычисления значений тригонометрических функций к вычислению значений для углов x при условии, что x будет находиться в пределах от 0 до п/2. О важности их знания написать можно много. Этих формул тоже много - 32 штуки!
Данные формулы можно также выразить в табличной форме:Не пугайтесь, учить их не надо. Но необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет.
Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:1. Определите знак функции в соответствующей четверти.
2. При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.
3. Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями.
- Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
- Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется.
- Ещё проще - вспомните мнемоническое правило "лошади", о котором я говорила на уроке (если мы откладываем угол от Вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY) и приводимая функция меняет своё название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс. Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ) и приводимая функция не меняет название).
Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:
Ещё:
Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов, значит:
Конечно, определить значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.Рассмотрим примеры применения формул приведения.
Пример 1.
Упростить выражение: sin(x+17π)
Решение. Определим целое число периодов 2π (полных оборотов на единичной окружности), содержащихся в 17π.
По формулам приведения:
sin(x+17π) = sin(x + 8 * 2π + π) = sin(x + π) = - sin x ( « - « т. к. находимся в 3-ей четверти)
Пример 2.
Решение. Угол -8π/3 лежит в промежутке от -3π до -2π. Поэтому можно сделать следующие преобразования:
Пример 3.
Найти: cos (π-α), если cos(π/2-α) = b и α∈(π; 3π/2).
Решение. По формулам приведения : cos(π-α) = - cos α и cos(π/2 – α) = sin α
Ввиду основного тригонометрического тождества cos 2 α = 1 – sin 2 α = 1 – b 2
При извлечении квадратного корня надо учесть, что α∈(π; 3π/2) (третья четверть). В таком случае будет выполнено неравенство cosα<0.
Тогда cosα= -√(1-b 2 2 ), и -cosα= √(1-b 2 2 )
Пример 4.
Упростите выражение: sin(π/2-α)cos (π-α)+cos (3π/2+α)sin (2π-α)
Решение. По формулам приведения : cos(π-α) = - cos α; sin(π/2 – α) = cos α; cos(3π/2 + α) = sin α; sin(2π – α) = -sin α
Получаем sin(π/2-α)cos (π-α)+cos (3π/2+α)sin (2π-α) = cos α *(-cos α) + sin α * (-sin α) = - cos 2 α - sin 2 α = - (cos 2 α + sin 2 α) = - 1
Пример 5.
Решение. В каждой тригонометрической функции исключим периоды
sin(-7π/3) = - sin(2π+ π/3) = - sin π/3 = - √3/2
cos(- 19π/6) = cos(2π+π+ π/6) = cos(π+π/6) = - cos π/6 = - √3/2
tg390°=tg(2*180°+30°)= tg30°= √3/3
ctg(-300°)= -ctg(180°+90°+30°)= -ctg(90°+30°)= tg30°= √3/3
Таким образом, имеем: sin(-7π/3)cos(-19π/6)tg390°ctg(-300°) = ((-√3)*(-√3)*√3*√3)/(2*2*3*3) = 1/4 = 0,25
Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?
Здесь правило еще проще:
- если «точка привязки» \(\frac<\pi>\) (\(90^°\)) или \(\frac<3\pi>\) (\(270^°\))– функция меняется на кофункцию;
- если «точка привязки» \(π\) (\(180^°\)) или \(2π\) (\(360^°\)) – функция остается той же.
То есть, при аргументах исходной функции \(\frac<\pi>+a\), \(\frac<\pi>-a\), \(\frac<3\pi>+a\) или \(\frac<\pi>-a\), мы должны поменять функцию, а при аргументах \(π+a\), \(π-a\), \(2π+a\) или \(2π-a\) - нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:
Точки, обозначающие \(\frac<\pi>\) \((90^°)\) и \(\frac<3\pi>\) \((270^°)\), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».
Точки же, обозначающие \(π\) (\(180^°\)) и \(2π\) (\(360^°\)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».
Эти «да» и «нет» - и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше \(\cos(\frac-a)=. \) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, \(\cos(\frac-a)=-\sin\) \(a\). Это и есть верная формула приведения.
sin (x + п / 2)
Здравствуйте!
Помогите решить задание:
Упростить выражение sin (x + п / 2).
Кроме решения нужно подробное как можно более полное объяснение.
Спасибо!
Задача.
Упростить выражение .
Так как в полученном выражении присутствуют тригонометрические функции, для которых значение может быть вычислено при помощи таблицы тригонометрических функций, вычислим их и подставим в выражение.
Из таблицы получим, что равен нулю, а равен 1. Следовательно:
Как быстро получить любую формулу приведения
Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:
Здесь нужно пояснить термин «кофункция» - это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.
Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс , он либо останется синусом, либо превратиться в косинус . А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.
Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
- как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
- как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?
Примеры из ЕГЭ с формулами приведения:
Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac^°> >^°>>\)
Углы \(^°\) и \(^°\) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ.
Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: \(49^°=90^°-41^°\). Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).
Теперь применим к синусу формулу приведения:
\(90^°-41^°\) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;
\(90^°\)- находится на «вертикали» - функция меняется на кофункцию.
В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.
Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac\)
Опять замечаем интересное «совпадение»: \(163^°=180^°-17^°\). Поэтому можно заменить \(163^°\) на \(180^°-17^°\).
Воспользуемся формулой приведения:
\((180^°-17^°)\) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;
\(180^°\) - находится на «горизонтали» - функция остается прежней.
Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(-19\,tg\,101^°\cdot tg\,191^°\)
Применим формулы приведения:
\((90^°+11^°)\) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;
\(90^°\)- находится на «вертикали» - функция меняется.
\((180^°+11^°)\) – это третья четверть, тангенс в ней положителен. Значит, знак будет плюс;
\(180^°\) - находится на «горизонтали» - функция остается прежней.
Вот тут можно применить одну из формул связи .
Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить: \(\frac^° + sin^2^°>\) .
\((90^°+41^°)\) – \(90^°\) на вертикали, синус меняется на косинус;
Знак синуса не важен, так как он все равно в квадрате.
\((180^°+41^°)\) – \(180^°\) на горизонтальной оси, синус остается синусом.
Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите \(26\, cos(\frac+α)\), если \(cosα=\frac\) и \(α∈(\frac;2π)\).
Очевидно, что к исходному выражению можно применить формулу приведения \(26\,cos(\frac+α)=26\,sinα\). Задача свелась к нахождению синуса по косинусу, много похожих заданий было разобрано в статье « формулы связи ».
С учетом того, что \(α∈(\frac;2π)\), то есть в четвертой четверти, \(sin\,α=-\frac\).
Ну и последний пример – с очень важным выводом после него.
Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить, чему равен \(ctg(-a-\frac)\), если \(tg\,a=2\).
Прежде чем применять формулу приведения, приведем аргумент функции к стандартному (одному из указанных в начале статьи). Давайте поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки – для того, чтобы a стояла после «точки привязки».
Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.
Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть \(ctg\,(-t)=- ctg\,t\). Преобразовываем наше выражение.
Теперь преобразуем \(\frac\) следующим образом: \(\frac=\frac=2π+\frac\).
Но ведь \(2π\) – это просто полный оборот по кругу, он не оказывает никакого влияния на значение функции: \(ctg\,(2π+x)=ctg(x)\).
Так что, его можно просто отбросить.
Вот теперь применяем формулу приведения.
\((\frac+a)\) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен.
«Точка привязки» - вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем \(ctg(\frac+a)=-tg\,a\).
Важное замечание! На самом деле преобразовывать функцию по формулам приведения можно было сразу после получения \(ctg(-\frac-a)\), не делая все последующие преобразования.
Действительно:
\((-\frac-a)\) – это первая четверть, там котангенс положителен.
«Точка привязки» - вертикальная, то есть функцию меняем.
Таким образом, можно сразу получить, что \(ctg\,(-\frac-a)=tg\,a\).
«Точки привязки» не ограничиваются только лишь значениями \(\frac\),\(π\),\(\frac\) и \(2π\), а могут быть любой из точек, лежащих на пересечении круга с осями: \(5π\),\(-\frac\),\(-12π\),\(\frac\)…
Но обратите внимание – они никогда не могут быть \(-\frac\),\(\frac\),\(\frac\) и т.д. – потому что эти точки не лежат на пересечении с осями. Давайте, вместе выясним почему это так.
Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения
Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac<\pi>+a\), \(\frac<\pi>-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac<3\pi>+a\), \(\frac<3\pi>-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.
Как быстро получить любую формулу приведения
Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:
Здесь нужно пояснить термин «кофункция» - это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.
Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс , он либо останется синусом, либо превратиться в косинус . А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.
Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
- как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
- как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?
Как доказать формулу приведения, или почему «точки привязки» обязательно должны быть точками пересечения с осями
Возьмем какую-либо формулу приведения – например, вот эту \(\sin(\frac+a)=\cosa\) – и попробуем получить из левой части правую.
Что у нас слева? Синус суммы аргументов.
У нас на этот случай есть формула: \(\sin(x+y)=\sinx \cosy+\siny \cosx\)
Применим ее: \(\sin(\frac+a)=\sin\frac\cosa+\sina \cos\frac\)
Мы знаем, что \(\sin\frac=1, а \cos\frac=0\). Таким образом имеем окончательную цепочку преобразований:
Попробуем еще. Возьмем вот эту формулу: \(\cos(π-a)=-\cosa\)
Преобразовываем с помощью формулы разности в косинусе:
\(\cos(π-a)=\cosπ \cosa+\sina \sinπ=-1·\cosa+\sina·0=-\cosa\)
Опять всё верно.
Ну и еще одну: \(\cos(\frac+a)=\sina\)
Преобразовываем с помощью формулы суммы в косинусе:
А теперь присмотритесь к преобразованиям. Замечаете что-нибудь общее?
Да, всё верно - во всех случаях у нас одна из функций превращается в \(1\) или \(-1\), а вторая в \(0\). И именно благодаря этому - итоговое выражение становится проще!
А теперь давайте попробуем взять в качестве «точки привязки» не точку пересечения с осями, а какую-нибудь другую, например, \(\frac\):
Мда… Что-то такое себе упрощение получилось…
«Точки привязки» должны быть точками пересечения с осями, потому что только в этом случае получаются более простые выражения. Так происходит потому, что в точках пересечения круга с осями всегда одна из функций (синус или косинус) равна нулю, а вторая плюс или минус единице. Для всех остальных точек – это не работает.
Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.
Например, выводим формулу приведения для \(cos(\frac<3\pi>-a) =. \) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверт ь ?
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac<\pi>\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac<3\pi>-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac<3\pi>\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).
В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac<3\pi>-a)=-. \)
Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.
Например, выводим формулу приведения для \(cos(\frac<3\pi>-a) =. \) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверт ь ?
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac<\pi>\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac<3\pi>-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac<3\pi>\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).
В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac<3\pi>-a)=-. \)
Формулы приведения. Примеры из ЕГЭ
Как вы, наверное, уже обратили внимание, формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac<\pi>+a\), \(\frac<\pi>-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac<3\pi>+a\), \(\frac<3\pi>-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\).
К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.
Читайте также: