Рассчитать гибкость стального стержня

Обновлено: 23.01.2025

Разницу в работе гибких и жестких стержней под воздействием нагрузки люди заметили достаточно давно. Так один из мастеров восточных единоборств, гуляя по зимнему саду, сделал примерно следующий вывод: жесткая сухая ветка под тяжестью налипшего снега ломается, а гибкая ветка прогибается и, сбросив налипший снег, возвращается в прежнее положение с минимумом повреждений.

Если перевести это гибкую поэтическую аллегорию, помогавшую мастеру восточных единоборств привлекать новых учеников, на современный жесткий язык теории сопротивления материалов, то звучать это будет примерно так: если напряжения в рассматриваемом поперечном сечении жесткого элемента конструкции превышают значение нормативного сопротивления, то это приведет сначала к значительным пластическим деформациям, а затем, при увеличении напряжений, и к разрушению жесткого элемента (будет это разрушение хрупким или вязким, принципиального значения не имеет). В то же время гибкий элемент конструкции под действием такой же нагрузки, не разрушится, но потеряет устойчивость.

Конечно же мне, как и любому другому обычному человеку, гораздо ближе и понятнее определение жесткости и гибкости, данное средневековым мастером восточных единоборств. Но справедливости ради следует отметить, что этот мастер сильно перегнул палку (точнее ветку или, выражаясь языком строительной механики, стержень). Дело в том, что гибкий стержень потеряет устойчивость задолго до того, как значение нагрузки в переводе на напряжения в рассматриваемом сечении достигнет уровня нормативного сопротивления.

Чтобы было более понятно, о чем идет речь, приведу еще один пример.

Если взять достаточно ровный человеческий волос со среднестатистического человека длиной 10 см и попробовать его разорвать руками, то это будет не так уж и просто, для этого следует приложить достаточно большую физическую силу, или выражаясь по-научному, создать достаточно большие растягивающие напряжения в волосе или растягивающую силу около 5 кг (может больше, может меньше, не в этом суть).

А вот если мы попробуем поставить этот волос в вертикальное положение, например, на стол, то волос стоять не будет, а будет сгибаться под действием своего собственного веса, вряд ли превышающего несколько миллиграмм, даже если мы обеспечим ему такое закрепление на верхней опоре, при котором верх волоса не сможет смещаться в горизонтальном направлении, но сможет смещаться в вертикальном направлении.

Вот такое, условно говоря, сгибание и означает потерю устойчивости. Таким образом использовать очень гибкие стержни в качестве сжатых элементов строительных конструкций не имеет никакого смысла.

Между тем, если мы отрежем от этого же волоса кусок длиной 1 см, то этот кусок уже будет сгибаться не так сильно под действием собственного веса и будет обладать некоторой устойчивостью, а если это будет волос длиной 2-5 мм, то об него уже можно сильно уколоться, а волос при этом даже и не согнется.

Как, надеюсь, понятно из вышеприведенного примера, даже для стержня с постоянными геометрическими характеристиками поперечного сечения (радиусом инерции и моментом инерции) его устойчивость зависит от расчетной длины стержня. Другими словами один и тот же стержень может быть и гибким и жестким в зависимости от его расчетной длины.

Абсолютно жестких и абсолютно гибких стержней, пластин и объемных тел не существует, хотя подобные понятия и могут использоваться для упрощения некоторых расчетов. А для того, чтобы оценить жесткость рассматриваемого элемента используется понятие - гибкость элемента. Как правило гибкость элемента обозначается литерой λ.

Для того, чтобы определить гибкость элемента, достаточно расчетную длину элемента l_o разделить на радиус инерции i поперечного сечения (при условии, что параметры поперечных сечений постоянны по всей длине элемента):

Примечание: в различных нормативных документах указанные характеристики могут иметь и другие обозначения, но принципиального значения это не имеет.

Таким образом чем меньше гибкость элемента, тем он более жесткий, соответственно чем больше гибкость элемента, тем более он гибкий. А чтобы определить, не является ли такая гибкость чрезмерной для рассматриваемого элемента конструкции, используются таблицы из соответствующих нормативных документов.

Например, при расчете сжатых элементов стальных конструкций используется такая таблица:

Таблица 19* (согласно СНиП II-23-81 (1990))

А при расчете деревянных конструкций, такая:

Таблица 251.1. Предельные значения гибкости (согласно СНиП II-25-80 (1988))

На значение гибкости влияет и модуль упругости материала. Чем меньше значение модуля упругости, тем больше может быть гибкость. В связи с этим предельно допустимые значения гибкости могут быть разные для элементов из различных материалов, что и отражено в указанных таблицах.

А еще, если приглядеться к таблице 251.1 повнимательнее, то окажется, что предельные значения гибкости устанавливаются не только для сжатых, но для растянутых элементов, для которых гибкость вроде бе не должна иметь значения как в примере с растягиваемым волосом. Впрочем, расчет растягиваемых элементов конструкций - это отдельная тема.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины - номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).

Основы расчета центрально сжатых стержней

Исчерпание несущей способности длинных гибких стержней, работающих на осевое сжатие, происходит от потери устойчивости (рис.2.4,а).

Поведение стержня под нагрузкой характеризуется графиком (рис.2.4,б), где вначале с ростом нагрузки стержень сохраняет прямолинейную форму, с дальнейшим ростом нагрузки, когда стержень теряет свою устойчивость и начинает выпучиваться. Последующий (небольшой) рост внешней нагрузки сопровождается быстрым увеличением поперечного прогиба f. После достижения максимальной нагрузки – второй критической силы - стержень теряет несущую способность (неустойчивое состояние).

Устойчивое состояние может быть при и (точки 1 и 2). Однако при стержень может находиться в устойчивом состоянии (точка 2) и

неустойчивом (точка 3) при одинаковой сжимающей силе.

Критическое состояние может быть при и при (точки и ).

Соответствующее критическое напряжение будет

N_cr 1 π 2 ΕІ π 2 Εί 2 π 2 Ε

где - критическая сила равная π 2 ΕI /l_o 2 (формула Эйлера); - площадь поперечного сечения стержня; заменяя I / A получаем i =- радиус инерции; - гибкость стержня; - расчетная длина стержня; - коэффициент приведения, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Рис.2.4. Работа центрально-сжатого стержня:

а – расчетная схема; б – зависимость между

нагрузкой и прогибом стержня

Формула справедлива при постоянном , т.е. при напряжениях , при этом . Напряжения - предел пропорциональности.

На практике гибкость центрально сжатых стержней (колонн, элементов ферм, рам и т.д.) составляет примерно половину указанных предельных.

На рис.2.5 показано влияние сечения стержня на критические напряжения. Из приведенных данных видно, что кривые для различных сечений и

Разной ориентации осей будут разными. Кривая для двутавра по рис.2.5,а располагается левее, а по рис.2.5,б – правее кривой, соответствующей прямоугольному сечению (рис.2.5,в).

В приведенной классической схеме, в которой предполагается, что в момент потери устойчивости нагрузка остается постоянной, тогда на выпуклой стороне стержня происходит разгрузка и материал начинает работать по упругому

закону. Однако, если деформация сжатия в процессе продольного изгиба растет

или остается постоянной в каждой точке сечения стержня, т.е. разгрузки не происходит, то все сечение находится в пластическом состоянии, характеризуемом касательным модулем деформации .

Рис.2.5. Влияние формы поперечного сечения стержня на критические напряжения:

а – потеря устойчивости двутаврового стержня в плоскости стенки; б – то же, в

плоскости полок; в – зависимость критических напряжений от гибкости

В этом случае критическое напряжение в пластической области будет

В строительных конструкциях встречаются обе схемы работы сжатых стержней. Например, сжатые элементы статически неопределимых систем (ферм, рам) теряют устойчивость по классической схеме - с разгрузкой. В момент потери устойчивости происходит перераспределение усилий между элементами. В колоннах, работающих по статически определимой схеме, будет реализовываться вторая схема – без разгрузки.

До сих пор рассматривался идеально прямой стержень с нагрузкой, приложенной строго по оси. Однако в практике такого не существует. Конструктивное оформление концов сжатых стержней не обеспечивает идеальную центровку, поэтому эти факторы учитываются введением в расчет эквивалентного эксцентриситета сжимающей силы “”. Он зависит от гибкости и с ростом ее возрастает. В практических расчетах пользуются , т.е. со случайным эксцентриситетом. Тогда

где - коэффициент устойчивости или его еще называют коэффициентом предельного изгиба при центральном сжатии.

В нормах на проектирование даются формулы и соответствующие таблицы для определения .

2.7. Основы расчета на прочность стержней, работающих на сжатие или растяжение с изгибом

При одновременном действии на стержень осевой силы и изгибающего момента (вызванного внецентренным приложением нагрузки ) несущая способность его определяется размерами поперечного сечения и предельной прочностью материала.

В упругой стадии работы материала напряжения в поперечном сечении стержня могут быть представлены в виде суммы напряжений от центрального сжатия и от изгиба .

2.8. Основы расчета на устойчивость внецентренно сжатых и

сжато - изогнутых стержней

Потеря несущей способности длинных гибких стержней при одновременном действии сжимающей силы и изгибающего момента происходит от потери устойчивости. При этом соответствующее состояние равновесия можно определить так же, как для центрального сжатия, а именно - устойчивое состояние; - неустойчивое состояние; - критическое состояние (где и - приращение работ внешних и внутренних сил).

Внецентренно сжатые стержни реальных металлических конструкций теряют устойчивость при развитии пластических деформаций.

Критическая сила зависит от эксцентриситета “e”. На практике удобнее пользоваться безразмерным относительным эксцентриситетом m=e/ρ, где ρ=W/A - ядровое расстояние со стороны наиболее сжатой фибры стержня.

Формула проверки устойчивости внецентренно сжатого стержня будет

Для обеспечения устойчивости внецентренно сжатых (сжато-изогнутых) стержней целесообразно с целью экономии металла развивать сечение в направлении эксцентриситета. Например, как показано на рис.2.6. При этом возрастает опасность потери устойчивости стержня в перпендикулярном направлении – относительно оси “y” . В связи с этим в формулу проверки устойчивости относительно оси “y” вводится пониженный коэффициент с.

где с =N_cr.M/N_cr =φ_y.M/φ_y; φ_y.N_cr –соответственно коэффициент устойчивости и критическая сила при центральном сжатии; N_cr.M. φ_y.M – критическая сила и соответствующий коэффициент устойчивости центрального сжатия относительно оси “y” при наличии момента в перпендикулярной плоскости. Коэффициент “c” зависит ототносительного эксцентриситета m_x=e/ρ_x.формы поперечного сечения стержня и гибкости λy.

Рис.2.6. Наиболее рациональное положение двутаврового сечения при внецентренном сжатии стержней

2.9. Расчет элементов металлических конструкций при воздействии переменных нагрузок (проверка на усталость)

При действии переменных многократно повторяющихся нагрузок разрушение конструкции может произойти от усталости металла при напряжениях ниже предела текучести.

Разрушение происходит без заметных пластических деформаций, имеет хрупкий характер (см. выше). Это наблюдается в подкрановых балках, балках рабочих площадок при загружении их подвижным составом, элементы бункерных эстакад, башни и мачты, испытывающие многократные воздействие порывов ветра и т.п.

Поэтому расчет на усталость следует вести по первому предельному состоянию, т.е.

где - условное расчетное сопротивление усталости, зависящее от типа стали и степени концентрации напряжений в проверяемой точке конструкции; - условный коэффициент усталости; = 1,3 - коэффициент надежности по временному сопротивлению.

Максимальное нагружение здесь сравнивается с условным пределом усталости.

Подбор сечения стержней металлической фермы из парных уголков

Растянутые стержни стальных ферм рассчитываются как центрально-растянутые элементы (см. раздел 6). При центральном растяжении должна обеспечиваться прочность и ограничивается гибкость стержня.

Требуемая площадь растянутых стержней определяется из формулы

при отсутствии ослаблений (отверстий) площадь сечения стержня А = А_n,где А_n − площадь сечения стержня нетто. Гибкость проверяется по формуле:

при статической нагрузке предельная гибкость растянутых поясов и стержней ферм λ_пред. = 400.

2. Расчет сжатых стержней

Сжатые стержни рассчитываются как центрально-сжатые элементы. Порядок расчета сжатых стержней ферм аналогичен расчету центрально-сжатой колонны (см. раздел 5). При центральном сжатии должны быть обеспечены прочность, устойчивость и ограничивается гибкость. Расчет по прочности производится только в случае наличия ослаблений в расчетном сечении стержней. Если ослаблений нет, то наибольшие по величине напряжения получаются при расчетах устойчивости.

В соответствии с расчетом устойчивости требуемая площадь сечения стержня фермы определяется из формулы

Гибкость сжатых поясов и стержней ферм проверяется по уравнению (5.4, г)аналогично проверке гибкости растянутых стержней. Предельная гибкость сжатых стержней определяется по табл. 5.4.

Пример 1.Подобрать сечение стержня решетки стальной фермы, работающей в климатическом районе II₄ (рис. 9.12). На стержень действует растягивающее усилие N =200 кН (нагрузка статическая). Геометрическая длина стержня (расстояние между узлами) l = 3000 мм. Предельная гибкость λ_max = 400. Толщина фасонки t =10 мм.

Решение.

1. Учитывая климатический район и то, что фермы относятся к конструкциям группы 2 (табл. 50* СНиП II-23-81*), принимаем из рекомендованных сталей сталь С245.

2. Находим расчетное сопротивление стали по пределу текучести (табл. 2.2): R_y = 240 МПа = 24,0 кН/см 2 (при толщине проката 2−20 мм).

3. Определяем коэффициент условий работы γ_с = 0,95 (табл. 2.3).

4. Определяем расчетные длины стержня (см. табл. 11 СНиП II-23-81*):

расчетная длина в плоскости фермы:

расчетная длина в плоскости, перпендикулярной плоскости фермы:

5. Находим требуемую площадь сечения стержня:

6. По сортаменту прокатной угловой стали (Приложение 1, табл. 3) подбираем уголки, при этом учитываем, что сечение стержня состоит из двух уголков; площадь одного уголка будет равна:
А_1у= 8,77/2 = 4,39 см 2 ; принимаем 2 уголка 50 х 50 х 5; А_1у=4,8 см 2 ; i_x =1,92 см; i_y_l= 2,45 см.

7. Проверяем принятое сечение:
а) проверяем прочность:

б) проверяем гибкость:

гибкость в пределах норм.

Вывод.Принимаем сечение стержня из двух уголков 50 х 50 х 5, сталь С245.

Пример 2.Подобрать сечение стержня решетки фермы (рис. 9.12), работающей в климатическом районе II₄. На стержень действует сжимающее усилие N = 359 кН (нагрузка статическая). Геометрическая длина стержня l = 4520 мм. Предельная гибкость λ_max = 210 − 60α, (см. табл. 5.4). Толщина фасонки t = 10 мм.

1. Учитывая, что климатический район строительства II₄, фермы относятся к конструкциям группы 2 (табл. 50* СНиП II-23-81*), из допускаемых к использованию сталей принимаем сталь С345-1.

2. Находим расчетное сопротивление стали по пределу текучести R_у = 335 МПа = 33,5 кН/см 2 (при толщине проката 2−10 мм, табл. 2.2).

3. Определяем коэффициент условий работы (табл. 2.3): предполагая, что гибкость стержня будет больше 60, принимаем по п. 3 табл. 2.3 γ_с = 0,8; также для нашего случая подходит коэффициент условия работы по п. 6а табл. 2.3, γ_с = 0,95; принимаем в расчет меньшее значение коэффициента γ_с =0,8.

4. Определяем расчетные длины стержня: расчетная длина в плоскости фермы l_ef_,_x = 0,8l = 0,8 ∙ 4520 = 3616 мм; расчетная длина в плоскости, перпендикулярной плоскости фермы, l_ef_,_y₁= l =4520 мм (табл. 11 СНиП II-23-81*).

5. Находим требуемую площадь сечения стержня из формулы устойчивости; для этого предварительно принимаем гибкость стержня λ= 100 и по гибкости находим коэффициент продольного изгиба φ = 0,493 (табл. 5.3):

6. Определяем требуемые радиусы инерции:

7. По сортаменту (Приложение 1, табл. 2) подбираем уголки по трем параметрам: A, i_x_, i_y₁; при подборе уголков не забываем, что площадь стержня состоит из двух уголков; требуемая площадь одного уголка А₁_y = 27,17/2 = 13,59 см 2 ; принимаем уголки: 2 уголка 100 x 8; А₁_y = 15,6 см 2 ; i_x_,= 3,07 см; i_y₁= 4,47 см (принятое сечение имеет площадь больше требуемой, а радиусы инерции имеют значения меньше, но близкие к требуемым).

8. Проверяем принятое сечение:
а) определяем гибкости:

б) по наибольшей гибкости λ =117,59 определяем (табл. 5.3) коэффициент продольного изгиба φ = 0,473;

в) находим значение коэффициента α:

так как значение коэффициента получилось больше 0,5, принимаем величину коэффициента α = 0,91;

г) определяем предельную гибкость:

наибольшая гибкость стержня λ_х = 117,59, что меньше предельной гибкости λ_max = 155,4, следовательно, гибкость стержня в пределах нормы;

д) проверяем устойчивость:

Вывод. Принимаем сечение стержня из двух уголков 100 x 8, сталь С345-1.

Гибкость сжатого стержня

Открывал, везде плюс минус одно и тоже: ". введём безразмерную величину, равную отношению длины к радиусу инерции, и назовём её гибкостью. "
Дальше этой безразмерной величиной просто пользуются, нигде не объясняю почему вводится именно такая величина. К примеру: почему при введении гибкости к ней ещё не присобачить "ПИ", которое также сидит в этой формуле (критического напряжения) в квадрате?

. почему при введении гибкости к ней ещё не присобачить "ПИ", которое также сидит в этой формуле (критического напряжения) в квадрате?

Ну, прямо сюда не присобачено, но вот есть такой "коэффициент критической нагрузки", равный (Пи*мю)*(Пи*мю). Кто-то из ученых видимо так же порассуждал, и таки присобачил Пи.

хочется понять, почему гибкость - отношение длины к радиусу инерции

история лямды уходит корнями в начальные теории об устойчивости стержней, и в конце концов связана с формулой Эйлера. Смысл соотношения длины именно к радиусу инерции, а не к иному параметру, можно понять, приведя формулу i=sqrt(J/A) в вид J=A*i*i - теперь видно, что i что радиус инерции равен расстоянию от оси x до той точки, в которой следует условно сосредоточить площадь сечения А, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения. Радиус инерции, раз взаимувязывает J и А именно так, характеризирует сечение в отношении удачности распределения материала именно для случая продольного изгиба, т.е. в смысле отношения жесткости стержня на изгиб и на сжатие.
Думается, исторически могло сложиться и иначе, т.к. для оценки гибкости сжатых стержней по-иному теоретических препятствий нет.

- точно и понятно, добавлю лишь, что аналогичные безразмерные величины, характеризующие суть явления, имеются, например, в гидравлике - число (критерий) Ренольдса или Прандтля. О критериях подобия есть тут.

радиус инерции равен расстоянию от оси x до той точки, в которой следует условно сосредоточить площадь сечения А, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения

А.В.Дарков, Г.С. Шпиро. Сопротивление материалов. стр.563. Всё подробно расписано.
Offtop: Ильнур, ну ты и загнул насчёт ПИ

Нет ничего на странице 563. Пруф в аттаче (хм. ). На странице 380, где рассказывается про радиус, дано то же, что и всегда обычно - радиус это корень из I/A, не больше. На 501 странице вывод Эйлеровой формулы. На 504 просто вводится понятие "гибкость". Прям так и сказано "введя обозначение лямбда равно мю эл на и получим . ".

приведя формулу i=sqrt(J/A) в вид J=A*i*i - теперь видно, что i что радиус инерции равен расстоянию от оси x до той точки, в которой следует условно сосредоточить площадь сечения А, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения.

Вообще то момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями. То есть J=J1+A*i*i .
Если J1 стремится к нулю, то сечение площадью А стремится не в точку, а превращается в прямую линию совпадающую с осью , которая параллельна центральной оси реального сечения, относительно которой мы и определяем радиус инерции i . Радиус инерции i равен расстоянию между этими осями.

Если J1 стремится к нулю, то сечение площадью А стремится не в точку, а превращается в прямую линию совпадающую с осью , которая параллельна центральной оси реального сечения, относительно которой мы и определяем радиус инерции i . Радиус инерции i равен расстоянию между этими осями.

Ну а линию можно ужать до точки, если при расчете характеристик сечения учитывать плотность, а не только геометрию. Будет точка бесконечной плотности. Хотя суть в целом одна и та же.

Ну а линию можно ужать до точки, если при расчете характеристик сечения учитывать плотность, а не только геометрию.

Радиус инерции,как и момент инерции - это геометрические характеристики сечения. Так что оставьте плотность в покое.
Радиус инерции и гибкость характеризуют способность стержня из профиля заданного сечения сопротивляться деформациям в том направлении, в котором определен радиус инерции.

Каюсь. У меня 1969. см. раздел Продольный изгиб. Тебя интересует откуда ПИ или радиус инерции? Так Ильнур всё про него рассказал, правда, как всегда, загнул кое-что и от себя.

bahil, меня-то ничего не интересует. Просто радиус инерции раньше для меня не имел прямого физического смысла, а сейчас его "ощущать" гораздо проще.

Радиус инерции,как и момент инерции - это геометрические характеристики сечения. Так что оставьте плотность в покое.

Радиус инерции и гибкость характеризуют способность стержня из профиля заданного сечения сопротивляться деформациям в том направлении, в котором определен радиус инерции.

А вот тут поспорил бы, сказав, что первоначально все-таки I характеризует этот момент, а длина (и гибкость с ней) так вообще не является характеристикой сечения, но к чему толочь воду в ступе - ведь все всё прекрасно понимают)

Если J1 стремится к нулю, то сечение площадью А стремится не в точку, а превращается в прямую линию совпадающую с осью

В данном случае радиус инерции i равен кратчайшему расстоянию от исходной оси до ТОЧКИ, т.е. ц.т. А, условно сосредоточенной в точке. Это - условие для этого случая, и вполне вяжется с определением "момент инерции".
Насчет рассмотрения точки в виде линии - это конечно забавно.
Насчет плотности/неплотности не нужно так категорично горячиться - площадь хоть и геометрическое понятие, однако "инерция" предполагает некую весомость. В моменте инерции мерой весомости выступает площадь.
bahil

Возьми термин "коэффициент критической нагрузки", и выясни, загнул я или ты, как всегда, не в курсе. Этот термин и соотв. формула (Пи*мю)*(Пи*мю) встречается в литературе.
Давай так - я специально не называю авторов, а ты доказываешь, что этого нет.
Языком не мешком ворочить.

По-моему, Ильнур, вы просто занимаетесь подменой понятий. Вот когда вы напишете свой собственный курс сопромата - вот тогда и поговорим.

А всем участникам дискуссии осмелюсь напомнить о существовании в сопромате такого понятия как эллипс инерции, который обладает тем замечательным свойством, что радиус инерции относительно любой центральной оси Х определяется как перпендикуляр ОА, опущенный из центра эллипса О на касательную к нему , параллелную к оси Х. Таким образом радиус инерции все таки определяется как расстояние между осями. По-моему такое геометрическое представление вполне наглядно и достаточно для понимания. Эллипс инерции позволяет в том числе и наглядно охарактеризовать деформативность стержня заданного профиля по разным направлениям, перпендикулярным его продольной оси.
Если кому то ну очень хочется абстрагироваться и заняться вычислениями момента инерции при переносе осей, то можно себе представить, что первоначальную фигуру (сечение) перенесли и растянули в прямую линию вдоль прямой, совпадающей с касательной к эллипсу инерции. Но на мой взгляд - что в точку площадь фигуры собирать, что ее вдоль оси растягивать - это уже какое то умничание не имеющее смысла и ничего не добавляющее к пониманию сути такого понятия как радиус инерции.

На "бытовом" уровне всё понятно, но хочется понять, почему гибкость - отношение длины к радиусу инерции?

Потому что в результате деления величин расчетной длины и радиуса инерции получается некая безразмерная величина. Ее условно назвали гибкостью. Она характеризует деформативность стержня заданного профиля по разным направлениям и удобна при сравнении характеристик разных стержней. Стержни то могут иметь совершенно разные профили и длины, а гибкость у них запросто может оказаться одинаковой (в каком то из направлений).
Не пытайтесь раскопать какой то очень глубоко спрятанный смысл понятий там где его никто не закапывал.

Примеры решения задач. Пример 1. Рассчитать гибкость стержня

Пример 1. Рассчитать гибкость стержня. Круглый стержень диаметром 20 мм закреплен так, как показано на рис. 37.1.

Решение

1. Гибкость стержня определяется по формуле

2. Определяем минимальный радиус инерции для круга.

Подставив выражения для J_min и А (сечение круг)

Коэффициент приведения длины для данной схемы крепления μ= 0,5.
Гибкость стержня будет равна

Пример 2. Как изменится критическая сила для стержня, если изменить способ закрепления концов? Сравнить представленные схемы (рис. 37.2)

Решение

Критическая сила увеличится в 4 раза.

Пример 3. Как изменится критическая сила при расчете на устойчивость, если стержень двутаврового сечения (рис. 37.3а, двутавр № 12) заменить стержнем прямоугольного сечения той же площади (рис. 37.3б)? Остальные параметры конструкции не меняются. Расчет выполнить по формуле Эйлера.

1. Определим ширину сечения прямоугольника, высота сечения равна высоте сечения двутавра. Геометрические параметры двутавра № 12 по ГОСТ 8239-89 следующие:

площадь сечения А₁ = 14,7см 2 ;

минимальный из осевых моментов инерции .

По условию площадь прямоугольного сечения равна площади сечения двутавра. Определяем ширину полосы при высоте 12 см.

2. Определим минимальный из осевых моментов инерции.

3. Критическая сила определяется по формуле Эйлера:

4. При прочих равных условиях отношение критических сил равно отношению минимальных моментов инерции:

5. Таким образом, устойчивость стержня с сечением двутавр № 12 в 15 раз выше, чем устойчивость стержня выбранного прямоугольного сечения.

Пример 4. Проверить устойчивость стержня. Стержень длиной 1 м защемлен одним концом, сечение — швеллер № 16, материал — СтЗ, запас устойчивости трехкратный. Стержень нагружен сжимающей силой 82 кН (рис. 37.4).

1. Определяем основные геометрические параметры сечения стержня по ГОСТ 8240-89. Швеллер № 16: площадь сечения 18,1см 2 ; минимальный осевой момент сечения 63,3 см 4 ; минимальный радиус инерции сечения г_т;_п = 1,87см.

2. Определяем категорию стержня в зависимости от гибкости.

Предельная гибкость для материала СтЗ λ_пред = 100.

Расчетная гибкость стержня при длине l = 1м = 1000мм

Рассчитываемый стержень — стержень большой гибкости, расчет ведем по формуле Эйлера.

3. Допускаемая нагрузка на стержень

4. Условие устойчивости

Пример 5. На рис. 2.83 показана расчетная схема трубчатой стойки самолетной конструкции. Проверить стойку на устойчивость при [n_у] = 2,5, если она изготовлена из хромоникелевой стали, для которой Е = 2,1*10 5 и σ_пц = 450 Н/мм 2 .

Решение

Для расчёта на устойчивость должна быть известна критическая сила для заданной стойки. Необходимо установить, по какой формуле следует вычислять критическую силу, т. е. надо сопоставить гибкость стойки с предельной гибкостью для её материала.

Вычисляем величину предельной гибкости, так как табличных данных о λ,_пред для материала стойки не имеется:

Для определения гибкости рассчитываемой стойки вычисляем геометрические характеристики ее поперечного сечения:

Определяем гибкость стойки:

и убеждаемся, что λ < λ_пред, т. е. критическую силу можно определить ею формуле Эйлера:

Вычисляем расчетный (действительный) коэффициент запаса устойчивости:

Таким образом, n_у > [n_у] на 5,2%.

Пример 2.87. Проверить на прочность и устойчивость заданную стержневую систему (рис. 2.86), Материал стержней — сталь Ст5 (σ_т = 280 Н/мм 2 ). Требуемые коэффициенты запаса: прочности [n] = 1,8; устойчивости [n_у] = 2,2. Стержни имеют круглое поперечное сечение d₁ = d₂ = 20 мм, d₃ = 28 мм.

Вырезая узел, в котором сходятся стержни, и составляя уравнения равновесия для действующих на него сил (рис. 2.86)

устанавливаем, что заданная система статически неопределима (три неизвестных усилия и два уравнения статики). Ясно, что для расчета стержней на прочность и устойчивость необходимо знать величины продольных сил, возникающих в их поперечных сечениях, т. е. нужно раскрыть статическую неопределимость.

Составляем уравнение перемещений на основе диаграммы перемещений (рис. 2.87):

или, подставляя значения изменений длин стержней, получаем

Решив это уравнение совместно с уравнениями статики, найдем:

Напряжения в поперечных сечениях стержней 1 и 2 (см. рис. 2.86):

Их коэффициент запаса прочности

Для определения коэффициента запаса устойчивости стержня 3 надо вычислить критическую силу, а это требует определения гибкости стержня, чтобы решить, какой формулой для нахождения N_Kp следует воспользоваться.

Итак, λ₀ < λ < λ_пред и критическую силу следует определять по эмпирической формуле:

Коэффициент запаса устойчивости

Таким образом, расчет показывает, что коэффициент запаса устойчивости близок к требуемому, а коэффициент запаса прочности значительно выше требуемого, т. е. при увеличении нагрузки системы потеря устойчивости стержнем 3 вероятнее, чем возникновение текучести в стержнях 1 и 2.

Читайте также: