Как сделать число палиндром
@Uchenitsa, на псевдокоде (паскаля не знаю) min = 9 for i = 0; i
1 ответ 1
- идете по строке символов - s[i] . каждая итерация этого цикла определяет опорный символ относительно которого начинаете строить палиндром.
- запускаете цикл по j (от 1), сравниваете s[i-j] с s[i+j] если они совпадают, значит палиндром существует. как только стали не равны палиндром кончился.
- полученный на 2-м шаге палиндром запоминаете. если предыдущий палиндром был короче, затираете новым палиндромом. если предыдущий палиндром был такой же длины, но больше по модулю, опять же заменяете его на новый найденный.
- в итоге получите самый длинный и самый маленький по модулю палиндром.
- в п.2 необходимо предусмотреть, что палиндром может быть как нечетной длины так и четной. т.е. надо сравнивать и s[i-j] с s[i+j] , но и s[i-j+1] с s[i+j] .
- если палиндром начинается и заканчивается нулем, обрезаете их.
- не совсем понятно, является ли палиндромом число длины 1, учитывая замечание "за исключением самого числа 0". И как следствие как в таком случае может не быть палиндрома (только если вход пустой?).
UPD
Чтоб составить палиндром из любых введенных цифр, а не последовательности (как написано выше), заведите массив на 10 элементов, в котором храните количество цифр во входе, т.е. сколько было нулей, единиц, двоек. После того как прошли весь ввод, циклом смотрите количество каждой цифры (если больше 2-х) и конкатенируете с двух сторон. 11233211.
Максимальная цифра может быть нечетного количества.
Нули (если их больше 2-х) надо вставить после первой значащей цифры. 40055004. Если четных цифр нет, значит берете минимальное, встретившееся хотя бы один раз, в т.ч. 0.
Числовые палиндромы или палиндромные числа - это натуральные числа , представление которых в системе счисления, читаемое спереди и сзади, имеет одинаковое значение, например Б. 1331 или 742247, но также 21 по основанию 2 (= 10101). Иногда для чисел с основанием используются общие обозначения a 1 a 2 a 3 . | . a 3 a 2 a 1 . а
Термин палиндром был заимствован из лингвистики в теории чисел , разделе математики .
Содержание
Палиндромы в десятичной системе счисления
Все числа в десятичной системе, состоящие только из одной цифры, являются палиндромными числами .
Всего существует девять двузначных палиндромных чисел:
Всего существует 90 трехзначных чисел-палиндромов:
а также 90 четырехзначных палиндромных чисел:
Это означает, что меньше 10 4 (то есть 10 000) имеется ровно 9 + 9 + 90 + 90 = 198 палиндромов. Всего существует 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 числовых палиндромов, которые меньше 10 5 (т. Е. 100 000). Число палиндромов меньше 10 n следует за этой серией чисел: 1998 (для n = 6), 10998 (для n = 7 и т. Д.), 19998, 109998, 199998, 1099998, . ( OEIS , A050250).
Кроме того, каждое целое число, которое не делится на 10, имеет положительное кратное, которое является десятичным палиндромом, что должно было быть доказано в задании на Федеральном конкурсе математиков 2009 года.
В правилах делимости также показывают , что все количество палиндромов с четным числом цифр, делятся на 11.
Генерация числовых палиндромов
Возведение чисел в квадрат
В десятичной системе проходит
Палиндромные числа, где [1] n - сокращенное обозначение n- кратного повторения 1, а n варьируется от 1 до 9.
| 1 | * | 1 | знак равно | 1 |
| 11 | * | 11 | знак равно | 121 |
| 111 | * | 111 | знак равно | 12321 |
| 1111 | * | 1111 | знак равно | 1234321 |
| 11111 | * | 11111 | знак равно | 123454321 |
| 111111 | * | 111111 | знак равно | 12345654321 |
| 1111111 | * | 1111111 | знак равно | 1234567654321 |
| 11111111 | * | 11111111 | знак равно | 123456787654321 |
| 111111111 | * | 111111111 | знак равно | 12345678987654321 |
Инверсия и сложение
Другой возможностью является итерационная схема, в которой любое положительное число (которое само по себе не является палиндромом) вращается по следующему алгоритму, пока не достигнет палиндрома :
- Поменяйте местами число (например, 84 на 48), т.е. ЧАС. создать номер зеркала
- Добавьте перевернутое число к его начальному числу (48 + 84 = 132)
- Снова поменяйте местами вновь созданное число (132 на 231)
- Снова сложите оба числа (132 + 231 = 363)
Для большинства чисел числовой палиндром возникает после определенного количества шагов вычисления (до 10 000 макс. 24 шага). Однако есть также числа, которые выступают против этой трансформации и для которых еще не было обнаружено палиндромных образований. Такие числа называются числами Лихрела ; самое известное число Лихрела - 196 . Поэтому вышеупомянутый алгоритм также упоминается как алгоритм 196.
Палиндромы при преобразовании системы счисления
Числовые палиндромы также могут возникать при преобразовании десятичных чисел в другую систему счисления.
В следующей таблице перечислены все числовые палиндромы (для чисел от 10 до 10 7 ), которые являются результатом преобразования десятичной системы счисления в соответствующую систему счисления.
Сумма числа палиндромов
В эссе 2018 года было показано, что любое положительное целое число можно записать как сумму трех числовых палиндромов, независимо от используемой системы счисления с основанием 5 или более.
В этой публикации мы разберем программу, которая определяет, является ли число, введенное пользователем палиндромом.
Палиндром - это число, слово, текст, которые читаются одинаково в обоих направлениях. Вот пару примеров:
- 1221
- Шалаш
- Топот
- А роза упала на лапу Азора
- 404
Сегодняшняя программа будет находить числа - палиндромы. Разумеется, программу можно модифицировать под то, чтобы она находила так же и слова и даже текст, но это уже усложненные модификации.
В конце будет ссылка на скачивание кода программы.
Поэтому поехали!
1. Типы данных
В этой программе возьмем тип longint вместо обычного integer . Сделано это по причине того, что пользователь может ввести палиндром, состоящий из очень большого числа цифр.
Num - наше введенное число
A, B, C - вспомогательные переменные для определения, относится ли число к палиндромам.
Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена. Таким образом, целью исследования является знакомство с числами палиндромами
| Вложение | Размер |
|---|---|
| научно-исследовательская работа | 138.5 КБ |
| презентация | 368.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Научно-исследовательская работа
на школьную научно-практическую конференцию молодых исследователей
Палиндромы в математике
Яковлев Данил Юрьевич
Муниципальное бюджетное общеобразовательное
Якоби Зинаида Фёдоровна,
Муниципальное бюджетное общеобразовательное
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. 5
Гипотеза
Простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.
Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.
Цель исследования
Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена. Таким образом, целью исследования является знакомство с числами палиндромами .
1.Изучить литературу по теме исследования.
2.Рассмотреть свойства палиндромов.
3..Выяснить, какую роль играют простые числа в изменении свойств заинтересовавших нас чисел.
Предмет исследования – множество простых чисел.
Объект исследования – числа палиндромы..
- теоретический
- анкетирование
- анализ
Однажды, играя в боулинг я заметил необычные числа: 44, 77, 99, 101 и мне стало интересно, что это за числа? Заглянув в интернет я узнал что это числа палиндромы.
Найти числа – палиндромы в математике не составило труда. Я попытался составить запись числа для этих чисел – палиндромов.
- в двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.
– в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.
- в четырехзначных числах – палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.
Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами, я понимаю, выражение (состоящее из суммы или разности чисел) результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.
Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется. Сложение двухзначных чисел довольно просто я решил записать сумму для трёхзначных чисел.
В общем виде это можно записать так:
(100х + 10х+ x) + (100у + 10y + у) = (100у + 10y + у) + (100х + 10x + х)
100х + 10х+ x + 100у + 10у + y = 100у + 10у + y + 100x +10х + х
111х + 111у = 111у + 111х
111(х + у) = 111(у + х)
От перестановки слагаемых сумма не изменяется (переместительное свойство сложения).
Точно также доказывается для 4-х, 5-х и n - значных чисел.
Рассмотрим все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.
Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:
= 10х 1 + у 1 = 10х 2 + у 2
- = (10х 1 + у 1 ) – (10х 2 + у 2 )
- = (10у 2 + х 2 ) – (10у 1 + х 1 )
(10х 1 + у 1 ) – (10х 2 + у 2 ) = (10у 2 + х 2 ) – (10у 1 + х 1 )
10х 1 + у 1 – 10х 2 - у 2 = 10у 2 + х 2 – 10у 1 - х 1
10х 1 + х 1 + у 1 + 10у 1 = 10у 2 + у 2 + 10х 2 + х 2
11 х 1 + 11 у 1 = 11х 2 + 11у 2
11(х 1 + у 1 ) = 11(х 2 + у 2 )
х 1 + у 1 = х 2 + у 2
У таких чисел равны суммы цифр.
Теперь можно составлять такие разности:
52 –16 = 61 – 25 и т.д.
Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: число Фибоначчи, число Смита, Репдиджит, Репьюнит.
Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.
Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.
Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.
Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только единиц
Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.
Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (рис. 1). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.
Продолжая построение, можно сконструировать на основе данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца, то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или заменяя другие — 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число оказалось простым. Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 3). В частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.
Можно составить также многоугольные фигуры из чисел, обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется построить фигуру из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры — единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в строке — простые числа (исключение — однозначный палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся в записи.
Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр. Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 5−7).
В своей работе я рассмотрел числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы трехзначных чисел и разности двузначных чисел и смог их доказать. Я познакомился с удивительными натуральными числами: палиндромами и репьюнитами. Все они обязаны своими свойствами простым числам .
Интуитивно я составил формулы для суммы и разности n- значных чисел, произведения и частного двухзначных чисел.
В случае умножения имеем:
26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 и т.д.
Произведение первых цифр равно произведению их вторых цифр х 1 ∙ х 2 = у 1 ∙ у 2
Для деления получаем такие примеры:
96 : 32 = 69 : 23 и т.д.
Данные утверждения я пока не смог доказать, но думаю, что мне удастся это сделать в дальнейшем.
В литературе я смог найти формулы – палиндромы умножения многозначных чисел
20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302
726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312
Цели своей работы я достиг. Рассмотрел числа – палиндромы и записал их в общем виде. Привел примеры и доказал формулы – палиндромы для сложения и вычитания двухзначных чисел. Определил ряд вопросов над которыми мне предстоит ещё работать и исследовать формулы – палиндромы. Значит, я подтвердил гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа. Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.
Читайте также: