На столе стоят 16 стаканов
Математические задачи для школьников с решением. Тема: Чётность
Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда надо эту величину сконструировать, например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в 2 цвета. Чётность в играх - возможность сохранить чётность некоторой величины при своём ходе.
Задача 1.
Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина его прыжка равна 1 м). Доказать, что он сделал чётное число прыжков.
Так как кузнечик вернулся в исходную точку, то количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, то есть общее количество прыжков чётное.
Задача 2.
Можно ли в таблицу 5х5записать все числа 1, 2, 3, . 24, 25 так, чтобы в каждой строке сумма некоторых из записанных в ней чисел равна сумме остальных чисел этой строки?
Предположим, что числа в таблицу записаны так, как это требуется в условии. Тогда сумма чисел в каждой строке - чётная. Значит, должна быть чётной и сумма всех чисел в таблице, но она равна: 1 + 2 +. + 24 + 25 = 25 • 12 + 13 = 325, то есть нечётная, получаем противоречие. Значит, требуемого размещения чисел в таблице не существует.
Задача 3.
На доске написаны в строку 2005 целых чисел. Доказать, что одно из них можно стереть, и сумма оставшихся чисел будет чётной. Верно ли это утверждение для 2006 чисел?
Если количество нечётных чисел нечётное, то можно стереть любое из них. Если же количество нечётных чисел чётное, то на доске есть хотя бы одно чётное число (всего чисел - 2005). Его и стираем. Если на доске написаны 2006 нечётных чисел, то сумма их чётная и при стирании любого из них сумма оставшихся чисел нечётная.
Задача 4.
- У нас в классе 35 человек. И можешь себе представить, каждый дружит ровно с 11 одноклассниками.
- Не может этого быть, - сразу ответил своему приятелю Витя Иванов, победитель математической олимпиады. Почему он так решил?
Решение: Витя Иванов мог рассуждать так:
- Докажу от противного. Принесу в класс много длинных верёвок. Попрошу каждых двух друзей взять в руки по концу верёвки, соединяющей их. А всего в классе 35 х 11 = 385 концов. Но у верёвки 2 конца, и общее число концов тоже должно быть чётным. Получается противоречие.
Задача 5.
На доске написаны числа 0, 1,0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?
За один шаг сумма всех написанных чисел увеличивается на 2. Вначале сумма равна 1, поэтому она всегда будет оставаться нечётной. А сумма четырёх одинаковых чисел, очевидно, чётная. Поэтому добиться, чтобы все числа стали равными, невозможно.
Задача 6.
На листке напечатано число 20. 33 ученика передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него 1 (как хочет). Может ли получиться число 10?
Когда очередной ученик прибавляет к числу 1 или отнимает от него 1, чётность этого числа изменяется (чётное число превращается в нечётное, а нечётное - в чётное). У нас было число 20, то есть чётное. Значит, первый ученик превратит его в нечётное, второй - снова в чётное, третий - в нечётное, четвёртый - в чётное, . тридцать третий - снова в нечётное; но 10 - чётное число, значит, 10 получиться не может.
Задача 7.
100 фишек стоят в ряд. Любые две фишки, расположенные через одну, можно менять местами. Удастся ли расположить фишки в обратном порядке?
Переставляя фишки, легко увидеть, что фишка, стоящая на нечётном месте, переходит только на нечётное место. Значит, фишка, стоящая на 1-м месте, не сможет занять последнее сотое (чётное) место.
Задача 8.
Можно ли выбрать 5 чисел из таблицы, сумма которых равна 20?
Сумма любых пяти нечётных чисел есть число нечётное, а именно такие числа даны в таблице.
Задача 9.
Володя написал на доске 1 * 2 * 3 *. * 9 = 21, поставив вместо каждой звёздочки либо «+», либо « - ». Саша изменил некоторые знаки на противоположные, а в результате вместо 21 написал 20. Докажите, что один из мальчиков ошибся.
На доске 5 нечётных чисел, значит, сумма или разность нечётная. Тогда 20 получиться не может. Саша ошибся.
Задача 10.
На доске выписаны числа 1, 2, 3, . 101. Стирают два произвольных числа и записывают разность стёртых чисел. Повторяют эту операцию 100 раз и в результате получают число р. Докажите, что р отлично от нуля.
Для любых двух чисел сумма и разность имеют одинаковую чётность. В качестве инварианта можно взять чётность суммы записанных на доске чисел. 1 + 2 + 3 + . + 101 = (1 + 100) • 50 = 101 = 5050 = 101 = 5151 — нечётное число. Значит, при указанной операции число р - нечётное, а значит, оно не равно нулю.
Задача 11.
Кузнечик прыгает по прямой: первый прыжок - на 1 см, второй - на 2 см и т. д. Может ли он после 25-го прыжка вернуться в точку, с которой начал прыгать?
Чтобы кузнечику после 25-го прыжка оказаться в начальной точке, необходимо преодолеть длину, равную чётному числу, но это невозможно, так как 1 + 2 + 3 + . + 13 + . + 25 = (1 + 25) · 12 + 13 - нечётное число.
Задача 12.
Градостроители города Альфа хотят спланировать сеть улиц так, чтобы каждая из 37 улиц была напрямую соединена ровно с 5-ю другими. Удастся ли им это?
Предположим, что это возможно. Если 37 умножить на 5, то получим общее количество улиц, при этом каждая улица сосчитана дважды. Но 37 • 5 - нечётное число.
Задача 13.
Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум числам прибавлять 1. Можно ли все шесть чисел сделать равными?
Сумма данных чисел равна 21. При прибавлении к ним двух единиц каждый раз получаем нечётное число. С другой стороны, сумма шести равных чисел равна чётному числу.
Задача 14.
На столе стоят 10 стаканов. Из них 9 стоят правильно, а один перевёрнут вверх дном. Разрешается одновременно переворачивать любые 4 стакана. Можно ли, повторяя эту операцию несколько раз, поставить все стаканы правильно?
Одну операцию переворачивания четырёх стаканов можно истолковать как две операции переворачивания двух стаканов. Если переворачивать два правильно стоящих стакана или два неправильно стоящих стакана, то чётность числа правильно стоящих стакана не изменится. А если переворачивать правильно стоящий и неправильно стоящий стаканы, то число правильно стоящих и неправильно стоящих стаканов вообще не изменится. Значит, количество неправильно стоящих стаканов - всегда нечётное число.
Отсюда ответ: нельзя.
Задача 15.
Шахматный конь начинает свой маршрут из левого нижнего угла доски, а кончает его в правом верхнем углу. Может ли конь при этом побывать на всех полях доски в точности по одному разу?
При каждом ходе конь меняет цвет поля. Так как начальное и конечное поля одного цвета, то конь сделает чётное число ходов. Но это противоречит тому, что надо сделать коню 63 хода, чтобы побывать на каждом поле.
Задача 16.
На волшебной сосне растут 10 бананов и 9 апельсинов. Если сорвать два одинаковых фрукта, то на сосне тут же вырастет один банан, а если сорвать два разных, то вырастет один апельсин. Срывать фрукты по одному нельзя. Можно ли сорвать фрукты с сосны так, чтобы на сосне остался один банан?
Апельсинов всё время остаётся нечётное число, а чтобы последним остался банан, необходимо, чтобы апельсинов перед последним срыванием было чётное число - два или ноль.
Задача 17.
В конференции принимали участие 19 учёных. После конференции каждый из них отправил 4 или 2 письма другим учёным; бывшим на конференции. Может ли так случиться, что каждый из них получит по 3 письма?
Общее число полученных писем должно равняться числу отправленных писем, которое является чётным.
Задача 18.
Можно ли расставить в клетках квадрата 4x4 натуральные числа таким образом, чтобы любая сумма всех чисел любой строки и любое произведение всех чисел любого столбца были нечётными?
Решение: чтобы произведение чисел столбца было нечётным, нужно, чтобы в каждом столбце стояли только нечётные числа. Но тогда в каждой строке также стоят нечётные числа; следовательно, сумма чисел в каждой строке будет чётной.
Задача 19.
За круглым столом сидят 2001 представитель четырёх племён: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы никогда не сидят рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного племени сидят рядом.
Пусть это не так. Удалим мысленно всех людей и всех гоблинов. Тогда по условию задачи между любыми двумя оставшимися стоит ровно один стул, то есть общее число стульев чётное, что противоречит условию.
Задача 20.
Даны 6 чисел: 11, 22, 33, 44, 55, 66. Разрешается к любым двум числам прибавить 1. Можно ли за несколько таких операций все числа сделать равными?
Общая сумма всех 6 чисел изначально нечётная и остаётся нечётной при каждой операции. Если бы все числа стали равными, их сумма была бы чётным числом.
Задача 21.
На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с неё 2 плода. Если сорвать 2 банана или 2 ананаса, то вырастет ещё один ананас. Если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. Какой плод - оставшийся, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?
Чётность числа бананов не меняется, поэтому если число бананов было чётным, то оставшийся плод - ананас, если число бананов было нечётным, то оставшийся плод - банан.
Задача 22.
На классной доске написаны числа: 2, 3, . 1975. Разрешается стереть любые два числа, записав вместо них их разность. Доказать, что многократным повторением такой операции нельзя добиться того, чтобы на доске остался один нуль.
Решение: Сумма исходных чисел 2 + 3 + 4 + . + 1973 + 1974 + 1975 = (2 + 1975)•1974/2 = 1977 • 977 - нечётное число.
Если стёрли 2 чётных числа, записав вместо них разность, то разность - чётное число, оно не влияет на чётность суммы чисел. Если стёрли два нечётных числа и заменили их разностью, то разность - чётное число, оно тоже не влияет на чётность суммы чисел. Разность чётного и нечётного чисел - нечётное число - тоже не влияет на чётность суммы написанных чисел. То есть указанная операция не меняет чётность суммы написанных чисел. Сумма исходных чисел нечётная. Значит, последнее оставшееся число - нечётное (не нуль).
Задача 23.
Можно ли натуральные числа от 1 до 21 включительно разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме всех остальных чисел?
Общая сумма всех чисел 1+2 + 3 + . + 19 + 20 + 21=(1 + 21) · 10 + 11= 231 - нечётное число. Если бы было возможно, что одно из чисел в группе равнялось сумме остальных, то сумма всех чисел в группе была бы чётной, а тогда сумма всех чисел от 1 до 21 была бы чётной. Но эта сумма нечётная.
Ответ: требуемое разбиение невозможно.
Задача 24.
Конь начал двигаться с клетки а1 на шахматной доске. Может ли он через 2001 ход вернуться обратно?
Каждым своим ходом конь переходит на клетку другого цвета. Следовательно, чтобы вернуться на исходную клетку, ему надо сделать чётное число ходов, а число 2001 - нечётное.
Задача 25.
Можно ли расставить в клетках квадрата 4x4 натуральные числа таким образом, чтобы сумма чисел, стоящих в каждой строке, и произведения чисел, стоящих в каждом столбце, были нечётными?
Чтобы произведение чисел в каждом столбце было нечётным, надо, чтобы в каждом столбце стояли только нечётные числа. Но тогда в каждой строке также стоят нечётные числа, а тогда сумма четырёх нечётных чисел будет чётной.
Задача 26.
На доске записаны 1993 нуля, 1994 единицы, 1995 двоек. Разрешается стереть любые 2 цифры и записать вместо них третью: вместо 0 и 1 - двойку, вместо 0 и 2 - единицу, вместо 1 и 2 - нуль. После многократного выполнения этой операции на доске осталась 1 цифра. Какая?
При замене двух цифр одной цифрой сумма всех имеющихся цифр либо увеличивается на 1, либо уменьшается на 1, либо уменьшается на 3, то есть в любом случае меняет свою чётность. В самом начальном положении сумма всех цифр 1994 • 1 + 1995 • 2 + 1993 • 0 = 5984 - чётная. Всего цифр: 1993 + 1994 + 1995 = - = 5982. Одна цифра останется после 5981 замены, таким образом, последняя цифра - нечётная, то есть 1.
Задача 27.
На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевёрнут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые 4 стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?
Посмотрим, как изменяется количество правильно стоящих стаканов при каждой операции.
Очевидно, это зависит от того, сколько из переворачиваемых стаканов стоят правильно, а сколько - вверх дном, а именно:
- если все 4 переворачиваемых стакана стоят правильно, то количество правильно стоящих стаканов уменьшится на 4;
- если из 4 стаканов правильно стоят 3, то это количество уменьшится на 2;
- если 2, то количество не изменится;
- если 1, то увеличится на 2;
- если все переворачиваемые стаканы стояли вверх дном, то количество правильно стоящих стаканов увеличится на 4.
В любом случае количество правильно стоящих стаканов либо остаётся прежним, либо изменяется на чётное число. Поскольку сначала таких стаканов было 15, то в любой момент их будет нечётное количество. Поэтому добиться, чтобы 16 стаканов стояли правильно, нельзя.
На столе стоят 16 стаканов
Задача 1: (5–7) В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?
Решение: Чему может равняться возраст каждого из туристов? Очевидно, одному из чисел: 20, 21, 22, . 35 (всего 16 вариантов). Поэтому, если предположить, что возраст любых двух туристов различен, то в группе не больше 16 человек. Но по условию задачи их 20. Значит, в группе обязательно есть одногодки.
Задача 2: (5–9) На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?
Решение: Посмотрим, как изменяется количество правильно стоящих стаканов при каждой такой операции. Очевидно, что это зависит от того, сколько из переворачиваемых стаканов стоят правильно, а сколько — вверх дном. А именно: — если все четыре переворачиваемых стакана стоят правильно, то количество правильно стоящих стаканов уменьшится на 4; — если из четырех стаканов правильно стоят три, то это количество уменьшится на 2; — если два, то количество не изменится; — если один, то увеличится на 2; — если все переворачиваемые стаканы стояли вверх дном, то количество правильно стоящих стаканов увеличится на 4.
В любом случае количество правильно стоящих стаканов либо остается прежним, либо изменяется на четное число. Поскольку сначала таких стаканов 15, то и в любой момент их будет нечетное количество. Поэтому добиться того, чтобы 16 стаканов стояли правильно, нельзя.
Задача 3: (5–7) Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что этого не может быть. Кто из мальчиков прав?
Решение: Если Петя купил вначале 5 пуль, а всего сделал 50 выстрелов, то 45 пуль он получил за успешные выстрелы. Но для этого ему надо было попасть в цель 9 раз. А он утверждает, что сделал только 8 метких выстрелов. Значит, он не прав.
Задача 4: (5–7) Какое наименьшее число карточек спортлото (6 из 49) надо купить, чтобы наверняка хоть в одной из них был угадан хоть один номер?
Решение: Покажем, что восьми карточек достаточно. Заполним их следующим образом: в первой зачеркнем числа от 1 до 6, во второй — от 7 до 12 и т. д., в последней — от 43 до 48. Не зачеркнутым ни в одной карточке останется только число 49. Поэтому среди выигрышных номеров по крайней мере пять окажутся зачеркнутыми (к сожалению, нельзя гарантировать, что эти пять номеров будут зачеркнуты в одной карточке).
Теперь нам нужно доказать, что семи карточек может не хватить. Действительно, всего будет вычеркнуто не более 42 различных чисел. Поэтому не менее семи чисел окажутся не вычеркнутыми ни в одной из карточек. Может так случиться, что выигрышными окажутся как раз шесть чисел из этих семи.
Задача 5: (5–7) Два гроссмейстера по очереди ставят на шахматную доску ладьи (за один ход — одну ладью) так, чтобы они не били друг друга. Тот, кто не сможет поставить ладью, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре — первый или второй гроссмейстер?
Решение: Вспомним, что поля шахматной доски можно задавать координатами — буквой от a до h, обозначающей вертикаль, и цифрой от 1 до 8, обозначающей горизонталь. Очевидно, что поставить ладью на некоторое поле можно тогда и только тогда, когда ни на горизонтали, ни на вертикали, содержащей это поле, не стоит ладьи. Поэтому описанная выше игра равносильна следующей: гроссмейстеры по очереди вычеркивают из набора букв a,b, ,h и цифр 1,2, ,8 по одной букве и цифре. Очевидно, что как бы ни ходили игроки, после восьмого хода все буквы и цифры будут вычеркнуты. Восьмой ход принадлежит второму, поэтому первый не сможет сделать следующего хода. Заметим «необычность" этой игры: второй игрок выигрывает независимо от того, как будут играть он и его соперник.
Задача 6: (5) Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна. Докажите, что сумма их всех тоже положительна.
Решение: Среди данных чисел должно быть хотя бы одно положительное. Действительно, возьмем любые четыре из этих чисел. Если бы все они были неположительны, то и их сумма была бы неположительной, что противоречит условию. (На самом деле, таким образом доказывается более сильное утверждение — что положительных чисел в данном наборе не меньше 22, однако нам понадобится существование лишь одного такого числа.) Выберем это положительное число. Остальные 24 числа разобьем произвольным образом на шесть четверок. Сумма всех 25 чисел — это сумма выбранного числа (которое положительно по выбору) и сумм получившихся четверок (которые положительны по условию). Она является положительной.
Задача 7: (6–9) Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Вася. Докажите, что какие бы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.
Решение: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9 (См. Т8). Поэтому одна из возможных стратегий для Пети — дополнять на каждом ходу Васину цифру до 9. То есть, если Вася пишет «0", то Петя пишет «9", если Вася пишет «1", то Петя пишет «8" и т.д. Таким образом, после каждой пары ходов Васи и Пети сумма цифр будет увеличиваться на 9. К моменту написания всего числа она станет равной .
Заметим, что указанная стратегия не единственна. Попробуйте доказать, что независимо от того, какие цифры будут стоять перед последним ходом Пети в одиннадцати разрядах, своим последним ходом Петя сможет добиться, чтобы число делилось на 9. То есть все цифры кроме последней Петя может ставить произвольно!
Задача 8: (6–7) Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?
Решение: Обозначим дома буквами A, B, C, D в порядке их следования по окружности. Предположим, колодец вырыт в точке O. Из неравенства треугольника (см. Т17) следует, что OA + OC ≥ AC, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда точка O принадлежит отрезку AC. Аналогично, OB + OD ≥ BD, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда O лежит на отрезке BD. Складывая эти неравенства, получим: OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD. Равенство выполняется только тогда, когда O — точка пересечения отрезков AC и BD.
Поэтому колодец нужно вырыть в точке пересечения диагоналей четырехугольника ABCD.
Задача 9: (6–7) Известно, что число — целое. Докажите, что число — тоже целое.
Решение: Доказательство следует из формулы:
Задача 10: (8–9) В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?
Решение: После каждого боя из соревнований выбывает один боксер — проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание.
Задача 11: (8–9) Вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого — по одной вершине на каждой стороне. Докажите, что центры этих параллелограммов совпадают.
Решение: Пусть A, B, C, D — вершины одного параллелограмма, лежащие на сторонах a, b, c, d другого параллелограмма соответственно (рис. 14). Пусть O — центр параллелограмма ABCD. При симметрии относительно точки O точки A и C, а также точки B и D попарно переходят друг в друга. Прямая a переходит в параллельную ей прямую, проходящую через точку C — образ точки A, то есть в прямую c. Аналогично, прямая b переходит в прямую d. Значит, «внешний" параллелограмм при этой симметрии переходит в себя, то есть точка O является его центром.
Задача 12: (8–9) Было 7 ящиков. В некоторые из них положили еще по 7 ящиков и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков. Сколько всего стало ящиков?
Решение: При каждой операции заполняется один пустой ящик. Поскольку стало 10 непустых ящиков, то было проведено 10 операций. Вначале было 7 ящиков, и при каждой операции добавлялось еще по 7. Поэтому в результате стало 77 ящиков.
Задача 13: (8–9) Передние покрышки автомобиля «Антилопа Гну" выходят из строя через 25000,км, а задние — через 15000,км. Когда О.Бендер должен поменять их местами, чтобы машина прошла максимальное расстояние? Чему равно это расстояние ?
Решение: Каждый километр пробега передних покрышек изнашивает их на ,, а задних — на ,. Поэтому если в середине пути длиной L,км покрышки поменять, то их износ за весь путь будет равен . Приравняв эту величину единице, мы получим путь, который можно пройти до полного износа покрышек. Он равен ,(км).
Очевидно, что сменить покрышки в середине пути — оптимальная стратегия, так как если это сделать в другом месте, то покрышки, прошедшие сзади больше, чем впереди, выйдут из строя раньше. Значит, поменять покрышки надо через 9375,км пути.
Задача 14: (8–9) Найдите наибольшее отношение трехзначного числа к сумме его цифр.
Решение:
Рассмотрим произвольное трехзначное число и его отношение к своей сумме цифр. Имеем
В первом из двух неравенств равенство выполняется при c = 0, а во втором — при b = 0. Поэтому искомое наибольшее равно 100 и достигается для трехзначных чисел, записи которых оканчиваются двумя нулями.
Задача 15: (8–9) В классе каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками, а каждая девочка — ровно с тремя мальчиками. Еще известно, что в классе 31 пионер и 19 парт. Сколько человек в этом классе?
Обозначим количество мальчиков в классе через M, а девочек — через D. Из условий следует, что 31 ≤ D + M ≤ 38 и 3D = 2M. Последнее равенство показывает, что количество девочек четно, а количество мальчиков делится на 3. Более того, , откуда D + M = 5n. Существует единственное целое число, заключенное между 31 и 38, делящееся на 5. Поэтому можно утверждать, что в классе 35 учеников — 14 девочек и 21 мальчик.
Задача 16: (8–9) Каждый из четырех гномов — Беня, Веня, Женя, Сеня — либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор: Беня — Вене: «ты врун"; Женя — Бене: «сам ты врун"; Сеня — Жене: «да оба они вруны, — (подумав), — впрочем, ты тоже". Кто из них говорит правду?
Предположим, Сеня говорит правду. Тогда, согласно его словам, три остальных гнома — вруны. И, тем самым, фраза Бени является правдой. Значит, предположение приводит к противоречию, поэтому Сеня — врун, и его утверждение, что Женя — врун, является ложным. Отсюда заключаем, что Женя говорит правду. Тем самым, Беня — врун, а Веня говорит правду. Отметим, что фраза Сени «да оба они вруны" (относительно Бени и Вени) является ложной (несмотря на то, что Беня действительно врун), поскольку Веня — не врун.
Задача 17: (8–9) В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.
Рассмотрим двоих учеников класса, которые не дружат между собой. (Если таких нет, то все ученики класса дружат между собой, значит, у каждого ученика имеется 24 друга, и задача решена.) Пусть этими двумя будут Вася и Петя. Тогда из оставшихся 23 учеников каждый дружит либо с Васей, либо с Петей. Действительно, если бы кто-то (скажем, Коля) не дружил бы ни с Васей, ни с Петей, то мы имели бы троих учеников, среди которых не было бы друзей. Теперь если предположить, что и Вася, и Петя имеют не более 11 друзей, то всего в классе, кроме этих двоих было бы не больше 22 человек (см. Т2). Полученное противоречие показывает, что один из школьников имеет не менее 12 друзей.
Задача 18: (8–9) Между соседними лагерями 1 день пути. Экспедиции требуется перенести 1 банку консервов в лагерь, находящийся в 5 днях пути от базового и вернуться обратно. При этом: — каждый член экспедиции может нести с собой не более 3 банок консервов; — за 1 день он съедает 1 банку консервов; — оставлять консервы можно только в лагерях. Какое наименьшее количество банок консервов придется взять из базового лагеря для этой цели?
Предположим, что в каждом лагере имеется торговая палатка, где продаются доставленные консервы. Пусть цена одной банки в базовом лагере равна одному рублю, а в каждом следующем — в три раза больше, чем в предыдущем. В таком случае цена банок, доставленных в любой из лагерей не меньше, чем цена банок, взятых для этого из базового лагеря. Действительно, для переноски банки из некоторого лагеря в следующий мы должны взять по крайней мере три банки, две из которых будут съедены на пути туда и обратно соответственно. Стоимость банки в пятом лагере будет при этом 3 5 = 243,руб., значит из базового лагеря нужно взять не менее 243 банок.
Докажем теперь, что 243 банок хватит. Для этого из базового лагеря выходит 81 член экспедиции. 54 человека из них, принеся по банке в первый лагерь, сразу возвращаются. Остальные 27 человек, взяв по три банки, идут во второй лагерь. 27 банок при этом остаются в первом лагере, чтобы обеспечить им возвращение из первого лагеря в базовый. Так происходит в каждом лагере. Две трети дошедших участников возвращаются, а треть — идет дальше. Таким образом, из четвертого лагеря в пятый выйдет один человек. Он и принесет вожделенную банку в пятый лагерь.
Олимпиадные задачи на тему «Чётность» с ответами, 5 класс
Если мы воткнём вилку в столешницу, вилка будет стоять в столе (или на столе?). Звучит странновато вроде, но это так. То же самое, если мы воткнем лопату в огород, лопата будет стоять в земле.
Итак, что же лежит, а что сидит, а что стоит? Давайте разберёмся.
Возьмём пресловутую тарелку в руку, вынув её из сковородки, и перевернём нашу тарелку вверх дном. Хотя, если бы я написал “вверх ногами”, тарелка всё равно была бы способна стоять. Именно “стоять”. А почему тарелка стоит, когда она находится, например, на поверхности кухонного стола?
Показать полностью. Мы перевернули тарелку и увидели дно тарелки. У тарелки, оказывается, есть дно. И как раз на этой специальной плоскости тарелка и стоит. А если дно тарелки не касается своим дном какой-либо поверхности, то функциональная сторона дна остаётся не задействованной. И тогда мы сможем сказать, что тарелка лежит. То есть, “лежать” – это положение, которое изначально не было задано объекту, способному стоять, и которое не является перманентным для такого объекта. То есть, у объекта нет специального, заранее продуманного конструкционного свойства, необходимого для “лежания”. А у нашей тарелки есть дно, которое является этой самой функциональной поверхностью, необходимой для положения тарелки, наиболее удобного для её использования. Точно также “стоят” сапоги, люди, коты (если они стоят на всех лапах), автотранспортные средства передвижения (если они касаются поверхности только своими колёсами, гусеницами или рулевой лыжей), любая мебель, монитор компьютера – одним словом, всё, что имеет специальную плоскость или приспособление для стоячего положения.
А что же тогда способно “сидеть”? Коты, собаки и все остальные четвероногие животные способны “сидеть”, если их туловище оказывается очень близко к поверхности или касается этой поверхности. Ещё сидят (а не стоят) птицы. Почему? Потому что их тела находятся в такой близости от горизонтальной поверхности, что мы не всегда замечаем расстояние, которое отделает тело птицы от плоскости. Иногда мы, конечно, видим это расстояние до тела птицы, но отчего-то это расстояние принято считать недостаточным для того, чтобы назвать птицу “стоящей”. Поэтому все птицы “сидят”. Почти все. Стоит только страус. Уж там-то расстояние от земли до туловища настолько велико, что страуса почли за исключение из правил.
Ещё сидят люди, когда они явно не стоят и явно не лежат. То есть, когда люди опираются на плоскость той частью тела, которая не предназначена для стояния или лежания. Попа не предназначена ни для того, ни для другого. “Сидеть” можно на попе. На ногах тоже можно сидеть, если их согнуть и сесть на них. Но тогда “стояние на ногах” не в счёт, потому что ноги в таком случае будут использоваться не по назначению. Все остальные выкрутасы с человеческим телом можно считать лежанием или стоянием: на голове на руках “стоят” (если умеют). Ещё в русском языке есть выражение “стоять на ушах”, но в прямом смысле его воспринимать нельзя: стоять на ушах – означает беситься, шуметь, бегать и прыгать от избытка внутренней неуправляемой энергии, вести себя экспрессивно и беспорядочно.
Но это не всё. Все вещи, которые предназначены для держания в руках, - тоже сидят, потому что у них есть ручки, - элементы конструкции, предназначенные для нахождения в руке человека. Вилки, ложки, ножи, топор, сито, компьютерные мыши, рукоять катаны или любого другого оружия. То есть, обо всём, что держится рукой, можно сказать: оно “сидит” в руке.
Кроме того, любая одежда или обувь тоже сидит на теле и на ноге. Обратите внимание: сапог на ноге “сидит”, но если сапог одет на ногу, стоящую на земле (на горизонтальной плоскости), то он к тому же ещё и “стоит”. Сидит на ноге, а стоит на земле. И так с любой обувью.
А ещё ветви деревьев “сидят” в пальцах птиц, севших на эти ветви.
Телеграфные столбы, между прочим, “стоят” не потому что они имеют собственную плоскость для стоячего положения, а потому что столбы находятся в ярко выраженном вертикальном положении. Но если определять состояние столбов в их взаимосвязи с землёй, то получается, что столбы “сидят” в земле (то есть, погружены в землю). Однако, в обычной речи русские, говоря о столбах, произносят “столб стоит”, “столбы стоят”, имея ввиду их вертикальное положение в пространстве. Столб вообще не может “лежать” или “сидеть”. Даже корень слова “столб” (сто) имеет не то греческое, не то латинское происхождение, и имеет значение “стоять”.
Итак, если птица живая (любая, кроме страуса), то она “сидит” (сидит на земле, сидит на ладони, сидит на ветке, сидит на подоконнике. Птица везде сидит, если ещё не улетела). Если же птица мёртвая, то она свалится на бок, то есть будет “лежать”.
Если вилка находится не в руке, а на какой-либо поверхности (даже если она находится не в явно лежачем положении), то получается, что вилка “лежит”. Вилка или нож “стоят”, если их воткнуть в горизонтальную поверхность. И если даже каким-то образом воткнуть ложку, то ложка тоже будет “стоять”, так как будет иметь вертикальное положение.
Говоря о лежачих вещах, остаётся подчеркнуть факт: лежат вещи, не имеющие плоскости для стояния. Тут можно было бы возразить: “Если человек лежит на боку, то это можно расценить как стоячее положение?” – Нет. У человека, как и у всех антропоморфных существ, есть плоскости для стандартного, правильного стоячего положения. И эти плоскости – ступни ног. И если человек не “сидит” на ногах или на попе, и если он не “стоит” на ступнях ног, не “стоит” на руках, не “стоит на ушах” и не стоит на голове, значит человек “лежит”.
А ещё “лежат” крокодилы, змеи, черепахи, и все пресмыкающиеся существа, которые опираются на землю или сильно задевают за неё своим животом. “Лежит” брошенный на бок велосипед, на боку кот “лежит”. “Лежат” ткани, на тумбочке “лежат” наручные часы, “лежит” плюшевый крокодил, на столе лежат наушники, тетради, книги, письменные принадлежности, линейки, сотовый телефон – всё, что не имеет плоскости для стоячего положения и всё, что не способно сидеть. И если мешок с содержимым не привален к стене, то он “лежит”, а если привален, то стоит.
Существуют ручные сумочки, имеющие жёсткое дно, и за счёт этого дна сумочки “стоят”. “Стоят” цветы на своих стеблях. Но если цветы сорвать, то они будут “лежать” на столе. А если сорванные цветы поставить в вазу, то они будут “стоять”.
Вот так вот. В принципе, не сложно. )
Читайте также: