Канат лежит на горизонтальной поверхности стола так
Рассмотрим обычную, на первый взгляд, задачу. С небольшими вариациями она не раз предлагалась на экзаменах и физических олимпиадах. Вот ее условие:
Шнур длиной L лежит на гладком горизонтальном столе, причем его небольшая часть свешивается с края стока. Лежащий на столе конец шнура сначала удерживают, а затем отпускают. Определите скорость шнура υ и его ускорение а к тому моменту, когда длина свешивающейся части будет равна х.
Приведем обычно встречающееся решение этой задачи. Если масса шнура m, то масса его свешивающейся части равна \(~m \frac xL\). Центр тяжести этой части шнура находится на \(~\frac x2\) ниже поверхности стола, значит, при соскальзывании потенциальная энергия шнура уменьшилась на \(~mg \frac xL \frac x2\). Согласно закону сохранения энергии, эту величину можно приравнять к кинетической энергии шнура \(~\frac\). Тогда для скорости шнура получаем
Ускорение всему шнуру придает сила тяжести его свешивающейся части, поэтому из второго закона Ньютона \(~ma = mg \frac xL\) следует
Итак, задача решена? Полученные выражения имеют правильную размерность и приводят к вполне разумным результатам в предельных случаях х → 0 и x → L. Значит, говорить больше не о чем?
Не судите опрометчиво. Попробуем ответить на один провокационный вопрос: как меняется при движении шнура горизонтальная проекция px его импульса [1] ? Поскольку горизонтальную скорость имеет только находящаяся на столе часть шнура массой \(~m \frac \), получаем
\(~p_x = \frac mL \sqrt x(L - x)\) .
Но ведь для уменьшения импульса необходима внешняя сила, тормозящая соскальзывание. Где же она? Не ищите — в отсутствие трения такой силы не найти. И потому неясно, за счет чего гасится горизонтальная проекция скорости шнура.
Правильный ответ такой: никакого уменьшения импульса не происходит. Мы предполагали, что каждый элемент шнура, проходя край стола, резко меняет горизонтальное движение на вертикальное, именно при этом и теряется горизонтальный импульс. Но может быть, реальное движение сложнее? Возможно, набрав достаточно большую скорость, элементы шнура сохраняют ее (по крайней мере, частично) и после соскальзывания со стола и тогда никакого противоречия не возникает?
Простой опыт подтверждает справедливость нашего предположения. Мы проделали его с металлической цепочкой, которая соскальзывала с лежащего на столе листа стекла (трение в этом случае достаточно мало). Следить за падением цепочки трудно, да в этом и нет необходимости. Достаточно присмотреться к упавшей цепочке (рис. 1). Она образует на полу довольно плотный «комок» под краем стола, но от комка отходит длинный и почти прямой «хвост» перпендикулярно краю стола. Этот хвост — звенья цепочки, упавшие последними. Значит, они действительно падали не вертикально.
Какие же элементы шнура (или цепочки), покинув край стола, движутся все же вертикально? Рассмотрим малый участок шнура длиной Δl и массой \(~\Delta m = m \frac\), огибающий в данный момент край стола (рис.2). Край стола будем считать цилиндрической поверхностью радиусом R L. На выделенный участок действуют силы упругости T1 и T2 и реакция опоры края стола ΔN (силой тяжести выбранного элемента мы пренебрегаем) . Полагая T1 = T2 = Т, запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на радиальное направление:
\(~\Delta m a_p = 2T \sin \frac - \Delta N\) .
Отсюда следует, что сила ΔN при \(~x = \frac L2\) обращается в ноль, а при больших х становится отрицательной. Реально это означает, что при \(~x = \frac L2\) шнур перестает давить на угол стола, а дальше покидающие стол элементы шнура «вылетают» в сторону.
Таким образом, полученные в самом начале формулы для скорости и ускорения шнура справедливы лишь при \(~x \le \frac L2\). А как же движется шнур дальше? Вопрос этот очень непростой, и вряд ли на него можно ответить без эксперимента (например, стробоскопической съемки падающей цепочки). Можно лишь предположить, что с увеличением высоты падения все большая часть цепочки будет переходить из комка в хвост за счет взаимодействия между частями цепочки в полете.
Коржов Н.И. Задача о веревке на столе
Коржов Н.И. Задача о веревке на столе // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2003. – № 5. – С. 65-71.
Пусть однородная веревка длиной L и массой m соскальзывает с горизонтального стола перпендикулярно его краю (рис. 1), и в некоторый момент длина свисающего конца равна х.
В общем случае на веревку действуют:
1) сила тяжестидействующей на свисающую часть веревки длиной х,и силы тяжести
действующей на часть веревки, находящейся на столе;
2) сила реакции края стола3) сила нормальной реакции поверхности стола
которая компенсируется силой тяжести4) сила кремния веревки о стол
Если конец веревки смещается на расстояние Δx за время Δt, то по определению его скорость
Поскольку веревка не является ни материальной точкой, ни абсолютно твердым телом, движущимся поступательно, то второй закон Ньютона в формегде — изменение импульса системы.
Если за время Δt скорость куска веревки изменилась с , а масса — с ml до ml + Δml, то импульс этого куска изменился на
Пренебрегая слагаемымполучим с учетом (5)
Если масса куска веревки увеличивается (т1),то в выражении (6) второе слагаемое имеет знак «+», если уменьшается (т2)— знак «–».
Запишем закон изменения импульса для всей веревки в целом:
Проецируя на горизонтальную ось с учетом (6), имеем
откуда с учетом(3)
Аналогично, проецируя на вертикальную ось, имеем
Пусть в начальный момент веревка покоится, а со стола свешивается часть веревки длиной l. Нулевой уровень потенциальной энергии выберем на уровне поверхности стола. Тогда в начальном состоянии веревка обладает только потенциальной энергией
В тот момент, когда со стола свешивается часть веревки длиной х > l (конечное состояние), потенциальная энергия веревки
Для нахождения работы силы трения найдем силы трения в начальном и конечном состояниях:
Поскольку сила трения линейно зависит от x,воспользуемся средним значением силы трения
Тогда работа силы трения
В соответствии с законом сохранения энергии (при условии равенства скоростей всех элементов веревки)
В соответствии с выражением (5) с учетом равенства (4)
С учетом формул (13) и (14) после преобразований формулы (7) и (8) примут вид
Очевидно, что по формуле (15) можно также вычислять силу Tнатяжения веревки в сечении, находящемся на краю стола. Это следует из третьего закона Ньютона.
А сейчас перейдем к анализу выражения (16) при различных начальных условиях.
1. Трение отсутствует (μ = 0), вся веревка вначале лежит на столе (l = 0).В этом случае
Сравните эти выражения с соответствующими формулами в [1] (№ 185), [2] (№ 8.21), [3]. Причина расхождения очевидна — в указанных источниках второй закон Ньютона применен вне границ его применимости. Из формул (17) и (18) следует, что при длине свисающего конца веревки ) не должна изменяться (в горизонтальном направлении внешняя сила перестает действовать на веревку). Значит, продолжающий движение по столу конец веревки должен уже не сразу изменять направление своего движения на вертикальное, а «вылетать» за край стола в сторону, что подтверждает и опыт с металлической цепочкой, движущейся по горизонтальной стеклянной поверхности стола. Внутренние же силы (силы упругости) могут изменять только скорости отдельных частей веревки. Итак, начиная с момента, когда , однако, как показано выше, выражения для N иTполучены неверные. Наконец, запишем выражения для скорости и ускорения веревки при указанных выше условиях:
2. Трение отсутствует (μ = 0), но в начальный момент веревка удерживается на столе так, что с края стола свешивается ее часть длиной l. В этом случае из соотношений (15) и (16) имеем:
Очевидно, что при
( ) веревка, как и в первом случае, перестанет действовать на край стола. Значит, искать ее скорость в момент полного соскальзывания со стола ([7]) бессмысленно по указанной выше причине.
3. Трение между столом и веревкой есть, причем в начальный момент с края стола свешивается конец веревки длиной l. Пусть при данных условиях веревка находится на грани скольжения. В этом случае из условия равновесия веревки
найдем коэффициент трения
Тогда из выражений (15) и (16) с учетом равенства (23) имеем:
силы N и T вновь исчезают. Необходимо установить, выполняется ли условие принимает максимальное значение , откуда сразу следует, что1. Буховцев Б.Б., Кривченков В.Д., Мякишев Г.Я., Сараево И.М. Сборник задач по элементарной физике. — М.: Наука, 1987.
2. Гельфгат И.М., Генденштейн Л.Э., Кирик Л.А. 1001 задача по физике с ответами, указаниями, решениями. — М.: Илекса, 2001.
3. Гельфгат И. Сколько веревочке ни виться // Квант. — 1993. — № 1/2.
4. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. — М.: Высшая школа, 1973.
5. Парфентъева Н.А., Фомина М.Ф. Физика. Теория, задачи, решения. — Мн.: Альфа, 1995.
6. Жилко В.В. Физика на вступительных экзаменах в вузы. Конкурсные задачи и решения. — Мн.: Красико-Принт, 2002.
7. Лернер Г.И. Физика. Решение школьных и конкурсных задач. Уроки репетитора. — М.: Новая школа, 1996.
8. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. — М.: Наука, 1988.
Читайте также: