Что такое sin
В предыдущей статье я предложил Вам задачу, которую не решить с помощью теоремы Пифагора, хотя в ней идёт речь о прямоугольном треугольнике. Для её решения необходимы знания тригонометрии. Возможно, некоторые из Вас не помнят, что означает это слово. Вот определение. Тригонометрия – раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их применение. А что такое тригонометрические функции? Тригонометрические функции – это функции, выражающие зависимость сторон прямоугольного треугольника от его острых углов. Всего их шесть: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Для решения геометрических задач вполне хватает первых трёх, так как остальные три являются производными от первых.
Теперь дадим определения основным трём тригонометрическим функциям. В прямоугольном треугольнике синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинусом – отношение прилежащего катета к гипотенузе; тангенсом – отношение противолежащего катета к прилежащему.
Заключение
Пожалуй, на сегодня достаточно. Тригонометрия, зародившись как наука о треугольниках, лежит в описании очень многих процессов в электрических цепях. Я коснулся лишь ничтожно малой части.
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Первое свойство - знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство - периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и - α .
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: "угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти". Что это такое?
Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 ( 1 , 0 ) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 ( x , y ) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 ( x , y ) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
Для наглядности приведем иллюстрацию.
Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол - 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° - угол третьей четверти. Угол - 45 ° - это угол четвертой четверти.
При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус - это ордината точки A 1 ( x , y ) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной - отрицательна.
Косинус - это абсцисса точки A 1 ( x , y ) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.
Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс - отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки - отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.
- Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус - в 3 и 4 четвертях.
- Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус - в 2 и 3 четвертях.
- Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
- Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
Линии тригонометрических функций
Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.
Рассмотрим их на подробном рисунке
Как найти sin α , cos α , t g α , c t g α
Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.
Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1 . Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 1 2 - 1 2 2 = 3 2 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30 ° = 1 2 1 = 1 2 и sin 60 ° = 3 2 1 = 3 2 .
Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30 ° = 3 2 1 = 3 2 и cos 60 ° = 1 2 1 = 1 2 .
Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.
Вычисляем: t g 30 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 и t g 60 ° = 3 2 1 2 = 3 . Находим котангенс по подобной схеме: с t g 30 ° = 3 2 1 2 = 3 и с t g 60 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45 ° и гипотенузой, которая равна 1 . Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 2 2 . Т
Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.
Выводим формулу: c t g 45 ° = 2 2 2 2 = 1 .
Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.
Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.
Использование формул
Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.
Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.
Найдите значение t g π 8 .
Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 - cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
t g 2 π 8 = 1 - cos π 4 1 + cos π 4 = 1 - 2 2 1 + 2 2 = 2 - 2 2 + 2 = = ( 2 - 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 - 2 ) = ( 2 - 2 ) 2 2 2 - ( 2 ) 2 = ( 2 - 2 ) 2 2
Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 - 2 ) 2 2 = 2 - 2 2 = 2 - 1
Сведение к углу
Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.
Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = - sin 30 ° = - 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° - 60 ° ) = - cos 60 ° = - 1 2 .
Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.
Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.
В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.
Рассмотрим подробно каждый случай.
Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.
Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30 ° , 45 ° , 60 ° . Если угол выходит за пределы 90 ° , то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.
Если известно значение синуса для α , можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.
В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45 ° , мы сможем определить значение синуса 30 ° , воспользовавшись правилом из тригонометрии.
Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.
Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α . Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° .
Разобьем эти углы на четыре группы: 360 · z градусов ( 2 π · z рад), 90 + 360 · z градусов ( π 2 + 2 π · z рад), 180 + 360 · z градусов ( π + 2 π · z рад) и 270 + 360 · z градусов ( 3 π 2 + 2 π · z рад), где z - любое целое число.
Изобразим данные формулы на рисунке:
Для каждой группы соответствуют свои значения.
При повороте из точки A на 360 · z ° , она переходит в себя. А 1 ( 1 , 0 ) . Синус 0 ° , 360 ° , 720 ° равен 0 , а косинус равен 1 . Представим это в виде формулы: sin ( 360 ° · z ) = 0 и cos ( 360 ° · z ) = 1 .
Можно определить, что t g ( 360 ° · z ) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен.
Если А ( 1 , 0 ) повернуть на 90 + 360 · z ° , то она перейдет в А 1 ( 0 , 1 ) . По определению: sin ( 90 ° + 360 ° · z ) = 1 и cos ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: c t g ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 1 = 0 .
Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А ( 1 , 0 ) на любой из углов 180 + 360 · z ° , она перейдет в A 1 ( − 1 , 0 ) . Мы находим значения функций кроме тангенса.
Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270 + 360 · z ° мы попадем в A 1 ( 0 , − 1 ) . Мы находим значения всех функций кроме тангенса.
Для углов, которые не относятся к перечню от 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° … , точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла − 52 ° . Выполним построения.
Согласно рисунку, абсцисса А 1 ≈ 0 , 62 , а ордината ≈ − 0 , 78 . Соответственно, sin ( - 52 ° ) ≈ - 0 , 78 и cos ( - 52 ° ) ≈ 0 , 62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.
Выполняем вычисления: t g ( - 52 ° ) ≈ - 0 , 78 0 , 62 ≈ - 1 , 26 и c t g ( - 52 ° ) ≈ 0 , 62 - 0 , 78 ≈ - 0 , 79 .
Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.
Частные случаи
Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.
Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.
Синус, как и косинус, вместе всякими тангенсами, являются неотъемлемой частью тригонометрии. А тригонометрия это наука о треугольниках. Какое отношение треугольники могут иметь к электротехнике? Самое прямое.
Сначала нам потребуются треугольники, это же тригонометрия. О треугольниках я писал статью " Сага о треугольниках ", но сейчас нас будут интересовать только прямоугольные треугольники и буквально пара формул
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.Да, все стандартно. Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Пока ничего имеющего отношения к электричеству не наблюдается.
Теперь нам потребуется система координат. Но не привычная всем декартова, а полярная. О системах координат у меня тоже есть статья " Этюд о координатах ", но из всего там написанного нам нужна только полярная система координат
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.Вместо двух привычных координат x и y, в полярной системе координаты задаются длиной вектора r и углом между полярной осью и вектором. Причем угол считается положительным при вращении против часовой стрелки. То есть, координаты точки А будут (r,φ). Все еще не видно ничего имеющего отношение к электричеству.
А теперь давайте заставим точку бегать, с постоянной скоростью , по окружности. По единичной окружности, когда радиус равен 1. Бегать точка будет против часовой стрелки. И возьмем сразу две системы координат, причем точку начала координат (0,0) декартовой системы совместим с полюсом полярной. Полярная ось будет совпадать по направлению с осью Х декартовой системы.
А сами будем наблюдать за проекциями точки на координатные оси декартовой системы. Да, вы угадали, мы сейчас нарисуем синусоиду.
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.Проекция точки А на ось Y, в зависимости от времени (фактически, угла φ) дает нам синусоиду, а на ось Х косинусоиду, которая не отличима от синусоиды, только начинается она не с 0, а с 1. И этот момент мы скоро рассмотрим поподробнее. Вот теперь уже становится видна некоторая вязь с электричеством.
На самом деле, синусоида связана не только с круговым движением. Многие вспомнят, что синусоида это и развертка во времени колебаний маятника (груз на нити), и груза на пружине, и волны на воде. Но нам важна именно связь с круговым движением.
Давайте внимательнее посмотрим на движение точки и убедимся, что тригонометрия там действительно есть.
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.Но поскольку у нас окружность единичная, то r=1 и мы получаем простые и привычные формулы
Тем не менее, мы по прежнему не вышли за границы чистой математики, тригонометрии. Что бы сделать следующий шаг давайте представим, что наша точка А это точка на проволочной рамке вращающейся в магнитном поле.
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.Фактически, это обычный генератор переменного тока, который изучают в школьном курсе физики. В начальном состоянии рамка может быть повернута на любой угол. А выходное напряжение генератора может быть любым. Однако, оставим неизменным то, что рамка у нас вращается с постоянной скоростью.
Скорость это изменение угла поворота рамки за единицу времени, а не число оборотов в минуту, как это часто делают в обычной жизни. Такую скорость называют угловой.
Однако, математики и физики решили, что пользоваться обычными градусами (окружность делится на 360 градусов) не интересно и скучно. Поэтому стали пользоваться радианами. А что бы совсем стало не скучно решили, что полная окружность состоит из 2π радиан.
Таким образом, 360 градусов, полный оборот точки, равен 2π радиан, половина оборота, 180 градусов, равняются π радиан, четверть оборота, 90 градусов, равняются π/2 радиан.
Но поскольку нам нужен именно угол, а не угловая скорость, то
φ = ω * t , или просто ωt
И теперь мы готовы записать формулу для выходного напряжения нашего генератора
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.Здесь нужно сделать одно важное замечание. На иллюстрации я показал фрагмент синусоиды в некоторый момент времени, а не в момент начала вращения рамки. Просто 0 на шкале времени соответствует то же положение точки А, которое она имела в начальный момент времени. Эта оговорка специально для тех, кто обязательно будет утверждать, что в момент пуска генератора форма сигнала будет несколько иной.
Итак, в этой формуле А это амплитуда нашей синусоиды. И, как видно из иллюстрации, она соответствует минимальным и максимальным значениям, в данном случае, напряжения.
ωt, как мы уже выяснили ранее, это текущий угол поворота рамки. Только выраженный через угловую скорость и время. φ это начальный сдвиг фазы. В случае генератора этот сдвиг можно условно считать углом начального положения ротора. В случае синусоиды в общем случае, это просто смещение во времени точки перехода через ноль относительно начального момента времени.
На самом деле, начальный угол сдвига фазы чаще используется не сам по себе, а для указания сдвига фазы между двумя, и более, сигналами.
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.Мы можем принять, что у, например, синей синусоиды начальная фаза (начальный сдвиг) равна нулю. Тогда зеленая синусоида опережает синюю на угол φ. Или просто, сдвиг фазы между сигналами равен φ.
Но это далеко не все. При прохождении сигнала через любое устройство, любую цепь, приводит к изменению и амплитуды, и фазы сигнала. Эти изменения могут быть и чрезвычайно малы, и очень велики.
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.В данном случае, мы видим усилитель, который усиливает входной сигнал в А раз и сдвигает, задерживает, его фазу на φ.
Такой вот сдвиг фазы зачастую зависит от частоты, что может привести к проблемам при наличии обратных связей. На определенных частотах могут сложиться условия для самовозбуждения схемы.
Вообще, здесь нет никаких констант, никаких постоянных коэффициентов. Любой член формулы сам может быть формулой. Например, если А изменяется с частотой гораздо ниже, чем ω, то мы получаем амплитудную модуляцию. Если у нас изменяется ω, то мы получаем частотную модуляцию. А если изменяется φ, то модуляция будет фазовой.
Простая формула из тригонометрии позволяет описать так много различных случаев и процессов. При том, что эти электрические процессы не имеют, на первый взгляд, никакого отношения к треугольникам, которыми тригонометрия занимается.
Но и это еще не все. Дело в том, что мы пока упускали из виду, что синус является периодической функцией. А наша синусоида является графиком этой функции. И как мы уже знаем, период равен 2π. Причем это никак не зависит от частоты сигнала. А значит, мы можем сделать еще один шаг - абстрагироваться от формы сигнала. При этом остается неизменным условие периодичности.
Синус это не только тригонометрия. Или электротехника и тригонометрия.Да, теперь у нас пропал синус.И тригонометрии, в явном виде, нет. Но наследие бегущей по окружности точки осталось в виде сдвига фазы.
Но и это еще не все. На самом деле в таких вот прямоугольных импульсах синус все таки присутствует! Пусть и усиленно прячется от постороннего взгляда.
Что бы понять, где он скрывается, нужно разобраться с гармониками. Гармониками называется синусоидальный сигнал, частота которого кратна частоте основного сигнала. Например, в 2, 3, 5, 20, и т.д. раз. Обратите внимание, я не зря сказал, что сигнал синусоидальный. Вот тут то синус и спрятался.
Мы можем любой сигнал, любой формы, представить как совокупность синусоидальных сигналов. Вот пример того, так из гармоник начинает формироваться прямоугольный сигнал (черная кривая).
В данном случае я не стал рисовал иллюстрацию сам, а воспользовался готовой (из статьи про резонансные преобразователи).
Или наоборот, любой сигнал (точнее, любую непрерывную функцию) можно разложить в тригонометрический ряд. Такое разложение описал математик Жан-Батист Жозеф Фурье. Тригонометрический ряд Фурье включает функции sin и cos.
Подробности разложения сигналов в ряды Фурье я не буду сегодня рассматривать. Эта тема не для сегодняшней статьи.
Свойство периодичности
Свойство периодичности - одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.
При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.
Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Математически данное свойство записывается так:
sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α
Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.
sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5
t g ( - 689 ° ) = t g ( 31 ° + 360 ° · ( - 2 ) ) = t g 31 ° t g ( - 689 ° ) = t g ( - 329 ° + 360 ° · ( - 1 ) ) = t g ( - 329 ° )
Значения основных функций тригонометрии
Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.
Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .
Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .
Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .
Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .
Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере
Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 - 1 .
Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 - 1 = 2 + 1 ( 2 - 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 - 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 - 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 - 2 ) = = 2 - 2 2 · ( 2 2 - ( 2 ) 2 ) = 2 - 2 4
Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 - 2 4 = 2 - 2 2 . sin π 8 = 2 - 2 2 .
Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
Вновь обратимся к единичной окружности.
Точка A 1 ( x , y ) - результат поворота начальной точки A 0 ( 1 , 0 ) вокруг центра окружности на угол α . Точка A 2 ( x , - y ) - результат поворота начальной точки на угол - α .
Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты ( x , y ) , а вторая - ( x , - y ) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.
Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Согласно этому свойству, справедливы равенства
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.
Читайте также: