Как найти соотношение сторон трапеции
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.
Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.
Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Элементы трапеции
- Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
- Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Виды трапеций
- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
- Трапеция, у которой один из углов "прямой", называется прямоугольной.
Основные свойства трапеции
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:
\[ AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD \]
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:
Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:
\[ d_1^2 + d_2^2 = 2ab + c^2 + d^2 \]
Формулы длин сторон трапеции
Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:
\[ a = 2m - b , b = 2m - a \]
Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:
\[ a = b + h · (ctg \alpha + ctg \beta) , b = a - h · (ctg \alpha + ctg \beta)\]
Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:
\[ a = b + c·cos \alpha + d·cos \beta, b = a - c·cos \alpha - d·cos \beta \]
Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:
Формулы длины средних линий трапеции
Формула определения длины средней линии через длины оснований:
Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
Формулы длины высоты трапеции
Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:
\[ h = c·sin α = d·sin β \]
Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:
Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то
Площадь
или где – средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
§4. Свойства трапеции
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям - подобны.
$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме
(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).
$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).
$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).
$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` - диагональ, `c` - боковая сторона, `a` и `b` основания.
Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.
$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).
$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .
Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):
`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,
`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).
Проводим `CK``|\|``BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:
В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.
`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` - его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` - её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).
По построению `ACKD` - параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`
(т. к. угол `BDK` - это угол между диагоналями трапеции).
Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то
Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.
Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` - высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.
Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна
Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).
Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.
Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$
Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда
Решение задач 15 – 18 дают следующие свойства трапеций:$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.
$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` - площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.
$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` - какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` - смотрящий на неё вписанный угол.
Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды.
Основные определения, формулы и свойства.
Помни о своей цели!
Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!
Что такое трапеция:
Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).
Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°
\( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \)
Средняя линия трапеции:
Средняя линия трапеции (\( \displaystyle MN\)) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон: \( \displaystyle AM=MB,\ \ CN=ND\).
Средняя линия параллельна основаниям: \( \displaystyle MN\parallel BC\parallel AD\).
Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: \( \displaystyle MN=\frac\).
Диагонали трапеции:
Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
(\( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\)) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: \( \displaystyle k=\frac\).
Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: \( \displaystyle _>=_>\).
Равнобедренная (равнобокая трапеция)
Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны: \( \displaystyle AB=CD\).
Свойства равнобедренной трапеции:
Углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle D,\text< >\angle B=\angle C\);
Сумма противолежащих углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180<>^\circ \).
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: \( \displaystyle A^>=B^>=AD\cdot BC+A^>\).
Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( \displaystyle _>=\frac\cdot h\).
Для справки: В нашем учебнике для подготовки к ЕГЭ по математике есть все темы планиметрии и стереометрии (да и алгебры тоже есть).
Что такое трапеция?
Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.
Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.
Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.
Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).
И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?
А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)
Свойства трапеции
Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \))
Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая.
Вот и получается, что \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\) – внутренние односторонние углы при параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) и секущей \( \displaystyle AB\).
Поэтому \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \).
И точно так же \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\), но секущая теперь – \( \displaystyle CD\).
Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.
Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:
Читайте также: