Как найти производную sin
Заметим, что если аргумент у синуса есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто $x$), то производную нужно находить по следующей формуле:
Производная синуса
Так как аргумент синуса представляет собой сложную функцию $ f(x)=2x $, то используем вторую формулу.
Находим производную $ f(x) $:
Теперь подставляем всё в формулу и записываем:
$$ y' = (\sin 2x)' = \sin 2x \cdot (2x)' = 2\sin 2x $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
В этом примере синус представляет собой степенную функцию. Поэтому сначала берем производную по правилу: $ (x^p)'=px^ $, а затем производную от $ \sin x $.
$$ y'=(\sin^2 x)' = 2\sin^2 x \cdot (\sin x)' = 2\sin^2 x \cdot \cos x $$
Это задание полностью аналогичное предыдущему, только вместо квадрата стоит куб:
$$ y' = (\sin^3 x)' = 3\sin^2 x \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cdot \cos x $$
Примеры вычисления производной синуса
Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \sin x$
Решение. Запишем искомую производную:
По правилам дифференцирования выносим двойку за знак производной:
и производная от синуса равна косинусу:
Ответ. $y^<\prime>(x)=2 \cos x$
Производная синуса не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Продифференцировать функцию $y(x)=\sin 2 x$
Решение. Искомая производная
Так как аргумент синуса является сложной функцией (там вместо просто $x$ стоит $2x$), то находим производную сложной функции, то есть находим производную синуса и умножаем на производную аргумента:
Константу выносим за знак производной, а производная от независимой переменной $x$ равна единице:
$$y^<\prime>(x)=\cos 2 x \cdot 2 \cdot(x)^<\prime>=2 \cos 2 x \cdot 1=2 \cos 2 x$$
Производная косинуса
Если аргумент синуса является сложной функцией, тогда производная находится по формуле:
$$ (\cos u(x))' = -\sin u(x) \cdot ( u(x) )' = -u'(x)\sin u(x) $$
Аргумент косинуса представлен сложной функцией $ u(x) = 2x $. Поэтому применяем вторую формулу, в которой производная $ u'(x) = 2 $. Подставляем:
$$ y' = (\cos 2x)' = -\sin x \cdot (2x)' = -2\sin x $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
В этом случае косинус представлен в виде степенной функции, производную которой можно найти по формуле: $ (x^p)' = px^ $. Затем нужно выполнить домножение на производную самого косинуса. Выполняем:
$$ y'=(\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x $$
По тригонометрической формуле синуса двойного угла: $ -2 \cos x \sin x = -\sin 2x $
Как найти производную sin
Для нахождения производных от сложный функций, содержащих синус используйте калькулятор производных на этом сайте. Этот калькулятор находится по ссылке:
Например, если надо найти производную синуса от x в квадрате: sin(x 2 ) = sin(x^2) .
Вводим в форму функцию синус от x 2 как изображено на рисунке ниже:
Нажимаем кнопку "Найти производную".
Результат вычисления производной от функции f(x) = sin(x^2):
И самое интересное - вы можете получить подробное решение производной от синуса онлайн!
Читайте также: