Чем отличается sin от cos
В предыдущей статье я предложил Вам задачу, которую не решить с помощью теоремы Пифагора, хотя в ней идёт речь о прямоугольном треугольнике. Для её решения необходимы знания тригонометрии. Возможно, некоторые из Вас не помнят, что означает это слово. Вот определение. Тригонометрия – раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их применение. А что такое тригонометрические функции? Тригонометрические функции – это функции, выражающие зависимость сторон прямоугольного треугольника от его острых углов. Всего их шесть: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Для решения геометрических задач вполне хватает первых трёх, так как остальные три являются производными от первых.
Теперь дадим определения основным трём тригонометрическим функциям. В прямоугольном треугольнике синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинусом – отношение прилежащего катета к гипотенузе; тангенсом – отношение противолежащего катета к прилежащему.
Что такое синус и косинус?
Изначально не было никакой окружности. Изучая треугольники, древние ученые выражали углы через соотношение сторон. То-есть синусы и косинусы появились раньше градусной меры углов.
Например, таким соотношением мог выражаться угол A (угол C прямой). Например, таким соотношением мог выражаться угол A (угол C прямой).Поскольку угол может быть найден через разные соотношения сторон, решили дать им названия: синус и косинус.
Синус - это отношение стороны треугольника, лежащей напротив данного угла, к гипотенузе (большей стороне).
Косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.
Думаю не ошибусь, если скажу, что теорема Пифагора - самая полезная теорема в геометрии. Давайте применим её для данного треугольника:
Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы
|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A.
α - угол, выраженный в радианах.
Синус ( sin α ) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус ( cos α ) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Графики функций синус, y = sin x , и косинус, y = cos x
Графики синуса и косинуса смещены по оси x друг относительно друга на :
.
Тригонометрия для чайников
У многих учеников возникают проблемы с этой темой, в основном, из-за непонимания общего смысла тригонометрии. В этой статье я постараюсь помочь вам разобраться зачем нужна тригонометрия и расскажу про лайфхак, чтобы не учить значения синуса и косинуса.
К моменту начала изучения тригонометрии Вы, скорее всего, уже знаете: определение прямоугольного треугольника и окружности — этого вполне достаточно для понимания темы.
*прошу заметить, что некоторые формулировки могут не соответствовать действительности - это сделано для того, чтобы вы лучше запомнили основы. Точные понятия и определения расскажет ваш учитель математики.
Принятые обозначения
Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы
С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.
На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.
Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса
Косинус угла - это абсцисса точки. Синус угла - это ордината точки.
На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.
Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице ( n - целое).
Читайте также: