Число способов выбора из шести компьютеров четыре для теста равно

Обновлено: 14.01.2025

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

ЗАДАЧИ и решения

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

6 + 5 + 4 = 15

Ответ: 15 вариантов.

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?

3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

2 • 4 = 8

Ответ: 8 способами.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

3 • 3 = 9

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

2 • 2 • 2 = 8

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

3 • 4 = 12

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

Чётные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов

4 • 5 • 5 = 100

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 5 = 450

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

3 • 2 • 1 = 6

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

4 • 3 • 2 = 24

Ответ: 24 способа.

14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

5 • 4 • 3 = 60

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

2 • 4 • 3 = 24

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

6 • 5 • 4 = 120

Ответ: 120 способов.

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

8 • 7 • 6 = 336

Ответ: 336 способов.

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ

4 • 3 • 2 • 1 = 24

Ответ: 24 варианта.

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

Ответ: 6720 вариантов.

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

Ответ: 120 вариантов.

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

Ответ: 720 способов.

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов

8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

Ответ: 8.000.000 вариантов.

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

№ телефона 394

10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

Ответ: 10.000 абонентов.

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

6 • 5 = 30

Ответ: 30 способов.

25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чётных чисел?

5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

Ответ: 48 чётных чисел.

26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?

Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

1 • 4 • 3 • 2 = 24

Ответ: 24 числа.

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

Ответ: 4500 чисел.

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)

5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

Ответ: 125 чисел.

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 • 2 = 4
Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8
Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Ответ: 126 чисел.

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

11 • 10 = 110

Ответ: 110 способов.

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

30 • 29 = 870

Ответ: 870 способов.

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

12 • 10 • 2 = 240

Ответ: 240 способов.

33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?

1 буква – 33 способа
2 буква – 32 способа
3 буква – 32 способа
4 буква – 32 способа

33 • 32 • 32 • 32 = 1.081.344

Ответ: 1.081.344 комбинаций.

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

Муниципальный координатор по работе с детьми с повышенной учебной мотивацией в области математики.

МБОУ «Лицей №6 имени М.А. Булатова»

Решение задач по комбинаторике.

Учитель

МБОУ «СОШ№10 им. Е.И. Зеленко» г. Курска

Коротковская О.С.

Курск – 2020

Вступление.

Так что же такое комбинаторика? И какими задачами она занимается? Комбинаторика и слово комбинация очень похожи и имеют прямое отношение друг к другу. В комбинаторике изучают различные комбинации элементов множества и отношения на этих множествах. Впервые термин "комбинаторика" ввел Лейбниц, который в 1666 году опубликовал большой труд "Рассуждения о комбинаторном искусстве".

Комбинаторика – раздел математики, который занимается решением комбинаторных задач.

Комбинаторные задачи – это задачи, в которых необходимо составить комбинации каких-либо элементов из заданного набора по определённым условиям и (или) подсчитать количество получившихся комбинаций.

В комбинаторике существует несколько способов решения комбинаторных задач. Сейчас мы их подробно рассмотрим.

Способ 1. Перебор всех возможных вариантов.

Рассмотрим сущность способа 1 на конкретном примере.

Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Решение. 1. Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

2. Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

3. Составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

4. Делаем вывод, что других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.

5. Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Примечание. В данном примере нам не важен порядок выбора пары: Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов,

Рассмотрим пример задачи, где порядок выбора пары важен.

Пример 2. Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

Решение. 1. Если на матч пойдут Антон и Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место – Антон, 2-е – Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор.

2. Таким образом, мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Рассмотрим пример на применение этого же способа на примере задачи с цифрами.

Пример 3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в числе могут повторяться?

Решение. Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выписать все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3. Таких комбинаций получим 27. При переборе легко было упустить какую-нибудь из них.

Способ 2. Подсчет вариантов с помощью графов.

Эффективным приемом, организующим подсчет, является построение графов. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа).

Пример 4. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение. 1. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77.

2. Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Рассмотрим два вида графов:

Граф-дерево (называют за внешнее сходство с деревом).

С помощью дерева проиллюстрируем проведенный перебор вариантов в примере 1.

Графы, позволяют в наглядной форме представить идею комбинирования и процесс подсчета комбинаторных объектов. Для подведения учащихся к следующим комбинаторным методам целесообразно рассмотреть задачу, в которой количество всевозможных комбинаций из данных элементов велико и процесс их подсчета затруднителен.

На первом месте в двузначном числе может стоять одна из цифр 1, 4 или 7; на втором – (при условии, что цифры могут повторяться) также любая из трех цифр. Таким образом из рисунка видно, что из трех цифр 1, 4, 7 можно составить 9 различных чисел.

Таким образом, с помощью графа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчивать дерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.

Полный граф. Используется для решения задач, в которых все элементы множества взаимосвязаны.

Пример 5. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было четверо?

Четырех друзей поместим в вершины графа и проведем все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребра обозначают рукопожатия каждой пары друзей.

Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и рукопожатий было сделано 6.

Способ 3. Перебор с помощью таблицы вариантов .

Ее можно использовать, когда составляемые комбинации состоят из двух элементов. Рассмотрим сущность способа на конкретной задаче.

Пример 6. Записать всевозможные двузначные числа, используя при этом цифры 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество N .

Решение. Для подсчета образующих чисел составим таблицу 1:

Таблица 1 Таблица 2

Решением задачи будет таблица 2. всего вариантов чисел будет N =3·4=12

Способ 4. Использование правил суммы и произведения

Сущность способа рассмотрим на примере задачи 7.

Задача про «Суеверного председателя».

«Опять восьмерка!» - горестно воскликнул председатель клуба велосипедистов, взглянув на прогнутое колесо своего велосипеда. «А все почему? Да потому, что у меня членский билет № 888 – целых три восьмерки. И теперь не проходит и месяца, чтобы то на одном, то на другом колесе не появилась восьмерка. Надо менять номер билета! А чтобы меня не обвинили в суеверии, проведу ка я перерегистрацию всех членов клуба и буду выдавать только билеты с номерами, в которые не входит ни одна восьмерка. Не знаю только, хватит ли на всех номеров – ведь у нас в клубе почти 600 членов. Неужели придется сначала выписать все номера от 000 до 999, а затем вычеркивать из них все номера с восьмерками?»

Чтобы помочь председателю, нам нужно решить такую комбинаторную задачу (учащимся можно предложить ее сформулировать):

Задача 7. Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?

Решение. 1) Сначала найдем количество однозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. 2) Найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится 9 двузначных, т. е. всего получится 9·9 = 9 2 двузначных номеров.

3) Итак, существует 9 2 = 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписать справа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, не содержащий цифру 8. 4) При этом получаются все трехзначные номера с требуемым свойством. В результате мы нашли 9 2 ·9 = 9 3 = 729 трехзначных номеров без восьмерок.

Примечание. Если бы председатель клуба был еще суевернее и отказался и от цифры 0, поскольку она походит на вытянутое колесо, то он смог бы составить лишь 8 3 = 512 трехзначных номеров и их уже не хватило бы на всех членов клуба.

Пример 8. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение: 1) По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. 2) Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5+4=9 способами.

Пример 9. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение: 1) В данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую.

2)Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 27 способами, так как 3∙3∙3=27.

Правило умножения приводит к важному понятию факториала. Давайте на примере разберем это понятие.
Пример 10. Сколько существует комбинаций из шести букв: А, Б, В, Г, Д, Е. Буквы не повторяются.
Решение: На первое место мы можем поставить шесть букв, на второе место - уже пять, так как буквы не повторяются, на третье - соответственно четыре, на четвертое - три, на пятое - две, и на шестое - букву.
Используем правило умножения: 6*5*4*3*2*1=720.
Ответ: 720 способов расстановки букв без повторения.

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! (n факториал): n!=1 ∗ 2 ∗ … ∗ (n−1) ∗ n, n факториал – состоящий из n множителей.

Заметим важное свойство факториала: n!=(n−1)! ∗ n. Данное свойство значительно упрощает решение задач, где присутствует факториал. Например, для вычисления задач вот такого типа: . Совсем необязательно вычислять все факториалы. Можно все переписать вот в таком виде: . Сократив нашу дробь, получим гораздо более простое выражение: 4 ∗ 9 ∗ 10=360.

Способ 5. Решение комбинаторных задач с использованием формул

Кроме основных правил, способов перебора и графов пользуются основными понятиями комбинаторики, которые сопровождаются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, встречающиеся наиболее часто. При решении задач на комбинаторные соединения помогает таблица «Общая модель комбинаторной задачи и ее модификации», которая представлена ниже.

Комбинаторика – раздел математики, занимающийся изучением количества возможных комбинаций определенного типа, которые возможно сделать из некоторого набора элементов. Эти вычисления необходимы для решения различных задач в теории вероятностей и получения распределений случайных величин.

Правила в комбинаторике

Правило суммы: если есть взаимоисключающие друг друга действия A и B, которые можно выполнить способами m и n соответственно, то выполнить любое из этих действий можно m + n способами.

Правило произведения: если есть последовательность действий k, и первое действие его можно выполнить n₁ способом, второе n₂ и далее до n_k, то все действия этой последовательности можно выполнить n₁ · n₂ · n_k способами.

Элементы комбинаторики

Размещения из n по k – упорядоченное множество, состоящее из k элементов, которые выбраны из n элементов. Для расчета способов размещения следует воспользоваться формулой: P k _n = n! / (n - k)!

Перестановки – конечное множество, в котором указан порядок его элементов. Количество перестановок вычисляется по формуле: P_n = n!

Сочетания из n по k – неупорядоченное множество, состоящее из k элементов, которые выбраны из n элементов. Число сочетаний из n элементов по k рассчитывается так: n! / (n - k)! · k!

Калькулятор разложения бинома Ньютона с использованием треугольника Паскаля.

Калькулятор числа перестановок позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества элементов.

Калькулятор числа размещений вычисляет число возможных размещений из заданного количества объектов n по k.

Калькулятор числа сочетаний позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества объектов n по k.

В пов­седнев­ной жиз­ни не­ред­ко встре­ча­ют­ся за­дачи, ко­торые име­ют нес­колько раз­личных ва­ри­ан­тов ре­шения. Что­бы сде­лать пра­вильный вы­бор, важ­но не про­пус­тить ни один из них. Для это­го на­до уметь осу­щест­влять пе­ребор всех воз­можных ва­ри­ан­тов или под­счи­тывать их чис­ло.

Запишите тему: Элементы комбинаторики

Запишите определение: Задачи, в которых требуется осуществить перебор всех возможных вариантов решения или подсчитать их число называются комбинаторными.

Об­ласть ма­тема­тики, в ко­торой изу­ча­ют ком­би­натор­ные за­дачи, на­зыва­ет­ся ком­би­нато­рикой.

Ком­би­нато­рика воз­никла в XVI в., и пер­во­начально в ней рас­смат­ри­вались ком­би­натор­ные за­дачи, свя­зан­ные в ос­новном с азар­тны­ми иг­ра­ми.

В про­цес­се изу­чения та­ких за­дач бы­ли вы­рабо­таны не­кото­рые об­щие под­хо­ды к их ре­шению, по­луче­ны фор­му­лы для под­сче­та чис­ла раз­личных ком­би­наций.

Запишите правило суммы:

Ес­ли объект a мож­но выб­рать m спо­соба­ми, а объект b − k спо­соба­ми (не та­кими, как a), то вы­бор «ли­бо a, ли­бо b» мож­но осу­щес­твить m + k спо­соба­ми.

Прочитайте пример задачи с решением, кратко запишите этот пример в тетрадь (рассуждения записывать не надо).

За­дача 1. На та­рел­ке ле­жат 5 яб­лок и 4 апельси­на. Скольки­ми спо­соба­ми мож­но выб­рать один плод?

Ре­шение. По ус­ло­вию за­дачи яб­ло­ко мож­но выб­рать пятью спо­соба­ми, апельсин — че­тырьмя. Так как в за­даче речь идет о вы­боре «ли­бо яб­ло­ко, ли­бо апельсин», то его, сог­ласно пра­вилу сло­жения, мож­но осу­щес­твить 5 + 4 = 9 спо­соба­ми.

Запишите пра­вило ум­но­жения:

Ес­ли объект a мож­но выб­рать m спо­соба­ми, а объект b − k спо­соба­ми, то па­ру (a, b) мож­но выб­рать mk спо­соба­ми.

Прочитайте примеры задач с решением, кратко запишите 2,4,5,6 задачи в тетрадь (рассуждения записывать не надо, только краткое условие и решение).

За­дача 2. На та­рел­ке ле­жат 5 яб­лок и 4 апельси­на. Скольки­ми спо­соба­ми мож­но выб­рать па­ру пло­дов, сос­то­ящую из яб­ло­ка и апельси­на?

Ре­шение. По ус­ло­вию за­дачи, яб­ло­ко мож­но выб­рать пятью спо­соба­ми, апельсин — че­тырьмя. Так как в за­даче речь идет о вы­боре па­ры (яб­ло­ко, апельсин), то ее, сог­ласно пра­вилу ум­но­жения, мож­но выб­рать 5 ⋅ 4 = 20 спо­соба­ми.

За­дача 3. Сколько все­го двуз­начных чи­сел мож­но сос­та­вить из цифр 7, 4 и 5 при ус­ло­вии, что они в за­писи чис­ла не пов­то­ря­ют­ся?

Ре­шение. Что­бы за­писать двуз­начное чис­ло, на­до выб­рать циф­ру де­сят­ков и циф­ру еди­ниц. Сог­ласно ус­ло­вию, на мес­те де­сят­ков в за­писи чис­ла мо­жет быть лю­бая из цифр 7, 4 и 5. Дру­гим сло­вами, выб­рать циф­ру де­сят­ков мож­но тре­мя спо­соба­ми. Пос­ле то­го как циф­ра де­сят­ков оп­ре­деле­на, для вы­бора циф­ры еди­ниц ос­та­ет­ся две воз­можнос­ти, пос­кольку циф­ры в за­писи чис­ла не дол­жны пов­то­ряться. Так как лю­бое двуз­начное чис­ло — это упо­рядо­чен­ная па­ра, сос­то­ящая из циф­ры де­сят­ков и циф­ры еди­ниц, то ее вы­бор, сог­ласно пра­вилу ум­но­жения, мож­но осу­щес­твить шестью спо­соба­ми (3 ⋅ 2 = 6).

Пра­вила сло­жения и ум­но­жения, сфор­му­лиро­ван­ные для двух объек­тов, мож­но обоб­щить и на слу­чай t объек­тов.

За­дача 4. Сколько трех­знач­ных чи­сел мож­но сос­та­вить, ис­пользуя циф­ры 7, 4 и 5?

Ре­шение. В дан­ной за­даче рас­смат­ри­ва­ют­ся трех­знач­ные чис­ла. Так как циф­ры в за­писи этих чи­сел мо­гут пов­то­ряться, то циф­ру со­тен, циф­ру де­сят­ков и циф­ру еди­ниц мож­но выб­рать тре­мя спо­соба­ми каж­дую. Пос­кольку за­пись трех­знач­но­го чис­ла пред­став­ля­ет со­бой упо­рядо­чен­ный на­бор из трех эле­мен­тов, то, сог­ласно пра­вилу про­из­ве­дения, его вы­бор мож­но осу­щес­твить 27 спо­соба­ми, так как 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27.

За­дача 5. Сколько все­го че­тырех­знач­ных чи­сел мож­но сос­та­вить из цифр 0 и 3?

Ре­шение. За­пись че­тырех­знач­но­го чис­ла пред­став­ля­ет со­бой упо­рядо­чен­ный на­бор (кор­теж) из че­тырех цифр. Пер­вую циф­ру — циф­ру ты­сяч — мож­но выб­рать только од­ним спо­собом, так как за­пись чис­ла не мо­жет на­чинаться с ну­ля. Циф­рой со­тен мо­жет быть ли­бо ноль, ли­бо три, т. е. име­ет­ся два спо­соба вы­бора. Столько же спо­собов вы­бора име­ет­ся для циф­ры де­сят­ков и циф­ры еди­ниц.

Итак, циф­ру ты­сяч мож­но выб­рать од­ним спо­собом, циф­ру со­тен — дву­мя, циф­ру де­сят­ков — дву­мя, циф­ру еди­ниц — дву­мя. Что­бы уз­нать, сколько все­го че­тырех­знач­ных чи­сел мож­но сос­та­вить из цифр 0 и 3, сог­ласно пра­вилу ум­но­жения, спо­собы вы­бора каж­дой циф­ры на­до пе­рем­но­жить: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.

Та­ким об­ра­зом, име­ем 8 че­тырех­знач­ных чи­сел.

За­дача 6. Сколько трех­знач­ных чи­сел мож­но за­писать с по­мощью цифр 0, 1, 3, 6, 7 и 9, ес­ли каж­дая из них мо­жет быть ис­пользо­вана в за­писи только один раз?

Ре­шение. Так как за­пись чис­ла не мо­жет на­чинаться с ну­ля, то циф­ру со­тен мож­но выб­рать пятью спо­соба­ми; вы­бор циф­ры де­сят­ков мож­но осу­щес­твить так­же пятью спо­соба­ми, пос­кольку циф­ры в за­писи чис­ла не дол­жны пов­то­ряться, а од­на из шес­ти дан­ных цифр бу­дет уже ис­пользо­вана для за­писи со­тен; пос­ле вы­бора двух цифр (для за­писи со­тен и де­сят­ков) выб­рать циф­ру еди­ниц из дан­ных шес­ти мож­но че­тырьмя спо­соба­ми. От­сю­да, по пра­вилу ум­но­жения, по­луча­ем, что трех­знач­ных чи­сел (из дан­ных шес­ти цифр) мож­но об­ра­зовать 5 ⋅ 5 ⋅ 4 = 100 спо­соба­ми.

Практическая часть

Используя правило произведения, решите самостоятельно следующие задачи:

Школьни­ки из Вол­гогра­да соб­ра­лись на ка­нику­лы по­ехать в Мос­кву, по­сетив по до­роге Ниж­ний Нов­го­род. Из Вол­гогра­да в Ниж­ний Нов­го­род мож­но от­пра­виться на теп­ло­ходе или по­ез­де, а из Ниж­не­го Нов­го­рода в Мос­кву — на са­моле­те, теп­ло­ходе или ав­то­бусе. Скольки­ми раз­личны­ми спо­соба­ми ре­бята мо­гут осу­щес­твить свое пу­тешес­твие? На­зови­те все воз­можные ва­ри­ан­ты это­го пу­тешес­твия.

Сколько раз­личных двуз­начных чи­сел мож­но за­писать с по­мощью цифр 3, 4, 5 и 6? Сколько раз­личных двуз­начных чи­сел мож­но за­писать, ис­пользуя при за­писи чис­ла каж­дую из ука­зан­ных цифр только один раз? Чтобы ответить на первый вопрос задачи используйте задачу 4. Чтобы ответить на второй вопрос задачи используйте задачу 6, но учтите, что у вас нет нуля.

Де­вять школьни­ков, сда­вая эк­за­мены по ма­тема­тике, рус­ско­му и ан­глийско­му язы­ку, по­лучи­ли от­метки «4» и «5». Мож­но ли ут­вер­ждать, что по крайней ме­ре двое из них по­лучи­ли по каж­до­му пред­ме­ту оди­нако­вые от­метки? Сколько все­воз­можных трех­знач­ных чи­сел мож­но сос­та­вить из цифр 1, 2, 3 и 4 так, что­бы циф­ры в за­писи чис­ла не пов­то­рялись? Из­ме­нит­ся ли ре­шение этой за­дачи, ес­ли вмес­то циф­ры 4 бу­дет да­на циф­ра 0?

Сколько все­воз­можных че­тырех­знач­ных чи­сел мож­но сос­та­вить, ис­пользуя для за­писи циф­ры 1, 2, 3 и 4? Ка­кова раз­ность меж­ду са­мым большим и са­мым ма­лым из них?

Из цифр 0,1,2,3,4 составляют всевозможные пятизначные числа, причем так, что в записи каждого числа содержатся все данные цифры. Сколько можно составить таких чисел? Чему будет равна разность между наибольшим и наименьшим из полученных чисел?

Проверьте себя:

В НН М

Из Волгограда в Нижний Новгород выбор из 2 видов транспорта (теплоход т и поезд п), а из Нижнего Новгорода в Москву – из 3 (самолет с, теплоход т, автобус а). Получаем 2•3=6. Ответ 6 вариантов. 6 это мало, можно все перебрать:

Двузначное число обозначим двумя точками: • •

Выпишем данные цифры: 3,4,5,6.

Ответим на первый вопрос. На первое место числа можно поставить любую из 4 цифр и на второе место любую из 4 цифр:

4•4=16. Получится 16 чисел.

Ответим на второй вопрос: если нельзя повторять цифры, то когда мы одну возьмем, останется только 3:

4•3=12. Получится 12 чисел. Можно убедиться в этом, выписав их все, используя метод перебора от меньшего к большему, чтобы ничего не пропустить:

3. Рассуждайте так: пришел школьник на экзамен по математике, сколько у него возможностей получить отметку (4 или 5, то есть 2 возможности)? Потом на экзамен по русскому, сколько вариантов получить отметку? И на английский… Итак 2•2•2=8. Всего 8 вариантов распределения отметок. Можно выписать их все, чтобы убедиться: 444;445;454;455;544;545;554;555. 8 вариантов распределения оценок. А учеников 9, значит, хотя бы у двоих оценки совпадут.

4. • • • • 1,2,3,4 -4 цифры

• • • • • 0,1,2,3,4 – 5 цифр, но есть 0!

На первое место в записи числа нельзя ставить 0! Поэтому чтобы поставить цифру на 1 место у нас выбор только из 4 цифр, когда одну возьмем, останется тоже 4, потому что теперь уже можно брать 0, возьмем цифру, поставим на 2 место, останется только 3 цифры, потом 2, потом 1. Потому что в этой задаче в условии сказано, что нельзя повторять цифры в записи числа = «в записи каждого числа содержатся все данные цифры»

5 – сделали четкий структурированный конспект, все поняли, самостоятельно верно решили 4-5 задач.

4 – сделали четкий структурированный конспект, все поняли, самостоятельно верно решили 2-3 задачи.

3 – сделали четкий структурированный конспект, все поняли только после знакомства с верными решениями.

2 – ничего не делали, ничего не поняли.

Физкультминутка:

Размещения и сочетания

Теоретическая часть

Раз­ме­щение с пов­то­рени­ями из k эле­мен­тов по m эле­мен­тов — это кор­теж дли­ны m, сос­тавлен­ный из m эле­мен­тов k-эле­мен­тно­го мно­жес­тва.

Вспомните, где вы встречали слово кортеж: свадебный кортеж, президентский кортеж – элементы следуют друг за другом в строгом порядке. Порядок важен!

Запишите примеры задач:

Сколько раз­личных двуз­начных чи­сел мож­но за­писать с по­мощью цифр 3, 4, 5 и 6?

Эту задачу мы с вами уже решили по правилу произведения. Теперь решим по формуле. Порядок важен для нас, повторяться можно, поэтому это размещение с повторениями. Выбираем из 4 – внизу будет 4, выбираем 2 цифры – наверху будет 2.

Имеется лак двух цветов: красный и черный. Сколько существует вариантов распределения цветов на 10 ногтях?

Нам важно, ноготь, на каком пальце будет красный, а на каком - черный, поэтому порядок важен для нас. Мы можем все выкрасить в 1 цвет или один или 2 любых ногтя покрасить в красный, а остальные в чёрный или 3 или наоборот. Мы можем решить эту задачу по правилу произведения, выбирая для каждого из 10 ногтей из 2 цветов: 2•2•2•2•2•2•2•2•2•2=1024.

А можем выбрать формулу Внизу 2 – выбираем из 2, наверху – 10 – выбираем из 10:

Запишите определение, формулу и пример задачи:

Обратите внимание, что количество множителей m, поэтому можно не считать, сколько будет в 3 скобке, просто каждый следующий множитель на 1 меньше предыдущего, а их количество равно m. В задаче 3 множителя.

Запишите: За­дача 2. Сколько все­воз­можных трех­знач­ных чи­сел мож­но за­писать, ис­пользуя циф­ры 7, 4 и 5, так, что­бы циф­ры в за­писи чис­ла не пов­то­рялись?

За­метим, что в дан­ном слу­чае раз­ные чис­ла по­луча­ют­ся в ре­зульта­те пе­рес­та­нов­ки цифр. По­это­му раз­ме­щения из k эле­мен­тов по k эле­мен­тов на­зыва­ют пе­рес­та­нов­ка­ми из k эле­мен­тов без пов­то­рений.

Чис­ло пе­рес­та­новок без пов­то­рений из k эле­мен­тов обоз­на­ча­ют Pk и под­счи­тыва­ют по фор­му­ле

Pk = k!, где k! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ k

и k! чи­та­ют «k фак­то­ри­ал». Счи­та­ют, что 1! = 1, 0! = 1. Нап­ри­мер, 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120; 7! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 5040.

Запишите определение, формулу и пример задачи:

Со­чета­ние без пов­то­рения из k эле­мен­тов по m эле­мен­тов — это m-эле­мен­тное под­мно­жес­тво мно­жес­тва, со­дер­жа­щего k эле­мен­тов.

Задача. На пря­мой взя­ли де­сять то­чек. Сколько все­го по­лучи­лось от­резков, кон­ца­ми ко­торых яв­ля­ют­ся эти точ­ки?

В этой за­даче порядок ро­ли не иг­ра­ет (от­ре­зок AВ и от­ре­зок ВA — это один и тот же от­ре­зок). Порядок не важен. Ком­би­нации в этой за­даче яв­ля­ют­ся дву­хэле­мен­тны­ми под­мно­жес­тва­ми, об­ра­зован­ны­ми из 10 дан­ных эле­мен­тов (то­чек). Та­кие под­мно­жес­тва в ком­би­нато­рике на­зыва­ют­ся со­чета­ни­ями без пов­то­рений из 10 эле­мен­тов по 2. Их чис­ло мож­но найти по фор­му­ле: .

Ко­неч­но, при­мене­ние фор­мул об­легча­ет под­счет чис­ла воз­можных ва­ри­ан­тов ре­шений той или иной ком­би­натор­ной за­дачи. Од­на­ко что­бы вос­пользо­ваться фор­му­лой, не­об­хо­димо оп­ре­делить вид со­еди­нений (ком­би­наций), о ко­торых идет речь в за­даче, что бы­ва­ет сде­лать не очень прос­то. Для этого воспользуемся алгоритмом (запишите алгоритм в тетрадь):

Порядок важен?

Да – это размещение. Нет – это сочетание.

Если это размещение. Второй вопрос: элементы могут повторяться? Да – размещение с повторениями. Нет – размещение без повторений.

Если элементы просто переставляются местами, то это перестановка.

Практическая часть

Решения задач записывайте на чистой странице тетради, четко, яркими чернилами для последующего фотографирования!

В сле­ду­ющих за­дачах рас­смат­ри­ва­ют­ся раз­ме­щения из k эле­мен­тов по m; решите, используя формулы размещений и перестановки:

Из 20 уча­щих­ся клас­са на­до выб­рать ста­рос­ту, его за­мес­ти­теля и ре­дак­то­ра га­зеты. Скольки­ми спо­соба­ми это мож­но сде­лать?

В клас­се изу­ча­ют­ся 7 пред­ме­тов. В сре­ду 4 уро­ка, при­чем все раз­ные. Скольки­ми спо­соба­ми мож­но сос­та­вить рас­пи­сание на сре­ду?

В со­рев­но­вании учас­тву­ют 10 че­ловек. Скольки­ми спо­соба­ми мо­гут рас­пре­делиться меж­ду ни­ми мес­та?

Сколько все­воз­можных трех­знач­ных чи­сел мож­но за­писать, ис­пользуя циф­ры 3, 4, 5 и 6?

В сле­ду­ющих за­дачах рас­смат­ри­ва­ют­ся со­чета­ния из k эле­мен­тов по m, решите, используя формулу для сочетаний:

Скольки­ми спо­соба­ми мож­но выб­рать из 6 че­ловек ко­мис­сию, сос­то­ящую из трех че­ловек?

Скольки­ми спо­соба­ми мож­но выб­рать 4 крас­ки из 10 раз­личных кра­сок?

Ре­шите сле­ду­ющие за­дачи, ис­пользуя фор­му­лы. Выбирайте формулу по алгоритму:

Сколько сло­варей не­об­хо­димо пе­ревод­чи­ку, что­бы он мог пе­рево­дить текст с лю­бого из че­тырех язы­ков — рус­ско­го, ан­глийско­го, не­мец­ко­го и фран­цуз­ско­го — на лю­бой дру­гой из этих язы­ков?

Го­сударст­вен­ные фла­ги не­кото­рых стран сос­то­ят из трех го­ризон­тальных по­лос раз­но­го цве­та. Сколько раз­личных ва­ри­ан­тов фла­гов с бе­лой, си­ней и крас­ной по­лоса­ми мож­но сос­та­вить?

Мальчик выб­рал в биб­ли­оте­ке 5 книг. По пра­вилам биб­ли­оте­ки од­новре­мен­но мож­но взять только 2 кни­ги. Сколько у мальчи­ка ва­ри­ан­тов вы­бора двух книг из пя­ти?

Аня, Бо­ря, Ве­ра и Ге­на — луч­шие лыж­ни­ки шко­лы. На со­рев­но­вания на­до выб­рать тро­их из них. Скольки­ми спо­соба­ми мож­но это сде­лать?

При из­го­тов­ле­нии ав­то­руч­ки кор­пус и кол­па­чок мо­гут иметь оди­нако­вый или раз­ный цвет. На фаб­ри­ке име­ет­ся плас­тмас­са че­тырех цве­тов: бе­лого, крас­но­го, си­него и зе­лено­го. Ка­кие от­ли­ча­ющи­еся по цве­ту руч­ки мож­но из­го­товить?

На пря­мой взя­ли 4 точ­ки. Сколько все­го по­лучи­лось от­резков, кон­ца­ми ко­торых яв­ля­ют­ся эти точ­ки?

В со­рев­но­вани­ях учас­тву­ют 5 фут­больных ко­манд. Каж­дая ко­ман­да иг­ра­ет один раз с каж­дой из ос­тальных ко­манд. Сколько мат­чей бу­дет сыг­ра­но.

Самооценка по теме «правила суммы и произведения» - …

Сфотографируйте свои решения: условие-формула-вычисления (только решения задач); самооценку в 14 и загрузите этот файл под вашей фамилией в вашу папку 321 16.05 по ссылке:

Проверьте себя:

-75%

Читайте также:

  
• Статистика разгона памяти ddr4
  
• Во сколько раз увеличится информационная емкость файла содержащего растровое изображение если
  
• Как распечатать а3 на а4 в экселе
  
• Как установить чи гап на компьютер
  
• Ошибка дисплея покупателя нет связи что делать