Время ремонта телевизора распределено по показательному закону с математическим ожиданием
Как следует из определения функции надежности (см. § 4), эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t, если время безотказной работы имеет, показательное, распределение.
Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f (t) =0,02e - 0,02 t при t 0 (t — время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.
Решение. По условию, постоянная интенсивность отказов l=0,02. Воспользуемся формулой (*):
R (100) = е - 0,02*100 =е - 2 = 0,13534.
Искомая вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч, приближенно равна 0,14.
Замечание. Если отказы элементов в случайные моменты времени образуют простейший поток, то вероятность того, что за времядлительностью t не наступит ни одного отказа (см. гл. VI, § 6),
чтосогласуется с равенством (*), поскольку l в обеих формулах имеет один и тот же смысл (постоянная интенсивность отказов).
Характеристическое свойство показательного закона надежности
Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов l).
Для доказательства свойства введем обозначения событий:
А—безотказная работа элемента на интервале (О,t0) длительностью t0; В—безотказная работа на интервале (t0, t0+t) длительностью t. Тогда АВ—безотказная работа на интервале (0, t0+t)длительностью to +t.
Найдем вероятности этих событий по формуле (*) (см. § 5):
P(A)= ,P(B)= ,
P(AB)= .
Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале (t0, t0+t)при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале (0, t0)(см. гл. III, § 2):
Полученная формула не содержит t0, а содержит только t. Это и означает, что время работы на предшествующем интервале не сказывается на величине вероятности безотказной работы на последующем интервале, а зависит только от длины последующего интервала, что и требовалось доказать.
Полученный результат можно сформулировать несколько иначе. Сравнив вероятности Р (В)= и РА (В)= , заключаем: условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью t, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.
Замечание. Можно доказать, что рассматриваемым свойством обладает только показательное распределение. Поэтому если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону. Например, при допущении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, вероятность попадания метеорита в космический корабль не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, случайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону.
Задачи
1. Написать функцию распределения F (х)и плотность вероятности f (к)непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону с параметром l = 5.
Отв. f(х)=5е - 5 x при x 0; f(x) = O при х - 5 x .
2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону: f (х) =5е - 5 x при х О, f(x)=0при х - 4 x (х > 0). Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.
Отв. М(Х)=s(Х) = 0,25; D (X) = 0,0625.
4.Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f(t)=0,01e - 0,01 t (t>0), где t — время, ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.
Отв. R (100) = 0,37.
До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости,- дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда - непрерывная одномерная случайная величина.
Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, … , п числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными, . . ., n-мерными.
Будем обозначать через (X, Y)двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично n-мерную величину можно рассматривать как систему п случайных величин. Например, трехмерная величина (X, Y, Z)определяет систему трех случайных величин X, Y и Z.
Пример.Станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина X и ширина Y, то имеем двумерную случайную величину (X, Y); если же контролируется и высота 2, то имеем трехмерную величину (X, Y, Z).
Двумерную случайную величину (X, Y)геометрически можно истолковать либо как случайную точку М (X, Y)на плоскости (т. е. как точку со случайными координатами), либо как случайный вектор ОМ. Трехмерную случайную величину геометрически можно истолковать как точку М (X, Y, Z) в трехмерном пространстве или как вектор OM.
Целесообразно различать дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом , к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.
Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:
Кривую нормального закона распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса .
Нормальная кривая изображена на рис. 9.
Тот факт, что случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами , коротко записывают так: .
Математическое ожидание случайной величины X , распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, т. е. , а дисперсия – параметру , т. е. .
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и , т. е. случайной величины называется стандартным или нормированным .
Плотность стандартной случайной величины X имеет вид
и называется функцией Гаусса .
Вероятность попадания в интервал (a, b) случайной величины X, подчиненной нормальному закону, определяется формулой
где функция называется функцией Лапласа (или интегралом вероятности ). Эту функцию называют также функцией ошибок .
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1. , т. е. функция - нечетная;
Таблицу значений функции Лапласа можно найти в приложении 1.
Вероятность попадания случайной величины в интервал , симметричный относительно центра рассеяния , находится по формуле
В частности, , т. е. практически достоверно, что случайная величина принимает свои значения в интервале . Это утверждение называется “правилом трех сигм” .
6.6. Решение задач
Пример 1. 30% изделий, выпускаемых данным предприятием, нуждается в дополнительной регулировке. Наудачу отобрано 200 изделий. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины X – числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке.
Решение. Случайная величина X имеет биномиальное распределение. Здесь n=200, p=0,3, q=0,7. Используя формулы (10), находим: , .
Пример 2. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова?
Решение. За одну минуту АТС в среднем получает вызовов. Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту, подчиняется закону Пуассона, по формуле (11) найдем искомую вероятность .
Пример 3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что число попаданий при 200 выстрелах составит не менее 5 и не более 10?
Решение. Пусть случайная величина X – число попаданий в цель. Так как вероятность p=0,01 очень мала, а число выстрелов (опытов) достаточно велико, то искомую вероятность будем находить, используя формулу Пуассона (см. (11)). По теореме сложения вероятностей . Учитывая, что , , получим .
Пример 4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты? Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.
Решение. Случайная величина X – время ожидания поезда – на временном отрезке [0, 2] имеет равномерный закон распределения (см. (12)). Тогда вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты
По формулам (13) найдем мин., .
Пример 5. Случайная величина T – время работы радиолампы – имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.
Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины T равно 400 часам, следовательно, . (см. (15)).
Тогда с учетом формулы (14) искомая вероятность .
Пример 6. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.
Решение. Воспользуемся формулой (17). В нашем случае , , следовательно,
Пример 7. Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1,2)?
Решение. Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал (1,2) при одном испытании. Согласно формуле (16) имеем:
Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал (1,2) при одном испытании равна 1-0,3811=0,6189, а при четырех испытаниях . Значит, искомая вероятность .
6.7. Задачи для самостоятельного решения
Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность выигрыша одного билета 0,1. Найти дисперсию числа успехов в данном опыте.
Проводятся три независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события постоянна и равна p. Пусть X – число появлений события A в этом опыте. Найти D(X), если известно, что M(X) = 2,1.
Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 80 попаданий в цель?
Среди семян ржи имеется 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна p = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?
Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть непрерывная случайная величина X, имеющая равномерное распределение на отрезке [19,20]. Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 час 22 минут до 19 час 46 минут.
Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 мин. Считая, что случайная величина X – время ожидания автобуса – распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание) и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые 2 часа. Считая, что время прибытия автомашин – случайная величина X – распределено равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.
Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке [2,8]. Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3,5).
Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?
Случайная величина X, которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения . Найти: среднее время работы элемента, вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.
Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.
Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов?
Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 с испускало в среднем 3,87 -частицы. Найти вероятность того, что за 1 с это вещество испустит хотя бы одну -частицу.
Средняя продолжительность телефонного разговора равна 3 мин. Найти вероятность того, что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут, считая, что время разговора является случайной величиной X, распределенной по показательному закону.
Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону: . Какова вероятность того, что при четырех испытаниях случайная величина X попадет хотя бы один раз в интервал (1, 2)?
Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.
Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами г, г. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.
Рост взрослых мужчин является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону: . Найти плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.
Пусть диаметр изготовляемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами см, см. Найти вероятность того, что размер диаметра взятой наудачу детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм.
Цех изготовляет детали, длины которых представляют собой случайную величину X, распределенную по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины X соответственно равны 15 и 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины детали в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.
Длина детали, изготовленной на станке, есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием 45 см и средним квадратическим отклонением 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16.
Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратическое отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98.
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X – количество сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, – равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее квадратическое отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.
Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
Ответы
Законы распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных величин
Пусть случайные величины Х = т и Y = n имеют законы распределения Пуассона соответственно с параметрами λ 1 и λ 2 . В силу независимости случайных величин X и Y их сумма Z = X + Y принимает значение Z = s с вероятностью
Полагая, что λ = λ 1 + λ 2 , и учитывая, что
т.е. случайная величина Z = X + Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = λ 1 + λ 2
Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.
Случайная величина X – число проверенных деталей до обнаружения бракованной – имеет геометрическое распределение (4.11) с параметром р =0,1. Поэтому ряд распределения имеет вид
Вероятность получения денежного приза
Таким образом, среднее число угаданных видов спорта из 6 всего 0,8, а вероятность выигрыша только 0,024.
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.
Случайная величина X – время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0;2] имеет равномерный закон распределения φ ( x )=1/2.
Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна 1/4 от равной единице площади прямоугольника (рис. 4.3), т.е.
Доказать, что если промежуток времени Т, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время т, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части Т 1 = Т – х промежутка, т.е. закон распределения Т 1 остается таким же, как и всего промежутка Т.
Пусть функция распределения промежутка Т определяется по формуле (4.22), т.е. F( t ) = 1– e -λ t , а функция распределения оставшейся части T 1 = Т– τ при условии, что событие Т > τ произошло, есть условная вероятность события Т 1 t относительно события Т > τ , т.е. F 1 ( t ) = Р T >х ( T 1 t ).
Так как условная вероятность любого события B относительно события А
P A ( B ) = P ( AB ) / P ( A ),
то, полагая А = ( Т > τ), B = ( T 1 t ), получим
Произведение событий ( Т > τ) и T 1 = Т– τ t равносильно событию τ Т t + τ, вероятность которого
P(τ t + τ) = F ( t + τ) – F (τ).
Так как P( Т > τ) = 1 – P( Т ≤ τ) = 1 – F (τ), то выражение (4.25) можно представить в виде:
Учитывая (4.22). получим
Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X , распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X .
По условию математическое ожидание М(х)= 1/λ = 15, откуда параметр λ - 1/15 и по формулам (4.21) и (4.22) плотность вероятности и функция распределения имеют вид:
Искомую вероятность Р ( Х ≥ 20) можно было найти по формуле (3.22), интегрируя плотность вероятности, т.е.
но проще это сделать, используя функцию распределения:
Осталось найти среднее квадратическое отклонение σ х = М ( Х ) = 15 дней.
Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величинах X c параметрами а = 173 и λ 2 = 36, найти:
1. а) выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины X ;
б) доли костюмов 4-го роста (176 – 182 см) и 3-го роста (170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы;
в) квантиль x 0,7 и 10%-ную точку случайной величины X .
а) По формулам (4.26) и (4.30) запишем
б) Доля костюмов 4-го роста (176 – 182 см.) в общем объеме производства определится по формуле (4.32) как вероятность
(рис. 4.13), так как по (4.33)
Долю костюмов 3-го роста (170–176 см) можно было определить аналогично по формуле (4.32), но проще это сделать по формуле (4.34), если учесть, что данный интервал симметричен относительно математического ожидания а = М(Х) =173, т.е. не равенство
170 X 176 равносильно неравенству | Х - 173| ≤ 3 :
в) Квантиль X 0,7 случайной величины X найдем из уравнения (3.29) с учетом (4.30):
По табл. II приложений находим t = 0,524 и
Х 0,7 = 6*t + 173 = 6*0,524 + 173 ≈ 176 (см).
Это означает, что 70% мужчин данной возрастной группы имеют рост до 176 см.
10%-ная точка – это квантиль X 0,9 = 181 см (находится аналогично), т.е. 10% мужчин имеют рост не менее 181 см.
2. Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от a-3σ = 173-3*6 = 155 до a + 3σ = 173 + 3*6 = 191 (см), т.е. 155 ≤ Х ≤ 191 (см).
Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой случайной величины.
По данным примера 4.11 найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли (частости) выигравших облигаций среди приобретенных. Составить функцию распределения случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n и р.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Необходимо:
а) составить закон распределения отказавших за время t элементов;
б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;
в) определить вероятность того, что за время t откажет хотя бы один элемент.
Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо:
а) составить закон распределения числа сделанных выстрелов;
б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;
Похожие страницы:
Теория вероятности (10)
. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 60 1.ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ . искажены>. Решение. По формуле Бернулли (1.21) , P(B) = P(6,2) + P(6,3) + P(6,4) + P(6,5) + P(6,6) = 1- P(6,0) - P(6,1) = , , . Пример 4.2. Вероятность появления .
Теория вероятностей (11)
. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1988 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и . школа, 1987 Гусак А.А. Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. / Изд. 2-е, - Мн .
Элементы теории вероятностей (1)
. . М.: Наука, 2004. — 440 с. Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов . .шк., 2003.- 479 с. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высш.шк., 2004 .
Дискретная математика. Теория вероятностей и математическая статистика
. теоретический материал и упражнения по двум разделам дисциплины: дискретная математика, теория вероятностей и математическая статистика . студентов в каждом разделе приводится разбор решений типовых задач, вопросы и упражнения для самопроверки .
Задачи по теории вероятности (2)
. 1/5040. Ответ: Р(А) = 1/5040. Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным . выполняться равенство По найденным значениям вероятностей построим их . Р760(330). Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . .
(1) где λ – параметр распределения.
График плотности приведен на рисунке 1:
рис.1
Показательное распределение определяется одним параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большого числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т.д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.
Функция распределения показательного закона имеет вид
(2)
График выглядит:
рис.2
Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения:
, , = .
Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения (2): (3)
Значения функции е находят по таблице.
Пример 1: Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0,3; 1).
Решение: По условию, λ=2. Воспользуемся формулой (3).
Пример 2: Случайная величина Т- время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.
Решение: Математическое ожидание М(Т)=400, значит . Искомая вероятность
Ответ:
Показательное распределение используется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания (ТМО), в физике, в теории надежности. Оно используется для описания распределения случайной величины вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т.д.
Рассмотрим: непрерывную случайную величину Т- длительность безотказной работы прибора. Функция распределения случайной величины Т, т.е. , определяет вероятность отказа за время длительностью t. И, значит, вероятность безотказной работы за время t равна . Функция называется функцией надежности.
Случайная величина Т часто имеет показательное распределение. Ее функция распределения имеет вид . В этом случае функция надежности имеет вид , т.е. , где λ – интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени.
Упражнения:
1. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью Найти: функцию распределения ; математическое ожидание и дисперсию случайной величины T ; вероятность того, чторадиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.
2. Случайная величина X имеет показательное распределение Найти функцию распределения ; вероятность .
3. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром λ=0,4. Найти дифференциальную и интегральную функции распределения, среднее квадратическое отклонение , а также вероятность попадания значений случайной величины X в интервал .
4. Случайная величина X, которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения Найти: среднее время работы элемента; вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.
5. Средняя продолжительность телефонного разговора равна 3 минутам. Найти вероятность того, что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут, считая, что время разговора является случайной величиной X, распределенной по показательному закону.
Нормальное распределение.
Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами a и , если ее плотность распределения имеет вид
(1), .
Случайная величина Х имеет нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами a и , сокращенно записывается так: .
непрерывной случайной величины X имеет вид:
Если , то нормальное распределение с такими параметрами называется стандартным. Плотность стандартной случайной величины имеет вид
Функция распределения случайной величины Х имеет вид
и называется функцией Лапласа. Она связана с нормированной функцией Лапласа равенством .
Установим смысл параметров нормального распределения Х : и , - среднее квадратическое отклонение.
Можно показать, что для случайной величины Х : , , .
График плотности распределения вероятности нормального закона - кривую распределения, называемую нормальной кривой ( кривой Гаусса).
рис.1
Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, рост человека, ошибки стрельбы, вес клубней картофеля, величина шума в радиоприемном устройстве, колебания курса акций и т.д.
Вероятность попадания случайной величины Х на заданный участок : . (3)
Через функцию Лапласа выражается и функция распределения нормально распределенной случайной величины Х.
(4)
На практике часто приходиться вычислять вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеяния а. Пусть таким интервалом будет длины 2l . Тогда
. (5)
Полагая в равенстве (5) , получим По таблице значений для находим: . Следовательно, , т.е. отклонение случайной величины Х от своего математического ожидания меньше, чем 3 – почти достоверное событие.
Пример 1: При измерении детали получается случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром мм. Производится 3 независимых измерения детали. Найти вероятность того, что ошибка хотя бы одного измерения не превосходит по модулю 2 мм.
Решение: По формуле (6) находим:
.
Вероятность того, что эта ошибка (погрешность) превышает 2 мм в одном опыте (измерении), равна
.
По теории умножения вероятность того, что во всех трех опытах ошибка измерения превышает 2 мм, равна . Следовательно, искомая вероятность равна 1-0,5958=0,4042.
Упражнения:
1. Определить закон распределения случайной величины X , если ее плотность вероятности имеет вид
.
Найти: а) ; б) ; в) значение коэффициента A; г) ; д) .
2. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.
3. Пусть . Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях случайная величина X хотя бы в одном из них X примет значение в интервале .
4. Плотность вероятностей случайной величины X имеет вид
.
Найти: а) значение коэффициента C; б) ; в) ; г) ; д) .
5. Известно, что , . Найти D ( X ).
6. Рост взрослых мужчин является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону: . Найти плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180см.
Приложения
Таблица функции (кривая вероятностей)
 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0,0 | 0,3989 | 0,3989 | 0,3989 | 0,3988 | 0,3986 | 0,3984 | 0,3982 | 0,3980 | 0,3977 | 0,3973 |
| 0,1 | 0,3970 | 0,3965 | 0,3961 | 0,3956 | 0,3951 | 0,3945 | 0,3939 | 0,3932 | 0,3925 | 0,3918 |
| 0,2 | 0,3910 | 0,3902 | 0,3894 | 0,3885 | 0,3876 | 0,3867 | 0,3857 | 0,3847 | 0,3836 | 0,3825 |
| 0,3 | 0,3814 | 0,3802 | 0,3790 | 0,3778 | 0,3765 | 0,3752 | 0,3739 | 0,3725 | 0,3712 | 0,3697 |
| 0,4 | 0,3683 | 0,3668 | 0,3653 | 0,3637 | 0,3621 | 0,3605 | 0,3589 | 0,3572 | 0,3555 | 0,3538 |
| 0,5 | 0,3521 | 0,3503 | 0,345 | 0,3467 | 0,3448 | 0,3429 | 0,3410 | 0,3391 | 0,3372 | 0,3352 |
| 0,6 | 0,3332 | 0,3312 | 0,3292 | 0,3271 | 0,3251 | 0,3230 | 0,3209 | 0,3187 | 0,3166 | 0,3144 |
| 0,7 | 0,3123 | 0,3101 | 0,3079 | 0,3056 | 0,3034 | 0,3011 | 0,2989 | 0,2966 | 0,2943 | 0,2920 |
| 0,8 | 0,2897 | 0,2874 | 0,2850 | 0,2827 | 0,2803 | 0,2780 | 0,2756 | 0,2732 | 0,2709 | 0,2685 |
| 0,9 | 0,2661 | 0,2637 | 0,2613 | 0,2589 | 0,2565 | 0,2541 | 0,2516 | 0,2492 | 0,2468 | 0,2444 |
| 1,0 | 0,2420 | 0,2396 | 0,2371 | 0,2347 | 0,2323 | 0,2299 | 0,2275 | 0,2251 | 0,2227 | 0,2203 |
| 1,1 | 0,2179 | 0,2155 | 0,2131 | 0,2107 | 0,2083 | 0,2059 | 0,2036 | 0,202 | 0,1989 | 01965 |
| 1,2 | 0,1942 | 0,14919 | 0,1895 | 0,1872 | 0,1849 | 0,1826 | 0,1804 | 0,1781 | 0,1758 | 0,1736 |
| 1,3 | 0,1714 | 0,1691 | 0,1669 | 0,1647 | 0,1626 | 0,1604 | 0,1582 | 0,1561 | 0,1539 | 0,1518 |
| 1,4 | 0,1497 | 0,1476 | 0,1456 | 0,1435 | 0,1415 | 0,1394 | 0,1374 | 0,1354 | 0,1334 | 0,1315 |
| 1,5 | 0,1295 | 0,126 | 0,1257 | 0,1238 | 0,1219 | 0,1200 | 0,1182 | 0,1163 | 0,1145 | 0,1127 |
| 1,6 | 0,1109 | 0,1092 | 0,1074 | 0,1057 | 0,1040 | 0,1023 | 0,1006 | 0,0989 | 0,0973 | 0,0957 |
| 1,7 | 0,0940 | 0,0925 | 0,0909 | 0,0893 | 0,0878 | 0,0863 | 0,0848 | 0,0833 | 0,0818 | 0,0804 |
| 1,8 | 0,0790 | 0,0775 | 0,0761 | 0,0748 | 0,0734 | 0,0721 | 0,0707 | 0,0694 | 0,0681 | 0,0669 |
| 1,9 | 0,0656 | 0,0644 | 0,0632 | 0,0620 | 0,0608 | 0,0596 | 0,0584 | 0,0573 | 0,0562 | 0,0551 |
| 2,0 | 0,0540 | 0,0529 | 0,0519 | 0,0508 | 0,0498 | 0,0488 | 0,0478 | 0,0468 | 0,0459 | 0,0449 |
| 2,1 | 0,0440 | 0,0431 | 0,0422 | 0,0413 | 0,0404 | 0,0396 | 0,0387 | 0,0379 | 0,0371 | 0,0363 |
| 2,2 | 0,0355 | 0,0347 | 0,0339 | 0,0332 | 0,0325 | 0,0317 | 0,0310 | 0,0303 | 0,0297 | 0,0290 |
| 2,3 | 0,0283 | 0,0277 | 0,0270 | 0,0264 | 0,0258 | 0,0252 | 0,0246 | 0,0241 | 0,0235 | 0,0229 |
| 2,4 | 0,0224 | 0,0219 | 0,0213 | 0,0208 | 0,0203 | 0,0198 | 0,0194 | 0,0189 | 0,0184 | 0,0180 |
| 2,5 | 0,0175 | 0,0171 | 0,0167 | 0,0163 | 0,0158 | 0,0154 | 0,0151 | 0,0147 | 0,0143 | 0,0139 |
| 2,6 | 0,0136 | 0,0132 | 0,0129 | 0,026 | 0,0122 | 0,0119 | 0,0116 | 0,0113 | 0,0110 | 0,0107 |
| 2,7 | 0,0104 | 0,0101 | 0,0099 | 0,0096 | 0,0093 | 0,0091 | 0,0088 | 0,0086 | 0,0084 | 0,0081 |
| 2,8 | 0,0079 | 0,0077 | 0,0075 | 0,0073 | 0,0071 | 0,0069 | 0,0067 | 0,0065 | 0,0063 | 0,0061 |
| 2,9 | 0,0060 | 0,0058 | 0,0056 | 0,0055 | 0,0053 | 0,0051 | 0,0050 | 0,0048 | 0,0047 | 0,0046 |
| 3,0 | 0,0044 | 0,0043 | 0,0042 | 0,0040 | 0,0039 | 0,0038 | 0,0037 | 0,0036 | 0,0035 | 0,0034 |
| 3,1 | 0,0033 | 0,0032 | 0,0031 | 0,0030 | 0,0029 | 0,0028 | 0,0027 | 0,0026 | 0,0025 | 0,0025 |
| 3,2 | 0,0024 | 0,0023 | 0,0022 | 0,0022 | 0,0021 | 0,0020 | 0,0020 | 0,0019 | 0,0018 | 0,0018 |
| 3,3 | 0,017 | 0,0017 | 0,0016 | 0,0016 | 0,0015 | 0,0015 | 0,0014 | 0,0014 | 0,0013 | 0,0013 |
| 3,4 | 0,012 | 0,0012 | 0,0012 | 0,0011 | 0,0011 | 0,0010 | 0,0010 | 0,0010 | 0,0009 | 0,0009 |
| 3,5 | 0,0009 | 0,0008 | 0,0008 | 0,0008 | 0,0008 | 0,0007 | 0,0007 | 0,0007 | 0,0007 | 0,0006 |
| 3,6 | 0,0006 | 0,0006 | 0,0006 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0004 |
| 3,7 | 0,0004 | 0,0004 | 0,0004 | 0,0004 | 0,0004 | 0,0004 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0003 |
| 3,8 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 |
| 3,9 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0001 | 0,0001 |
| 4,0 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 |
| 4,1 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 |
| 4,2 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 |
Таблица функции (функция Лапласа)
Читайте также: