Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для телевизоров

Обновлено: 15.01.2025

рассмотреть основные показатели безотказной работы (вероятность безотказной работы и вероятность отказа).

Основные понятия:

Вероятность безотказной работы

Организационный момент : приветствие, проверяется готовность к занятию, отмечаются в журнале отсутствующие.

Проверка домашнего задания : фронтальный опрос.

Изучение нового материала :

Вероятность безотказной работы.

Оценка вероятности безотказной работы.

Закрепление изученного материала:

Что называют вероятностью безотказной работы?

Что называют вероятностью отказа?

Дайте определение понятия показатели надежности.

Домашнее задание: Яхъяев Н.Я. Основы теории надежности, стр. 39-41;

На испытание поставлено 1000 однотипных резисторов. За первые 10000 часов отказало 5, за последующие 5000 отказало еще 5. Определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа за 10000 часов, за 15000 часов и в промежутке между 10000 и 15000 часов.

Подведение итогов занятия.

- Какое состояние называется работоспособным? (Работоспособность – это состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданную функцию с параметрами, установленными требованиями технической документации, в течение расчётного срока службы).

Отказ – это нарушение работоспособности. Свойство элемента или системы непрерывно сохранять работоспособность при определённых условиях эксплуатации (до первого отказа) называется безотказностью.

Безотказность – свойство объекта сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки.

ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ.

Показатели надежности – количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.

Для оценки, расчетов и исследования надежности технических устройств в процессе их проектирования и эксплуатации используются количественные характеристики (критерии надежности). Для показателей надежности используются две формы представления:

Статистическая – при эксперементальном исследовании надежности технических систем

Вероятностная – при априорных аналитических расчетах надежности.

В соответствии с ГОСТ 27.002 – 89 показатели надежности подразделяются на:

Классификация показателей надежности

Число характерезуемых свойств надежности

Единичный показатель надежности – показатель, характеризующий одно из свойств, составляющих надежность объекта. ( Например , вероятность отказа, средний срок службы и т.п.).

Комплексный показатель надежности – показатель, характеризующий одновременно несколько свойств, составляющих надежность объекта. ( Например , коэффициент готовности, удельная суммарная трудоемкость ремонтов и т.п.).

Расчетный показатель надежности – показатель, значения которого определяют расчетным методом.

Экспериментальный показатель надежности – показатель, точечную или интервальную оценку которого определяют по данным испытания.

Эксплуатационный показатель надежности – показатель, точечную или интервальную оценку которого определяют по данным эксплуатации.

Экстраполированный показатель надежности – показатель, точечную или интервальную оценку которого определяют на основании результатов расчетов, испытаний и (или) эксплуатационных данных путем экстраполирования на другую продолжительность эксплуатации и другие условия эксплуатации.

Нормативный показатель, регламентированный в НТД

Оценочный показатель, используемый для различных сравнительных оценок при научно-исследовательских и проектно-технологических разработках

Групповой показатель надежности – служит для оценки надежности совокупности изделий данного типа.

Индивидуальный показатель надежности – предназначен для оценки надежности каждого изделия данного типа.

ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ.

Пусть испытывается некоторое число изделий N ₀ . По разным причинам они будут выходить из строя, причем моменты отказов, т.е. время наработки каждого изделия до отказов, является случайной величиной.

Вероятность безотказной работы изделия есть вероятность того, что за определенный рассматриваемый период времени работы (t) в заданных условиях эксплуатации оно не откажет, т.е. вероятность того, что время наработки до отказа (t _отк ) будет больше времени работы.

Если к моменту t из поставленных на испытания N0 изделий останутся исправными N(t), то статистическая вероятность безотказной работы изделия за время t, равно: , где N(t) – число работоспособных изделий на момент t; N ₀ – общее число наблюдаемых изделий; n(t) – число изделий, отказавших на момент t от начала испытаний.

При t = 0 все изделия исправны N(0) = N ₀ и P(0) = 1. Отказы изделия с течением времени t приводят к монотонному убыванию функции Р(t). Практически для каждого типа изделия существует наработка t*, больше которой ни одно изделие данного типа проработать не может.

N(t) = 0, при t ≥ t*соответственно Р(t) = 0, при t ≥ t*

Таким образом, 0 ≤ P(t) ≤ 1.

Вероятность безотказной работы уменьшается с увеличением времени работы или наработки объекта. Зависимость вероятности безотказной работы от времени характеризуется кривой убыли ресурса изделия, пример которой приведен на рисунке 1.

В начальный момент времени для работоспособного изделия вероятность его безотказной работы равна единице (100%). По мере работы объекта эта вероятность снижается и стремится к нулю.

Например : После 500 часов наработки из 56 агрегатов, поставленных на эксплуатацию, в работоспособном состоянии оказалось 43 агрегата. Определить вероятность безотказной работы агрегата в течение 500 час.

Используем формулу для определения вероятности безотказной работы объекта

Вероятность безотказной работы агрегата в течение 500 часов составляет 76,8 %.

ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКАЗА.

Противоположным событию безотказной работы является событие отказа

Вероятность отказа есть вероятность того, что время появления отказа будет меньше заданного времени работы изделия, т.е. вероятность того, что время наработки до отказа (t _отк ) будет меньше времени работы (t).

Статистическая вероятность времени появления отказа равна: .

С течением времени наработки число отказавших изделий непрерывно увеличивается. Следовательно, вероятность отказов является монотонно возрастающей функцией.

Пример зависимости вероятности возникновения отказа от времени показан на рисунке 2. Для работоспособного объекта в начальный момент времени вероятность отказа близка к нулю. Для того, чтобы отказ проявился, объекту необходимо начать работать, при этом вероятность отказа увеличивается с увеличением времени и стремится к единице. 0≤Q(t)≤1

Безотказная работа изделия и его отказ являются двумя противоположными и несовместимыми случайными величинами, поэтому их сумма всегда равна 1.

Например : Для предыдущего примера определить вероятность отказа агрегатов за 500 часов работы.

Используем формулу для вероятности отказа

или

Таким образом, вероятность отказа агрегата за 500 часов составляет 23,2 %.

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ.

Рассмотрим график наблюдения за десятью однотипными изделиями в течение времени от 0 до t ₄ . Здесь сплошной прямой линией показана продолжительность безотказной работы изделия, а крестиком – момент возникновения отказа.

Для наглядности разместим наработки до отказов изделий последовательно по времени их появления.

Определение технического состояния изделий в процессе испытаний производится в моменты времени t ₁ … t ₄ . Оценки вероятностей безотказной работы за соответствующие интервалы времени будут иметь вид:

По полученным данным строится ступенчатый график – гистограмма, в конце каждого интервала времени наблюдаемое значение вероятности в данном случае снижается на долю изделий, отказавших на данном интервале.

Полученные значения показывают приблизительно долю изделий, которые проработают безотказно при испытаниях другой партии таких же изделий в аналогичных условиях.

Например : Изготовив 20 новых изделий, можно утверждать, что в течение времени t ₃ приблизительно 12 изделий проработают безотказно (не проводя дополнительных испытаний) 20*0,6=12. Это приближенная оценка будет тем точнее, чем больше число испытанных изделий.

В качестве показателя надежности может использоваться условная вероятность безотказной работы на некотором интервале времени, которая вычисляется при условии, что изделие было полностью исправно к началу этого времени.

Например : Условная вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от t ₂ до t ₃ оценивается согласно выражению:

ГОСТ Р 27.403-2009

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Надежность в технике

ПЛАНЫ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ

Dependability in technics. Compliance test plans for reliability

Дата введения 2010-09-01

Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-ФЗ "О техническом регулировании", а правила применения национальных стандартов Российской Федерации - ГОСТ Р 1.0-2004 "Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения"

Сведения о стандарте

1 РАЗРАБОТАН Федеральным государственным предприятием "Всероссийский научно-исследовательский институт стандартизации и сертификации в машиностроении" (ФГУП "ВНИИНМАШ")

2 ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 119 "Надежность в технике"

3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 15 декабря 2009 г. N 1246-ст

4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты", а текст изменений и поправок - в ежемесячно издаваемых информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет

1 Область применения

Настоящий стандарт распространяется на восстанавливаемые и невосстанавливаемые изделия любых видов техники, в нормативных документах на которые установлены требования к показателю безотказности - вероятности безотказной работы (ВБР).

Настоящий стандарт устанавливает планы контрольных испытаний для проверки соответствия ВБР изделий установленным требованиям.

2 Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ 27.002-89* Надежность в технике. Основные понятия, термины и определения

* На территории Российской Федерации документ не действует. Действует ГОСТ Р 27.002-2009, здесь и далее по тексту. - Примечание изготовителя базы данных.

ГОСТ 27.003-90 Надежность в технике. Состав и общие правила задания требований по надежности

Примечание - При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодно издаваемому информационному указателю "Национальные стандарты", который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим ежемесячно издаваемым информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный стандарт заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться заменяющим (измененным) стандартом. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.

3 Термины, определения и обозначения

3.1 В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ 27.002, а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1.1 вероятность отказа: Вероятность того, что в пределах заданной наработки возникнет отказ изделия.

Примечание - Вероятность отказа является дополнением до единицы ВБР.

3.1.2 план испытаний: Совокупность правил, определяющих продолжительность испытаний и принятие решений в зависимости от суммарного учитываемого числа наблюдений (проб, опытов) и учитываемого числа отказов (неудач), достигнутых (накопленных) на данный момент испытаний.

3.1.3 приемочный уровень: Пороговое значение ВБР для принятия решения о приемке изделий.

Примечание - Решение о приемке принимают, если истинное значение ВБР равно или более приемочного уровня.

3.1.4 браковочный уровень: Пороговое значение ВБР для принятия решения о браковке изделий.

Примечание - Решение о браковке принимают, если истинное значение ВБР равно или менее браковочного уровня.

3.1.5 риск поставщика (изготовителя): Вероятность принятия решения о браковке изделий при условии, что истинное значение ВБР равно приемочному уровню.

3.1.6 риск потребителя: Вероятность принятия решения о приемке изделий при условии, что истинное значение ВБР равно браковочному уровню.

3.2 В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

- истинное (неизвестное) значение ВБР;

- значение приемочного уровня;

- значение браковочного уровня;

- истинное (неизвестное) значение вероятности отказа;

- приемочное значение вероятности отказа, ;

- браковочное значение вероятности отказа, ;

- разрешающий коэффициент, равный отношению значений дополнений до единицы браковочного уровня к приемочному;

- вероятность безотказной работы в течение ;

- время непрерывной безотказной работы (наработка), для которого устанавливают ;

- вероятность безотказного ожидания применения по назначению;

- время ожидания применения по назначению;

- вероятность безотказного срабатывания;

- вероятность безотказного включения;

- суммарное число наблюдений на данный момент испытаний;

- точка пересечения границы приемки последовательного плана испытаний с осью абсцисс на графике планов испытаний;

- суммарное учитываемое число отказов на данный момент испытаний;

- точка пересечения границы браковки последовательного плана испытаний с осью ординат на графике планов испытаний;

- предельное (браковочное) суммарное учитываемое число отказов на данный момент испытаний;

- заданное значение риска поставщика;

- истинное значение риска поставщика;

- заданное значение риска потребителя;

- истинное значение риска потребителя;

- вероятность принятия решения о приемке изделий (оперативная характеристика);

- среднее (ожидаемое) число наблюдений до принятия решения о приемке или браковке;

- максимальное (максимально возможное, допустимое) число наблюдений до принятия решения о приемке или браковке;

- заданное значение ВБР.

4 Основные положения

4.1 В соответствии с требованиями ГОСТ 27.003 показатель безотказности ВБР устанавливают для изделий конкретного назначения в соответствии с таблицей 1.

Применение изделия по назначению

Возможность восстановления изделия после отказа

Изделия непрерывного длительного применения

Изделия многократного циклического применения

Изделия однократного применения

и или

4.2 Планы испытаний, установленные в настоящем стандарте, основаны на предположении, что испытания являются статистически независимыми и значение ВБР является постоянным.

4.3 Наработку изделий измеряют временем их работы в часах или величинами, пропорциональными времени: количеством выпущенной продукции (шт.), пробегом (км), числом циклов срабатываний, оборотов и др.

4.4 Планы испытаний представляют в виде таблиц значений и графиков границ приемки и браковки в координатах:

- ось абсцисс (дискретная) - суммарное учитываемое число наблюдений;

- ось ординат (дискретная) - суммарное учитываемое число отказов.

4.5 По результатам испытаний принимают одно из следующих решений:

- ВБР соответствует заданным требованиям (приемка);

- ВБР не соответствует заданным требованиям (браковка).

4.6 Исходными данными для выбора плана испытаний являются:

- значения приемочного и браковочного уровней (значение разрешающего коэффициента );

Пример 1. Студент знает 15 вопросов из 30 в первом разделе курса и 25 из 40 вопросов второго раздела этого курса.

Найти вероятность того, что студент:

1) знает ответы на оба вопроса;

3) знает ответ только на один вопрос в билете.

Решение. Обозначим общее число вопросов первого раздела курсаn₁= 30, а количество выученных вопросов этого разделаm₁= 15.

Общее число вопросов второго раздела курса — n₂= 40, а количество выученных вопросов этого раздела (т.е. благоприятствующих хорошему ответу)m₂= 25.

Далее введём обозначение событий. Пусть:

событие Aсостоит в том, что студент знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из первого раздела курса;— противоположное событие, состоит в том, что студент не знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из первого раздела курса; событиеBсостоит в том, что студент знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из второго раздела курса;— противоположное событие, состоит в том, что студент не знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из второго раздела курса.

Вероятности событий AиBнайдём, пользуясь классическим определением вероятности:

Вероятности противоположных событий иопределим, исходя из соотношения между вероятностями противоположных событий :

1. Для нахождения ответа на первый пункт введём обозначение ещё одного события:

пусть событие Cсостоит в том, что студент знает ответы на оба случайным образом предложенных ему вопроса из первого и второго разделов курса.

Опираясь на понятие произведения двух событий, видим, что C=AB.

Для нахождения вероятности события Cприменим теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда.

2. Для решения второго пункта задачи введём ещё одно обозначение события: событие Dсостоит в том, что студент не знает ответы на оба случайным образом предложенных ему вопроса из первого и второго разделов. Используя понятие произведения двух событий,.

Для нахождения вероятности события Dприменим снова теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда .

3. Для решения третьего пункта введём ещё одно обозначение события: событие Eсостоит в том, что студент знает ответ только на один из двух случайным образом предложенных ему вопросов из первого или второго раздела курса. Это сложное событие состоит из двух событий: или студент знает ответ на случайный вопрос из первого раздела и не знает ответ на вопрос из второго раздела, т.е., или студент не знает ответ на вопрос из первого раздела и знает ответ на вопрос из второго раздела, т.е..

Окончательно, событие .

Для нахождения вероятности этого события сначала применим теорему сложения вероятностей несовместных событий.

В нашем случае будет .

Теперь дважды применим теорему умножения вероятностей независимых событий:

Подставляем числовые значения этих вероятностей, получим:

Пример 2. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока составляет для пылесоса 0,8 и для холодильника 0,95.

Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока окажутся работоспособными:

2) хотя бы один прибор?

Решение. Введём обозначение событий. Пусть событиеAсостоит в том, что пылесос не сломается в течение гарантийного срока;— противоположное событие, состоит в том, что пылесос сломается в течение гарантийного срока; событиеBсостоит в том, что холодильник не сломается в течение гарантийного срока;— противоположное событие, состоит в том, что холодильник сломается в течение гарантийного срока. Вероятности событийAиB нам даны в условии задачи:P(A) = 0,80;P(B) = 0,95. Вероятности противоположных событийиопределим, исходя из соотношения между вероятностями противоположных событий:

P() = 1 –P(A) = 1 – 0,80 = 0,20,

P() = 1 –P(B) = 1 – 0,95 = 0,05.

1. Для нахождения ответа на первый пункт введём обозначение ещё одного события: событие Cсостоит в том, что оба прибора не сломаются в течение гарантийного срока. Опираясь на понятие произведения двух событий, видим, чтоC=AB. Для нахождения вероятности событияCприменим теорему умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(AB) = P(A)P(B). Тогда P(C) = P(A  B) = P(A)P(B) = 0,800,95 = 0,760.

2. Для решения второго пункта задачи введём ещё одно обозначение события:

событие Dсостоит в том, что в течение гарантийного срока хотя бы один прибор будет работать.

—противоположное событие, состоит в том, что оба прибора сломаются в течение гарантийного срока. Используем понятие произведения двух событий: . Для нахождения вероятности событияприменим ту же теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда.

Но это вероятность противоположного события , а нам надо узнать вероятность прямого событияD, которую определим, пользуясь соотношением между вероятностями противоположных событий. Тогда вероятность того, что будет работать хотя бы один прибор:

P(D) = 1 – P() = 1 – 0,010 = 0,990.

Ответ. 1. Вероятность того, что пылесос и холодильник будут работать в течение гарантийного срока,P(C) = 0,76.

2. Вероятность того, что хотя бы один из приборов будет работать в течение гарантийного срока, P(D) = 0,99.

Пример 3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит60% деталей отличного качества, а второй –84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена первым автоматом.

B₁ — деталь изготовлена первым автоматом,B₂ — деталь изготовлена вторым автоматом.

Найдем вероятности гипотез, исходя из того, что производительность первого автомата вдвое больше второго: .

— вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного качества, при условии, если она произведена первым автоматом.— вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного качества, при условии, если она произведена вторым автоматом.

По условию задачи эти вероятности соответственно равны .

Найдем вероятность P(A) по формуле полной вероятности:

Первое слагаемое соответствует доле вероятности изготовления деталей отличного качества первым автоматом. Тогда по формуле Бейеса имеем:

Ответ. Вероятность того, что взятая с конвейера деталь, которая оказалась отличного качества, произведена первым автоматом, равна10/17.

Пример 4. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие7суток расход электроэнергии не превысит нормы в течение4суток.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из7суток постоянна и равнаp =0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равнаq=1–p=1–0,75=0,25. По условию задачи количество повторных независимых испытаний, т.е. количество наблюдаемых суток,n =7,k =4. Используя формулу Бернулли, получаем:

Ответ.Из100недель, взятых для наблюдения, в17случаях расход электроэнергии не превысит нормы в течение4суток.

Пример 5. Установлено, что в данном технологическом процессе в среднем90% выпускаемых изделий являются стандартными. При выборочном контроле качества продукции было случайным образом отобрано400изделий. Каково наивероятнейшее число стандартных изделий среди400отобранных и чему равна соответствующая этому событию вероятность? Какова вероятность того, что среди этих400изделий окажется от34до50нестандартных?

1. Наивероятнейшее числоk₀событий в серии изnповторных независимых испытаний находим как целое число, заключённое в пределах:np – q  k₀  np + p.

общее число испытаний n = 400(количество отобранных для контроля изделий);

p = (90%) = 0,9— вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным;

q = 1 – p = 1 – 0,9 = 0,1— вероятность того, что наугад выбранное изделие является нестандартным.

Подставляем числовые данные в двойное неравенство, получим

400·0,9 – 0,1  k₀  400·0,9 + 0,9  360 – 0,1  k₀  360 + 0,9 

 359,9  k₀  360,9.

В этих пределах находится единственное целое число k₀=360, т.е. вероятнее всего, что из наугад выбранных400изделий стандартными окажутся360.

При больших значениях nнаивероятнейшее числоk₀событий приближённо можно находить из соотношения

k₀  n·p = 400·0,9 = 360.

2. Найдём вероятность P₄₀₀(360), используя локальную формулу Лапласа:

где , а— нормированная функция Гаусса.

Тогда .

Для составлены таблицы в зависимости от её аргумента

Находим, что значение функции Гаусса . Тогда искомая вероятность будет:

3. Вероятность P₄₀₀ (34  k  50) того, что среди 400 изделий окажется от 34 до 50 нестандартных будем находить, используя интегральную теорему Лапласа:

P_n(k₁kk₂)Ф(z₂) –Ф(z₁),

где — функция Лапласа, а,— её аргументы.

Но здесь следует изменить вероятности pиqпрямого и противоположного событий:

p— вероятность того, что наугад выбранное изделие является нестандартным,p = 0,1;

q — вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным,q = 0,9.

Находим аргументы функции Лапласа:

Тогда P_n(k₁  k  k₂)  Ф(z₂) – Ф(z₁) = Ф(1,67) – Ф(-1).

Значения функции Лапласа находим в таблице, учитывая, что эта функция нечётная Ф(‑x) = ‑ Ф(x).

Тогда Ф(1,67) = 0,4525, Ф (-1) = -0,3413, получаем:

P₄₀₀(34  k  50)  Ф(z₂) – Ф(z₁) = Ф(1,67) – Ф(-1) = 0,4525 – (- 0,3413) = 0,4525 + 0,3413 = 0,7938.

Ответ.1. Вероятнее всего, что из400наугад выбранных для контроля изделий стандартными окажутсяk₀=360шт.

2. Вероятность того, что из400наугад выбранных для контроля изделий стандартными окажутся360, —P₄₀₀(360)0,06650,07.

3. Вероятность того, что из400наугад выбранных для контроля изделий нестандартными окажутся не менее34и не более50, будет равнаP₄₀₀(34k50)0,79380,79.

Пример 6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величиныX, заданной функцией плотности:

Решение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], вычисляется по формуле:

Найдем :

Дисперсия вычисляется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение находим по формуле:

Ответ. Математическое ожидание случайной величиныX ; дисперсия; среднее квадратическое отклонение —.

Пример 7. Случайная величинаXподчинена закону распределения с плотностьюf(x), причемaнеизвестно:

1. Найти коэффициент a.

2. Найти вероятность попадания Xв промежуток (1; 2).

Решение. 1. Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке [0; 3], то по формуле, откуда

или,следовательно, .

Таким образом, плотность распределения имеет вид:

2. Вероятность попадания случайной величины Xв промежуток (1; 2) найдем по формуле (2.33), учитывая, чтона промежутке (1; 2):

Ответ.,.

Пример 8. Случайная величина распределена нормально с параметрами a = 8,  = 3. Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5;14).

Решение. Воспользуемся формулой:.

Так как  = 12,5,= 14,a = 8,= 3, имеем.

Тогда P(12,5 28 / 29 28 29 > Следующая > >>

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

1.3. Студенты данного курса изучают 12 дисциплин. В расписание занятий каждый день включаются по 3 предмета. Сколькими способами может быть составлено расписание занятий на каждый день?

2.3. Из партии втулок, изготовленных за смену токарем, случайным образом отбирается для контроля 10 штук. Найти вероятность того, что среди отобранных втулок две – второго сорта, если во всей партии 25 втулок первого и 5 – второго.

3.3. В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя:

а) не менее двух радиоламп;

б) ни одной радиолампы;

в) хотя бы одна радиолампа?

4.3. Среди поступивших на сборку деталей 30% — с завода № 1, остальные – с завода № 2. Вероятность брака для завода № 1 равна 0,02, для завода № 2 – 0,03. Найти:

а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная;

б) вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе № 1, если она оказалась стандартной.

5.3. Среди заготовок, изготавливаемых рабочим, в среднем 4 % не удовлетворяют требованиям стандарта. Найти вероятность того, что среди 6 заготовок, взятых для контроля, требованиям стандарта не удовлетворяют:

а) не менее пяти;

б) не более пяти;

6.3. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаниях равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 25 раз в 100 испытаниях.

7.3. Найти закон распределения указанной дискретной СВ Х и ее функцию распределения F (x). Вычислить математическое ожидание M (X), дисперсию D (Х) и среднее квадратическое отклонение G (X). Построить график функции распределения F (x). Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для телевизоров первого типа равна 0,9, второго типа – 0,7, третьего типа – 0,8; СВ Х – число телевизоров, проработавших гарантийный срок, среди трех телевизоров разных типов.

8.3. Дана функция распределения F (x) СВ Х. Найти плотность распределения вероятностей f (x), математическое ожидание M (X), дисперсию D (X) и вероятность попадания СВ Х на отрезок [a,b]. Построить графики функций F (x) и f (x).

9.3. Все значения равномерно распределенной СВ Х лежат на отрезке [2;8]. Найти вероятность попадания СВ Х в промежуток (3;5).

10.3. Случайная величина Х является средней арифметической 3200 независимых и одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 2. Найти вероятность того, что СВ Х примет значение из промежутка (2,95; 3,075).

Читайте также: