На столе лежат 9 карточек с цифрами от 1 до 9
Определение . Чётными мы называем те числа, которые делятся нацело на 2. Все остальные числа мы называем нечётными .
Основные задачи
0. Как-то математик заказал двойной обед. Он не знал, сколько стоит обед. Но едва взглянув на чек, он сказал кассиру: «Вы ошиблись!» Как он это определил?
Решение. Пусть обычный обед стоит n рублей. А математик заказал двойной обед. Значит, он должен заплатить за него вдвое больше, то есть 2× n рублей. Число 2× n — четное, поскольку оно делится на 2. Должно быть, математик увидел на чеке нечетную сумму и понял, что кассир ошибся.
1. а) Аня и Боря играют в такую игру. Сначала Аня пишет на доске натуральное число, а потом на этой же доске пишет число Боря. Если сумма окажется нечётной, то выиграет Аня, а если чётной — то Боря. Может ли кто-то из них всегда выигрывать, независимо от действий своего соперника? б) Гриша и Дима играют в другую игру. Каждый из них в тайне от другого пишет число на листе бумаги. Потом они показывают друг другу написанные числа. Если их произведение нечётное, то выиграет Гриша, а если чётное — то Дима. Может ли кто-то из них всегда выигрывать, независимо от действий своего соперника?
а) Выигрывать может Боря. В самом деле, если Аня напишет нечетное число, Боря может также написать четное число, и сумма написанных чисел будет четной. Если же Аня напишет четное число, Боря может написать четное число, и вновь сумма написанных чисел будет четной.
б) Выигрывать может Дима. Независимо от придуманного Гришей числа, он всегда может написать четное число. Тогда произведение числа, написанного Гришей, и четного числа, написанного Димой, будет обязательно четным.
2. Заполните табличку:| Ч + Ч = | Ч × Ч = | Н × . × Н × Ч × Н × . × Н = |
| Ч + Н = | Ч × Н = | Н × . × Н × . × Н = |
| Н + Н = | Н × Н = | Н + . + Н + . + Н = |
| Ч + Ч = Ч | Ч × Ч = Ч | Н × . × Н × Ч × Н × . × Н = Ч |
| Ч + Н = Н | Ч × Н = Ч | Н × . × Н × . × Н = Н |
| Н + Н = Ч | Н × Н = Н | Н + . + Н + . + Н = Ч/Н |
Сначала заполним первые два столбца таблицы. Это не представляет особых трудностей. Для чисел от 0 до 9 соответствующие правила легко проверяются. Дальше можно воспользоваться признаком делимости на 2: число делится на 2 тогда и только когда, когда его последняя цифра делится на 2 . Последняя цифра суммы двух чисел равна последней цифре суммы их последних цифр. То же самое относится и к произведению (вспомните правила сложения и умножения чисел в столбик!). Поэтому достаточно проверить правила сложения и умножения для чисел, не превосходящих 9.
Наконец, заполним последнюю ячейку таблицы. Стоящая там сумма зависит от четности количества слагаемых. Если это количество четно, все слагаемые можно разбить на пары: (Н + Н) + (Н + Н) + . + (Н + Н). Согласно правилу из первого столбца таблицы, Н + Н = Ч. Поэтому (Н + Н) + (Н + Н) + . + (Н + Н) = Ч + Ч + . + Ч. А сумма любого количества четных слагаемых четна (это тоже следует из правила, записанного в первом столбце таблицы). Поэтому (Н + Н) + (Н + Н) + . + (Н + Н) = Ч + Ч + . + Ч = Ч.
Если же количество слагаемых в сумме нечетно, то при попытке разбить их на пары одно окажется «лишним»: (Н + Н) + (Н + Н) + . + (Н + Н) + Н. Из предыдущих рассуждений следует, что эта сумма равна Ч + Ч + . + Ч + Н = Ч + Н = Н (здесь мы снова воспользовались правилами из первого столбца таблицы).
Обозначим наши числа a и b . Тогда интересующая нас величина равна a · b ·( a+b ).
Рассмотрим два случая:
- Пусть a и b имеют одинаковую четность. Тогда их сумма четна. А значит, и наша величина получится четной, так как четно ( a+b ) (см. задачу 2).
- Пусть a и b разной четности. Тогда их произведение четно (так как либо а , либо b четно). А значит, наша величина получится четной, так как четно а · b (см. задачу 2).
4. Степашка сосчитал сумму 13 чисел и получил 2010, а Филя перемножил эти числа и получил 20112758945. Докажите, что кто-то из них ошибся.
Решение. Допустим, что ни Степашка, ни Филя не ошиблись. У Фили произведение чисел получилось нечетным, значит, все 13 множителей должны быть нечетными (см. задачу 2). Таким образом, Степашка складывал 13 нечетных чисел, и сумма должна была получиться нечетной. Но 2010 — четное число. Полученное противоречие показывает, что кто-то допустил ошибку.
5. Восемь кустов малины растут в ряд. Известно, что число ягод, растущих на любых двух соседних кустах, отличается на 1. Может ли общее количество ягод равняться 2011?
6. Парламент состоит из двух равных по численности палат. В голосовании участвовали все депутаты, воздержавшихся не было. После подведения итогов было объявлено, что решение принято большинством в 25 голосов (то есть за одно из решений проголосовало на 25 человек больше, чем за другое). Лидер оппозиции заявил, что это обман. Как он это определил?
Решение. Пусть за первое решение было отдано n голосов, тогда за второе решение было отдано ( n +25) голосов. Значит, всего было отдано n+n+25=2·n+25 голосов. Но число 2·n четно, а число 25 нечетно, поэтому их сумма нечетна. В то же время, так как в парламенте две равные по численности палаты, общее количество голосов должно быть четным (оно равно удвоенному количеству членов одной палаты). На это противоречие и обратил внимание лидер оппозиции.
7. Можно ли заплатить без сдачи: а) 20 копеек семью монетами по 1, 5 и 10 копеек? б) 20 копеек семью монетами по 1 и 5 копеек? в) 25 копеек восемью монетами по 1 и 5 копеек?
а) Да. Например, 10 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.
б) Нет. Сумма нечетного числа (7 монет) нечетных слагаемых (1 или 5 коп) нечетна, а число 20 четно.
в) Нет. Сумма четного числа (8 монет) нечетных слагаемых (1 или 5 коп) четна, а число 25 нечетно.
8. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
Решение. Среди выписанных чисел пять четных и пять нечетных, поэтому их сумма нечетна. Так что если перед всеми числами поставить знак «+», нуля не получится (ведь ноль — четное число). Если теперь знак «+» перед каким-нибудь числом заменить на знак «–», четность написанного выражения не изменится. Например, 1 + 2 + . + 9 - 10 = 1 + 2 + . + 9 + 10 - 2·10. Поэтому при такой замене из суммы фактически вычитается удвоенное число, перед которым поменяли знак, то есть четное число. Четность суммы при этом не изменяется. Таким образом, при любой расстановке знаков «+» и «–» значение выражения будет нечетным, а значит, не равным нулю.
Дополнительные задачи
9. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз — на 2 см, в третий — на 3 см, и так далее. Докажите, что он не сможет за 2010 прыжков вернуться в начальную точку.
Решим эту задачу по аналогии с предыдущей. Будем считать, что у нас в ряд написаны числа от 1 до 2010. Надо расставить между ними знаки «+» (если кузнечик прыгнул вправо на соответствующее число сантиметров) и «–» (если кузнечик прыгнул влево) так, чтобы значение полученного выражения оказалось равным нулю (это и будет означать, что кузнечик в конце концов вернулся в начальную точку).
Среди чисел от 1 до 2010 есть 1005 четных и 1005 нечетных. Как и в предыдущей задаче, независимо от расстановки между ними знаков получим выражение, значение которого нечетно, а значит, не равно нулю.
10. На столе лежат шесть монет: три орлом вверх, три решкой вверх. За один ход разрешается переворачивать любые две монеты. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все монеты лежали решкой вверх?
- Если переворачиваются 2 орла, то число Решек увеличивается на 2.
- Если переворачиваются 2 решки, число Решек уменьшается на 2.
- Если переворачивается одна Решка и один Орел, то число Решек не изменяется.
11. На 99 карточках пишут числа 1, 2, . 99, перемешивают их, раскладывают чистыми сторонами вверх и снова пишут числа 1, 2, . 99. Для каждой карточки складывают два ее числа и 99 полученных сумм перемножают. Докажите, что результат четен.
Достаточно доказать, что найдется хотя бы одна карточка, для которой сумма чисел на ней четна (ведь произведение 99 чисел четно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей четен).
Допустим, что не существует такой карточки, для которой сумма написанных чисел четна. Это означает, что на каждой карточке написаны числа разной четности. Значит, каждому нечетному числу от 1 до 99 можно подобрать в пару четное число от 1 до 99, а каждому четному числу можно подобрать в пару нечетное число («парное» число написано на обороте соответствующей карточки). Но тогда количество четных и нечетных чисел от 1 до 99 должно быть одинаковым. А на самом деле из этих чисел 50 нечетных и 49 четных. Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, и хоть на одной карточке будут написаны числа одинаковой четности. Тогда их сумма будет четной, что и доказывает утверждение задачи.
12. На чудо-дереве растет 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимает с дерева ровно два фрукта. Если он снимает одинаковые фрукты, то на дереве появляется новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов на дереве останется только один фрукт. Какой?
Как решить задачу: на столе лежали карточки с цифрами от 1 до 9 (см)?
На столе лежали карточки с цифрами от 1 до 9 (всего 9 карточек). Катя выбрала четыре карточки так, что произведение цифр на двух из них равно произведению цифр на двух других. Затем Антон забрал ещё одну карточку со стола. В итоге на столе остались лежать карточки с цифрами 1, 4, 5, 8. Карточку с какой цифрой забрал Антон
Итак, на столе лежат карточки с номерами: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
В конце, после всех манипуляций остались невостребованные карточки: 1,4,5,8.
Значит их можно исключить из карточек, которые взяли Катя и Антон:
Из них подберём комбинации из 2-х чисел с равными произведениями: 3*6=18 и 2*9=18.
Значит Катя взяла карточки: 2,3,6,9.
Осталась лишняя карточка - 7.
Ответ: Антон забрал карточку с цифрой 7.
Спасибо автору вопроса за то, что он постоянно подкидывает интересные задачки по математике.
Вначале узнаем какая разница в возрасте между самым старшим и самым младшим туристами. Старшему туристу 35 лет, а младшему 20.
Подумаем о том сколько людей будут иметь разный возраст в диапазоне возрастов от 35 лет до 20. Это 16 человек, так как считается и возраст 35 лет и 20 лет.
А туристов у нас 20 человек.
Следовательно четверо туристов, обязательно будут одногодками.
Ответ: среди туристов обязательно есть одногодки. Количество одногодков равно четырем.
Интересно в каком возрасте ребенок сможет решить эту задачу.
Из девяти джентльменов можно составить 36 различных пар:
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69,
если речь в задаче идёт о наименьшем количестве кубков, то тогда нужно допустить что за 350 дней регаты все пары участвовали хотя бы по одному разу. Тогда в среднем каждая пара привезла по 9.7 кубка. Это значит, что они привозили кто по 9, а кто по 10 кубков. А если так, то одной паре достаточно привезти 11 кубков, чтобы стать победителем.
Пусть в лесу х деревьев, из них дубов-0,99х.
Вырубили у дубов, стало (х-у) деревьев и тогда:
х=2у,то есть вырубили 50 % леса.
Пояснение: пусть в лесу 1000 деревьев, тогда:
х=1000,у=500,бвло 990 дубов, осталось 490 дубов( 98 % от 500 оставшихся деревьев.
Проще всего найти решение если составить схему.
Все девочки должны переместится вперед. Каждая перестановка позволяет переместится одной девочке на одну позицию.
Очевидно, что первой девочке для того чтобы занять первое место нужно сместится на одну позицию. Второй девочке, стоящей четвертой в очереди, для занятия своего законного второго места, необходимо переместится на две позиции. Третья переместится на три позиции. И так далее. Последняя сделает восемь перестановок. В результате число перемещений будет равно сумме чисел от единицы до восьми.
Мальчики при этом займут свои номера в очереди с девятого по шестнадцатый.
Чтобы решить, разложим число 2015 на простые множители. Число не четное, значит на 2 не делится, на 3 тоже не делится. Число заканчивается на 5, значит делится на 5. 2015/5=403. На 7 и 11, числр 403 не делится, но делится на 13. 403/13=31.
На столе лежат 9 карточек с цифрами от 1 до 9
Под понятием математической игры мы понимаем игру двух соперников, обладающую следующим свойством. В каждый момент игры состояние характеризуется позицией , которая может изменяться только в зависимости от ходов игроков. Некоторые позиции являются выигрышными для одного из игроков. Добиться выигрышной для себя позиции и есть цель каждого. Иногда игры допускают ничью. Это означает, что ни один из игроков не может добиться выигрышной для позиции, или некоторые позиции объявляются ничейными.
Например, шахматы, шашки, крестики–нолики являются математическими играми. А игра в кости (домино), большинство карточных игр математическими играми не являются, так как состояние игры зависит не только от ходов соперника, но и от расклада.
В математических играх существуют понятия выигрышной стратегии , то есть набора правил (можно сказать, инструкции или алгоритма) следуя которым, один из игроков обязательно выиграет (не зависимо от того, как играет его соперник) и ничейной стратегии , следуя которой один из игроков обязательно добьётся либо выигрыша, либо ничьей.
В любой математической игре существует либо выигрышная стратегия для одного из игроков, либо ничейные стратегии для обоих (если игра допускает ничью). В зависимости от этого игра называется выигрышной для первого или второго игрока, или ничейной.
Например крестики–нолики (на доске 3×3) являются ничейной игрой. К какому из перечисленных случаев относятся шахматы и шашки неизвестно. Хотя стратегия (либо выигрышная, либо ничейная) в этих играх существует, она не найдена, поэтому соревнования по этим играм пока представляют интерес.
Игра в кошки–мышки (задача 9 занятия 6), является выигрышной для мышки в случае а) и для кошки в случае б). Действительно, раскрасим узлы доски в два цвета в шахматном порядке. После каждого хода кошки она оказывается с мышкой в узлах разного цвета, поскольку любой ход меняет цвет. Значит, чтобы всё время убегать от кошки, мышка может ходить как угодно, лишь бы не прыгать самой в лапы кошке. В случае же б) имеется ход, позволяющий кошке не сменить цвет (ход по наклонной линии в левом верхнем углу). Сделав этот ход, кошка без труда загонит мышку в любой другой угол и поймает (докажите это строго сами).
Большинство из задач этого листка представляют собой правила некоторой математической игры. Ваша цель - определить, является ли игра выигрышной (и для какого из игроков) или ничейной и предъявить соответствующую стратегию. Заметим, что требуется не только уметь выигрывать, но и составить «инструкцию», следуя которой, выиграет любой человек. Для начала предлагаем поиграть в эти игры между собой.
Спички. В кучке лежат 100 спичек. Двое по очереди берут спички из кучки. За один ход разрешается взять одну или две спички. Взявший последнюю спичку выигрывает.
Щёлк. Доска представляет собой прямоугольную шоколадку, разделённую бороздками на дольки. Ход состоит в том, что игрок выбирает любую ещё не съеденную дольку и съедает все дольки, расположенные от выбранной выше и левее, иными словами съедает уголок. Съевший последнюю дольку, проигрывает. Рассмотрите случаи размера шоколадки а) 2×8; б) 8×8.
Крестьяне и свиньи. Двое крестьян (К) ловят двоих свиней (С) на доске (рис. 8). Ходят по очереди. За каждый ход, ходит либо один из крестьян, либо одна из свиней. Смогут ли крестьяне поймать свиней?
Лото–15. На столе лежат 9 карточек с цифрами от 1 до 9. Двое по очереди берут карточки. Выигрывает тот, у кого на руках окажутся три карточки с суммой 15.
Ним. Имеются несколько кучек камней. Двое по очереди берут камни. За один ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучи. Выигрывает взявший последний камень. Рассмотрите случаи начального количества камней: а) две кучки по 10 камней; б) три кучки по 10 камней.
Кони. На доске 3×3 стоят два белых и два чёрных коня. Можно ли, двигая коней по правилам шахмат (в любом порядке) из позиции а) получить позицию б)?
Читайте также: