Чему равняется sin a b

Обновлено: 24.01.2025

Теорему Пифагора и тригонометрические функции острого угла можно использовать для вычисления элементов только в прямоугольном треугольнике.

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).

неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;

неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения sin 180 ° − α = sin α .

sin120 ° = sin 180 ° − 60 ° = sin60 ° = 3 2 ; sin150 ° = sin 180 ° − 30 ° = sin30 ° = 1 2 ; sin135 ° = sin 180 ° − 45 ° = sin45 ° = 2 2 .

a sinA = b sinB = c sinC = 2 R , где \(R\) — радиус описанной окружности.

Выразив радиус, получаем R = a 2 sinA , или R = b 2 sinB , или R = c 2 sinC .

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно \(2\) данных величин (две стороны или сторона и угол).

Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы \(3\) данных величины.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:

неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;

вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения cos 180 ° − α = − cos α .

cos120 ° = cos 180 ° − 60 ° = − cos60 ° = − 1 2 ; cos150 ° = cos 180 ° − 30 ° = − cos30 ° = − 3 2 ; cos135 ° = cos 180 ° − 45 ° = − cos45 ° = − 2 2 .

Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.

sin(a+b), cos(a+b), sin(a-b), cos(a-b). Формулы сложения в аргументе синуса и косинуса

Пример. Докажите тождество \(\sin⁡2x=2 \sin⁡x \cos⁡x\).
Решение. \(\sin⁡2x=\sin⁡(x+x)=\)\(\sin⁡x \cos⁡x+\cos⁡x \sin⁡x=2 \sin⁡x \cos⁡x\).

Пример. Докажите тождество \(\cos⁡2x=\cos^2⁡x-\sin^2⁡x\).
Решение. \(\cos⁡2x=\cos⁡(x+x)=\)\(\cos⁡x \cos⁡x-\sin⁡x \sin⁡x=\cos^2⁡x-\sin^2⁡x\).

• И даже формулы приведения:

Пример. Докажите тождества:
а) \(\sin⁡(π-x)=\sin⁡x\);
б) \(\cos(π+x)=-\cos⁡x\);
в) \(\cos⁡(\frac-x)=-\sin⁡x\).
Решение.
а) \(\sin⁡(π-x)=\sin⁡π \cos⁡x-\cos⁡π \sin⁡x\)\(=0\cdot\cos⁡x+1\cdot\sin⁡x=\sin⁡x\);
б) \(\cos(π+x)=\cos⁡π \cos⁡x-\sin⁡π \sin⁡x\)\(=-1\cdot\cos⁡x-0\cdot\sin⁡x=-\cos⁡x\);
в) \(\sin⁡(\frac+x)\)\(=\sin⁡\frac\cos⁡x+\cos⁡\frac\sin⁡x\)\(=1\cdot\cos⁡x+0\cdot\sin⁡x=\cos⁡x\).

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Синус острого угла α (sin α) – это отношение противолежащего катета (a) к гипотенузе (c) в прямоугольном треугольнике.

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Как запомнить формулы сложения

Как видите, формулы сложения достаточно полезны и их стоило бы хорошенько выучить. Однако с этим часто возникают трудности, т.к. они похожи и сложно запомнить их точно.

Тут мы дадим вам несколько подсказок и придуманное нами мнемоническое правило, благодаря которому вы через пять минут напишите все формулы верно, ничего не заучивая. Не верите? Давайте проверим!

Для начала подсказки:
- во-первых, заметьте, что структура всех формул одинакова: слева синус/косинус суммы или разности, а справа - произведение двух функций плюс/минус произведение двух функций:

[ исходная функция ]\(=\)[ функция1 ]·[ функция2 ] \(±\) [ функция3 ]·[ функция4 ]

- во-вторых, обратите внимание, что в каждой формуле все функции справа – разные. У нас есть две функции (\(sin\)⁡ и \(cos\)⁡) и два аргумента (\(x\) и \(y\), и из всего этого богатства получается четыре варианта:

Вот их мы и будем расставлять в окошки справа.
Тут же заметим, что у функций, стоящих в паре, всегда разные аргументы: \(x\) и \(y\).

- в-третьих, отметьте, что начало правой части формулы всегда такое же как начало левой части:

То есть, уже на данном этапе вы можете часть формулы сходу написать: нужен вам, например, косинус суммы – вы сразу пишете

\(\cos⁡(x+y)\)\(=\)\(\cos⁡x\)·[ функция2 ] \(±\) [ функция3 ]·[ функция4 ]

И осталось только определить, что будет стоять вместо знака вопроса (плюс или минус) да расставить в окошки оставшиеся три функции: \(\sin⁡x\), \(\sin⁡y\) и \(\cos⁡y\). Вот тут-то нам и приходит на помощь мнемоническое правило.

Звучит оно следующим образом: «косинусы закомплексованы и всё у них наперекосяк». Фраза дурацкая, странная и созвучная: «косинус-комплекс-косяк», поэтому сама по себе запоминается легко, а означает она следующее:

- косинусы закомплексованы: поэтому, когда мы пишем формулу для сумму или разности косинусов, справа косинусы «общаются» (в смысле, стоят рядом) только с косинусами. Соответственно, синусам остается «общаться» только с синусам. Таким образом, в получаемой нами формуле имеем:

- всё у них наперекосяк: то есть, у формул косинуса знак слева и справа – разный. В нашем случае слева плюс, значит справа ставим минус:

Давайте для отработки получим формулу разности в синусе (со всеми рассуждениями):

- нам нужен \(\sin⁡(x-y)\), значит первая функция справа - \(\sin⁡x\):

\(\sin⁡(x-y)=\sin x\)·[ функция2 ] \(±\) [ функция3 ]·[ функция4 ]

- закомплексованы у нас косинусы, но мы-то пишем формулу для синуса, а они вполне себе «общительные» – значит рядом с синусом будет стоят косинус, причем с другим аргументом (игреком):

- наперекосяк всё в жизни у косинусов, а у синусов всё стабильно, так что знак сохраняется:

Теперь попробуйте сами – еще раз просмотрите основные моменты статьи, а потом возьмите чистый лист и, никуда не подглядывая, напишите все формулы.
Ну как, получилось?

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

График синуса

Функция синуса пишется как y = sin (x) . График называется синусоидой и в общем виде выглядит следующим образом:

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Читайте также: