Как сделать шаблон параболы по алгебре 8 класс
Рассмотрим уравнение параболы с вершиной в произвольной точке.
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю .
Подставляем значения , , и в уравнение канонического вида .
Так как значение положительно, ветви параболы направлены вверх.
Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы с помощью следующей формулы.
Фокус параболы может быть найден с помощью прибавления к координате Y вершины параболы, ветви которой направлены вверх или вниз.
Подставим известные значения , и в формулу и упростим.
Найдем ось симметрии, определив прямую, проходящую через вершину и фокус.
Директрисой параболы является горизонтальная прямая, определяемая вычитанием из координаты Y вершины параболы, ветви которой направлены вверх или вниз.
Цель: продолжить формирование умения строить график функции у = а (х – т) 2 + п, используя при этом шаблоны парабол.
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию:
а) у = ; г) у = х 2 + 1;
б) у = –2х 2 + 1; д) у = ;
в) у = (х – 1) 2 – 2; е) у = (х + 1) 2 – 2.
III. Формирование умений и навыков.
Учащиеся выполняют з а д а н и я двух групп:
– построение графика функции у = а (х – т) 2 + п с использованием шаблонов;
– построение графика функции у = а (х – т) 2 + п с помощью преобразований.
2. Используя шаблон параболы у = 2х 2 , постройте график функций:
а) у = 2 (х + 1) 2 – 4; б) у = –2 (х – 3) 2 + 2.
3. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте график функции:
а) у = ;
б) у = .
1. Постройте графики функции:
а) у = ;
б) у = –3(х – 1) 2 + 4;
в) у =
2. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Изобразите схематически графики функций:
а) у = –(х – 3) 2 ;
б) у = х 2 + 1;
в) у = 2 (х + 1) 2 – 3.
2. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте график функций:
а) у = (х + 2) 2 – 3;
б) у = –(х – 1) 2 + 4.
3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:
В а р и а н т 2
1. Изобразите схематически графики функций:
а) у = –2х 2 + 3;
б) у = (х + 2) 2 ;
в) у = –(х – 1) 2 – 2.
2. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте графики функций:
а) у = (х – 3) 2 – 2;
б) у = –(х + 1) 2 + 5.
3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что является графиком функции у = а (х – т) 2 + п?
– Как может быть получен график функции у = а (х – т) 2 + п из графика функции у = ах 2 ?
– Какие координаты имеют вершины парабол:
у = 2 (х – 3) 2 + 4, у = (х + 1) 2 – 5?
Домашнее задание:
2. Постройте графики функций:
а) у = –2 (х – 1) 2 + 3; б) у = (х + 2) 2 – 4.
В а р и а н т 1
1. Изобразите схематически графики функций:
а) у = –(х – 3) 2 ;
б) у = х 2 + 1;
в) у = 2 (х + 1) 2 – 3.
2. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте график функций:
а) у = (х + 2) 2 – 3;
б) у = –(х – 1) 2 + 4.
3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:
В а р и а н т 2
1. Изобразите схематически графики функций:
а) у = –2х 2 + 3;
б) у = (х + 2) 2 ;
в) у = –(х – 1) 2 – 2.
2. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте графики функций:
В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.
Функция вида , где называется квадратичной функцией.
В уравнении квадратичной функции:
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:
Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.
Итак, мы заметили:
Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .
Если старший коэффициент a , то ветви параболы напрaвлены вниз .
Второй параметр для построения графика функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции - это точки пересечения графика функции с осью ОХ.
Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .
В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .
В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.
И здесь возможны три случая:
1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:
2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:
3 . Если ,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:
>/" />
, >/" />
Если ,то график функции выглядит примерно так:
Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:
Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.
И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы с осью OY.
Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .
То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).
Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.
1. Функция задана формулой .
Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции
1. Направление ветвей параболы.
Так как ,ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена
=7" />
Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.
Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:
/4=1" />
, /4=-2,5" />
3. Координаты вершины параболы:
4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:
Этот способ можно несколько упростить.
1. Найдем координаты вершины параболы.
2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.
Воспользуемся результатами построения графика функции
Кррдинаты вершины параболы
Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3
Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2
Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:
Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:
2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид - в этом уравнении - координаты вершины параболы
или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент - четное число.
Построим для примера график функции .
Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно
- сначала построить график функции ,
- затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
- затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
- а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:
Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент - четное число.
Выделим в уравнении функции полный квадрат:
Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):
3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)
Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)
1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:
(х-2)(х+1)=0, отсюда
3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.
Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:
График квадратичной функции.
Перед вами график квадратичной функции вида .
Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
- ширины графика функции от значения коэффициента ,
- сдвига графика функции вдоль оси от значения ,
- сдвига графика функции вдоль оси от значения
- направления ветвей параболы от знака коэффициента
- координат вершины параболы от значений и :
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При ветви направлены вверх, при — вниз.
2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.
Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы :
, . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .
2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две (, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде
1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a
2) находим координаты вершины параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?
Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .
Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.
Читайте также: