Алена забыла последнюю цифру телефона знакомой девочки
1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?
Решение: На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; n =10; все предыдущие цифры никакого значения не имеют. Из n =10 только одна цифра верная, поэтому m =1. вероятность события А, состоящего в том, что, набрав последнюю цифру номера наугад, Таня попала к своей знакомой, равна = .
2. Витя забыл две последние цифры номера телефона приятеля и набрал их наугад. С какой вероятностью этот звонок попадёт к приятелю?
Решение: Исходом в данном случае является пара десятичных цифр (0..9) с учётом порядка и с повторениями; общее число возможных исходов n =1010=100; все исходы считаем равновозможными. Среди этих исходов только один является правильным, соответствующим номеру телефона приятеля. Таким образом, событию А – «звонок попадёт к приятелю» благоприятствует только один исход m A =1; вероятность = .
3. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
Решение: Если продажа билетов будет организована так, что покупка любого из 1500 билетов будет равновозможна, то можно применить формулу классической вероятности. Пусть событие А – «купленный билет оказался выигрышным». Тогда количество благоприятствующих исходов m =120, а общее число равновозможных исходов n =1500; вероятность
4. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?
Решение: Общее число билетов n =25; извлечение каждого из них считается равновозможным. Рассмотрим событие А – «взятый билет имеет однозначный номер», В – «взятый билет имеет двузначный номер». Количество благоприятствующих исходов: m A =9 (одна цифра от 1 до 9); m B =16 (первая цифра 1 или 2, вторая цифра – от 0 до 9 после 1, от 0 до 5 после 2, всего 10+6=16). Искомые вероятности: ; = .
5. Ученик при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что ученику достанется на экзамене выученный билет?
Решение: Общее число билетов n =25; выбор каждого билета равновозможен. Событие А – «ученику достанется на экзамене выученный билет»; количество благоприятствующих исходов m =25-1=24. Вероятность события А: = =0,96.
6. В лотереи 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных, приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет: 1) выигрышный;
Решение: Общее число билетов n =1000; приобретение каждого из них равновозможно. Рассмотрим события и подсчитаем благоприятствующие им исходы: = , = .
Ответ: 1) 0,02; 2) 0,98.
7. Женя купил 2 лотерейных билета, и один из них оказался выигрышным. Можно ли утверждать, что вероятность выигрыша в лотереи ?
Ответ: Нет. Одного испытания не достаточно, чтобы по частоте узнать вероятность.
8. Алёша забыл последнюю цифру телефонного номера и набрал её наугад,
помня только, что эта цифра нечётная. Найти вероятность того, что номер
Решение: Исходом в данном случае являются цифры от 0 до 9, таких цифр –
10, но среди них нечётных только – 5. Отсюда следует, что M=5, N=10, значит
9. В классе 20 мальчиков и 10 девочек.
а) На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдёт мальчик?
б) Учитель истории знает, что 3 девочки и 5 мальчиков из класса были накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске – мальчика или девочку?
в) Влад не решил домашнюю задачу по математике. Какова вероятность, что учитель этого не узнает, если за урок он успевает спросить пятерых?
Решение: а) Общее число исходов равно 30. Благоприятных исходов – 20, значит = . б) Общее число исходов для девочек равно 10, для мальчиков – 20. Благоприятных исходов для девочек – 3, для мальчиков – 5, значит для девочек = , для мальчиков - . Так как > , поэтому лучше вызвать девочку. в) Общее число исходов равно 30. Благоприятных исходов – 25, значит = = .
Ответ: а) 0,067; б) лучше вызвать девочку; в) 0,833.
10. Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет оканчиваться: а) на тройку; б) на девятку? в) Вова получил пригласительный билет с номером 33, а Таня – 99. Верно ли, что у Вовы больше шансов получить главный приз?
Решение: а) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов – 13 (на тройку оканчиваются девять двузначных, три трёхзначных числа и само число -3), значит = . б) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов – 12 (на девятку оканчиваются девять двузначных, три трёхзначных числа и само число - 9), значит = . в) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов и для Тани и для Вовы – 1, значит = .
Ответ: а) 0,104; б) 0,096; в) Нет, не верно. У обоих шансы равны.
11. У Вики две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад берёт две варежки. Какова вероятность, что они окажутся парными (т.е. на разные руки)?
12. Вика потеряла одну из варежек на улице, и теперь их у неё три. Уходя на
улицу, она по-прежнему выбирает две варежки случайным образом. Какова вероятность того, что они окажутся парными?
13. В лотереи участвуют 100 билетов. Разыгрывается один приз. а) Какова вероятность того, что вы ничего не выиграете на свой единственный билет?
б) Участвуя в той же лотереи, вы купили 20 билетов. Какова вероятность, что вы опять останетесь ни с чем?
Решение: а) Общее число исходов равно 100. Благоприятных исходов – 1, значит = ; б) Общее число исходов равно 100. Благоприятных исходов – 80, значит = .
Ответ: а) 0,99; б) 0,8
14. Два друга живут в одном доме, а учатся в разных классах. Уроки в школе заканчиваются в интервале от 13 до 14 часов. После занятий они договариваются ждать друг друга на автобусной остановке в течение 20 минут. Сколько приблизительно раз за год им удаётся поехать домой вместе, если в году 200 учебных дней?
Решение: Вероятность поехать вместе будет . Следовательно, за год им удастся поехать вместе приблизительно раз.
15. Расстояние от остановки «Горсад» до остановки «Школа» автобус проходит за 2 минуты, а Алёша – за 15 минут. Интервал движения автобусов – 25 минут. В случайный момент времени Алёша выходит из горсада, опаздывая в школу. Что ему лучше делать – идти пешком или подождать автобус?
Решение: Вероятность, что Алексей обгонит автобус, составит > . Следовательно, лучше подождать автобус (хотя отклонение от столь незначительно, что можно пройтись и пешком).
Ответ: Лучше подождать автобус.
16. На школьном вечере среди присутствующих 160 учащихся случайным образом распространили 160 лотерейных билетов (каждый старшеклассник получил по одному билету). Среди этих билетов было 5 выигрышных. Какова вероятность того, что каждому старшекласснику из числа присутствующих достался: 1) выигрышный билет; 2) невыигрышный билет?
Решение: Каждому школьнику мог достаться любой из 160 билетов, т.е. n =160. 1) Благоприятствующих выигрышу билетов 5, т.е. m =5. Тогда = . 2) Невыигрышных билетов 160-5=155, поэтому «не выигрышу» благоприятствует 155 исходов; m =155. Таким образом, вероятность получения невыигрышный билет равна = .
17. Для украшения ёлки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зелёных, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым?
Комбинированные методы решения вероятностных задач
1. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер?
Решение: Исходы – перестановки из трёх элементов (1, 5, 9); общее число исходов n =Р 3 =3!=6. Событие А – «Антон набрал верный номер»; m A =1 (есть только один правильный вариант расположения цифр 1, 5 и 9 в номере телефона); = .
2. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?
Решение: Исходы – все возможные наборы по 3 тетради из 12, находящихся в пачке, без учёта порядка их расположения в наборе (сочетания); общее количество возможных исходов . Событие А – «все тетради в наборе – в клетку»; (выбор трёх из пяти тетрадей в клетку) = . Вероятность = .
3. Четыре билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?
Решение: Исходы – все возможные группы из 4 человек – обладателей билетов на ёлку, составленные из 27 желающих. Порядок выбора значения не имеет (каждый из четверых получает одинаковый билет). Общее число возможных исходов . Событие А – «билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам» (выбор двух мальчиков) (выбор двух девочек) . Искомая вероятность .
4. На полке 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?
Решение: Исходы – все возможные наборы из 6 книг без учёта порядка, снимаемых с полки; общее число исходов . Событие А – «из 6 снятых книг 3 оказались учебниками»; (выбор 3 учебников из 4 имеющихся) (дополнение набора 3 книгами из 8 книг – не учебников) . Искомая вероятность = .
5. В тёмном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что: а) все билеты выигрышные; б) есть ровно один проигрышный билет; в) есть ровно два выигрышных билета; г) есть хотя бы один выигрышный билет.
Решение: В ящике всего 9 билетов. Исходы – все возможные наборы по 3 билета без учёта порядка их расположения в наборе; общее число исходов . Рассмотрим события: а) А – «все три извлечённых билета – выигрышные»; . Вероятность = = . б) В – «среди трёх извлеченных билетов ровно один проигрышный»; (к одному из 4 проигрышных выбираем ещё два выигрышных билета) ; = . в) С – «среди трёх извлечённых билетов есть ровно два выигрышных»; (выбор двух выигрышных) ; = . г) D – «среди трёх извлечённых билетов есть хотя бы один выигрышный»; (выбор всех трёх проигрышных) = 84-4=80; благоприятствующие исходы мы нашли, отняв от числа всех исходов «ненужные» исходы. Вероятность .
6. Экзамен по истории включает 60 вопросов. Валера утверждает, что подготовил 80% всех вопросов экзамена. Папа задал ему три вопроса, ни на один из которых он не ответил. Есть ли у папы основания подозревать сына во лжи?
Ответ: Да, есть. Произошло событие, вероятность которого равна - очень маловероятное.
Вероятность противоположного события
1. В школьном научном обществе 10 человек: 7 мальчиков и 3 девочки. Случайным образом из членов этого общества выбирают двух учащихся на городскую конференцию. Какова вероятность того, что среди выбранных двух человек окажется хотя бы одна девочка?
Решение: Пусть событие А – среди выбранных двух человек окажется хотя бы одна девочка (т.е. либо одна, либо две девочки). Тогда событие - среди выбранных двух человек нет ни одной девочки (т.е. выбраны только мальчики). Найдём сначала вероятность события . Благоприятствующими событию исходами будут всевозможные пары, составленные из 7 мальчиков. Их число равно (7-1)7:2=21, т.е. m = 21. Число возможных пар, составленных из 10
школьников равно (10-1)10:2=45, т.е. n =45. Таким образом, . Тогда .
2. Вероятность выигрыша, приходящаяся на один билет в школьной лотереи, равна: 1) 0,03; 2) . Какова вероятность получения невыигрышного билета в этой лотереи?
Решение: Событие «получен выигрышный билет» и «получен невыигрышный билет» - противоположные, поэтому искомые вероятности находим по теореме о вероятности противоположного события. 1) Р(А)=0,03; =1- 0,03=0,97. 2) Р(А) = ; = .
3. Вероятность попадания Андреем по мишени из винтовки равна 0,7. Какова вероятность того, что Андрей промахнётся, сделав выстрел7
Решение: Пусть событие А – попадание по мишени. Тогда Р(А)=0,7. Событие - промах. Согласно формуле =1- 0,7=0,3.
На практике – при изучении случайных явлений в естествознании, экономике, медицине, производстве – часто встречаются испытания, у которых число возможных исходов необозримо велико. А в ряде случаев до проведения реальных испытаний трудно или невозможно установить равновозможность исходов испытания. Поэтому, наряду с классическим, на практике используют так называемое статистическое определением вероятности. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, связанное с экспериментом, нужно подсчитать, как часто оно происходит. Для этого используют две важные величины:
Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N, при этом число М называют абсолютной частотой или частотой события А.
Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие; относительная частота показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события.
Относительную частоту события А обозначают , поэтому по определению: .
Пример. Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30
попадания по цели в данной серии выстрелов?
Решение: Событие А – попадание по цели произошло в 26 случаях, т.е. М=26. Общее число испытаний N=30, поэтому = .
Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.
Таблицы распределения случайной величины
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.
Пример. Случайная величина Х – оценка за контрольную работу учащихся 9 класса, может принимать значения Х 1 =1, Х 2 =2, Х 3 =3, Х 4 =4, Х 5 =5. Распределение величины Х по частотам (или относительным частотам) можно записать лишь после реального подсчёта каждого её значения.
Задача. После проверки контрольной работы в 9 классе учитель сделал подсчёт каждой из полученных оценок и составил таблицу распределения значений величины Х (оценка учащегося) по частотам М.
Читайте также: