Для стального вала круглого поперечного сечения определить значения внешних моментов
1. Изучить по учебнику Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических заданий: М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2016 г. тему 2.5 Кручение. Расчеты на прочность и жесткость при кручении (лекция 28).
2. Выполнить в рабочей тетради конспект лекции «Расчет на прочность и жесткость при кручении».
Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Разрушение вала при кручении происходит с поверхности. Условие прочности при кручении формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений
где [τк] - допускаемое напряжение кручения (берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу), Н/мм 2;
Mк max - максимальный крутящий момент в сечении вала, Н·мм;
Wр - полярный момент сопротивления сечения вала, мм 3 .
Условие прочности может служить основой для трех видов расчетов:
1. Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала. Проверяется выполнение условия прочности
2.Подбор сечения (проектный расчет). Получим формулу для определения полярного момента сопротивления Wр, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности:
Wр≥ Mк max /[τк]
Требуемый диаметр вала при найденном Wр определяется из формул:
для круглого сечения Wр= π·d 3 /16 ≈ 0,2d 3
Для кольцевого сеченияWр= π·d 3 (1-с 4 )/16 ≈ 0,2d 3 (1-с 4 )
3. Определение допускаемого крутящего момента,когда известны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение,
[Mк max ] = Wр·[τк]
Кроме соблюдения условия прочности при проектировании валов требуется, чтобы вал обладал достаточной жесткостью:т.е. чтобы угол закручивания не превосходил некоторого заданного значения.
Обозначив через φ0 угол закручивания единичной длины вала, можно составить расчетную формулу для проверки вала на жесткость:
где [φ0] – допускаемый относительный угол закручивания, рад/мм
G – модуль упругости при сдвиге, Н/мм 2 ;
Jр - полярный момент инерции сечения вала, мм 4 ;
Для стали модуль упругости при сдвиге G= 8·10 4 Н/мм 2 .Произведение GJр называют жесткостью сечения.
С помощью условия жесткости решаются три задачи, аналогичные задачам расчета на прочность:
1.Проверка жесткости (проверочный расчет),когда заданы крутящий момент, размеры и материал вала, а также допускаемый угол закручивания.Проверяется выполнение условия жесткости
2.Подбор сечения по условию жесткости (проектный расчет). Получим формулу для определения полярного момента инерции сечения вала, по условию жесткости Jр =Mк max /G[φ0].
При найденном значении Jр диаметр вала определяют из формул:
для круглого сечения Jр = π·d 4 /32≈ 0,1·d 4
Для кольцевого сеченияJр = π·d 4 (1-с 4 ) /32≈ 0,1·d 4 (1-с 4 )
3.Определение допускаемого крутящего момента по условию жесткости
Пример 1.Стальной вал круглого поперечного сечения передает крутящий момент Мк = 20 кНм. Определить диаметр вала, если допускаемое напряжение [τ]=100 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [φ0]=8,7·10 -3 рад/м.
Решение:
Из условия прочности вала Полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле:G = 8 ·10 4 МПа – модуль сдвига стали,
Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.
Полученное значение следует округлить, используя стандартный ряд диаметров. Практически округляем полученное значение так, чтобы число оканчивалось на 5 или 0. Окончательно принимаем значение вала d= 150 мм.
Ответ: dвала = 150 мм
Пример 2. Стальной вал передает мощность N = 50 кВт при частоте вращения n=200 мин -1 . Подобрать сечение вала для случая сплошного сечения и кольцевого с отношением диаметров с= d / D = 0,8, где d и D – внутренний и наружный диаметр сечения, если допускаемое напряжение [τ] = 80 мПа.
1. Найдем крутящий момент, передаваемый валом:
- угловая скорость вала.
Крутящий момент равен Из условия прочности Для сплошного круглого сечения отсюда Для кольцевого сеченияотсюда .
Сравним площади сплошного и кольцевого сечений, что определяет расход металла:
для сплошного сеченияТаким образом, применение кольцевого сечения с отношением диаметров c=d/D=0,8 вместо сплошного дает экономию металла примерно в два раза.
Расчетно-графическая работа. Кручение. Подбор поперечного сечения.
2. Так как при равномерном вращении вала алгебраическая сумма приложенных к нему внешних скручивающих (вращающих) моментов равна нулю определить уравновешивающий момент, используя уравнение равновесия
3. Пользуясь методом сечений, построить эпюру крутящих моментов по длине вала.
4. Для участка вала, в котором возникает наибольший крутящий момент, определить диаметр вала круглого или кольцевого сечения из условия прочности и жесткости. Для кольцевого сечения вала принять соотношение диаметров
где dо — внутренний диаметр кольца;
d — наружный диаметр кольца .
Из условия прочности:
Из условия жесткости:
где Mzmax - наибольший крутящий момент;
W p - полярный момент сопротивления кручению;
[τкр] - допускаемое касательное напряжение
где Jp - полярный момент инерции сечения;
G - модуль упругости при сдвиге;
[ φо ] - допускаемый угол закручивания сечени и
Сечение вала - круг
Необходимый по прочности диаметр вала:
Необходимый по жесткости диаметр вала:
Сечение вала - кольцо
Необходимый по прочности наружный диаметр кольца:
Необходимый по жесткости наружный диаметр кольца:
Пример 1. Для стального вала (рис.1) постоянного по длине сечения требуется: 1) определить значения моментов М2 и М3, соответствующие передаваемым мощностям Р2 и Р3 , а также уравновешивающий момент М1; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить требуемый диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) поперечное сечение вала - круг; по варианту (б) — поперечное сечение вала — кольцо, имеющее соотношение диаметров c =d 0 / d=0,8.
Принять: [τкр] = 30 МПа ; [φ0] = 0,02 рад/м; Р2 = 52 кВт; Р3 = 50 кВт; ω = 20 рад/с; G = 8 × 10 4 МПа
Окончательное значение диаметра округлить до ближайшего четного (или оканчивающегося на пять) числа.
Рис. 1 - Схема задачи
Решение:
1. Определяем внешние скручивающие моменты:
М2 = Р2 / ω = 52 × 10 3 / 20 = 2600 Н × м
М3 = Р3 / ω = 50 × 10 3 / 20 = 2500 Н × м
2. Определяем уравновешивающий момент М1 :
М1= М2 + М3 = 5100 Н × м
3. Определяем крутящий момент по участкам вала:
М zI = М1= 5100 Н × м
М z II = М 1 – М 2 = 5100 – 2600 = 2500 Н × м
Строим эпюру крутящих моментов М z (рис. 2).
Рис. 2 - Эпюра крутящих моментов
4. Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткости, принимая М z max = 5100 Н × м (рис. 2).
а) Сечение вала – круг.
Принимаем d = 96 мм
Принимаем d = 76 мм
Требуемый диаметр получился больше из расчета на прочность, поэтому его принимаем как окончательный d = 96 мм.
б) Сечение вала — кольцо.
Принимаем d = 114 мм
Принимаем d = 86 мм
Требуемые диаметры окончательно принимаем из расчетов на прочность:
Наружный диаметр кольца d = 114 мм
Внутренний диаметр кольца d о = 0,8 × d = 0,8 × 114 = 91,2 мм. Принимаем d о =92 мм .
Задача 1. Для стального вала (рис.3) постоянного поперечного сечения требуется: 1) определить значения моментов М1 , М2 , М3 и М4 ; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) поперечное сечение вала - круг; по варианту (б) - поперечное сечение вала - кольцо, имеющее соотношение диаметров c =d 0 / d=0,7. Мощность на зубчатых колесах принять Р2 = 0,5Р1; Р3 = 0,3Р1; Р4 = 0,2Р1.
Принять: [τкр] = 30 МПа ; [φ0] = 0,02 рад/м; G = 8 × 10 4 МПа
Данные своего варианта взять из таблицы 1
Указание. Полученное расчётное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0, 2, 5, 8.
Тема 2.5. Кручение. Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения бруса, условия прочности и жесткости при кручении.
Уметьвыполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем, проводить проверку на жесткость.
Основные положения расчетов при кручении
Распределение касательных напряжений по сечению при кручении (рис. П8.1)
Касательное напряжение в точке А:
гдеА - расстояние от точки А до центра сечения.
Условие прочности при кручении
Мк- крутящий момент в сечении, Н м, Н мм;
Wp - момент сопротивления при кручении, м 3 , мм 3
[к] - допускаемое напряжение при кручении, Н/м 2 , Н/мм 2 .
Проектировочный расчет, определение размеров поперечного сечения
Сечение - круг: Сечение - кольцо:где d - наружный диаметр круглого сечения;
dви - внутренний диаметр кольцевого сечения;Определение рационального расположения колес на валу
Рациональное расположение колес - расположение, при котором максимальное значение крутящего момента на валу - наименьшее из возможных.
Для экономии металла сечение бруса рекомендуется, выполнить кольцевым.
Условие жесткости при кручении
G - модуль упругости при сдвиге, H/M 2 , Н/мм 2 ;
Е - модуль упругости при растяжении, Н/м 2 , Н/мм 2 .
0 - допускаемый угол закручивания, Jp
Проектировочный расчет, определение наружного диаметра сечения
круг;Рекомендации по выполнению задания.
1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала для предложенной в задании схемы.
2. Выбрать рациональное расположение колес на валу и дальнейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами.
3. Определить потребные диаметры вала круглого сечения из расчета на прочность и жесткость и выбрать наибольшее из полученных значений, округлив величину диаметра.
4. Сравнить затраты металла для случая круглого и кольцевого сечений. Сравнение провести по площадям поперечных сечений валов.
Площади валов рассчитать в наиболее нагруженном сечении (по максимальному крутящему моменту на эпюре моментов).
Для стального вала круглого поперечного сечения определить значения внешних моментов, соответствующих передаваемым мощностям, и уравновешенный момент.
Построить эпюру крутящих моментов по длине вала. Рациональным расположением шкивов на валу добиться уменьшения значения максимального крутящего момента на валу.
Поcтроить эпюру крутящих моментов для этого случая. Дальнейшие расчеты вести для вала с рациональным расположением шкивов.
Определить диаметры вала по сечениям из расчетов на прочность и жесткость. Полученный больший результат округлить до ближайшего четного или оканчивающегося на 5 числа.
При расчете использовать следующие данные: вал вращается с угловой скоростью 25 рад/с; материал вала - сталь, допускаемое напряжение кручения 30 МПа, модуль упругости при сдвиге 8· 104 МПа допускаемый угол закручивания
Провести расчет для вала кольцевого сечения, приняв с = 0,9.
Сделать выводы о целесообразности выполнения вала круглого или кольцевого сечения, сравнив площади поперечных сечений.
Решение. Действующую силу F воспринимает опорная кольцевая поверхность головки стержня
Действующую силу F воспринимает опорная кольцевая поверхность головки стержня.
Диаметр D головки стержня определяем из условия прочности на смятие
где Асм - площадь поверхности смятия головки стержня. Смятие головки стержня происходит по кольцевой поверхности.
Поэтому - площадь кольца.
Принимаем окончательно D = 8 мм - диаметр головки стержня.
Третья задача.К решению этой задачи следует приступить после изучения темы «Кручение».
Кручением называют такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент МК (или МZ).
Крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на отсеченную часть: МК = åМi (имеется в виду, что плоскости действия всех внешних скручивающих моментов Мi перпендикулярны продольной оси бруса).
Будем считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, смотрящего на проведенное сечение, он представляется направленным по часовой стрелке. Соответствующий внешний момент направлен против часовой стрелки (рисунок 2).
 |
В третьей задаче необходимо выполнить проектный расчет вала круглого или кольцевого поперечного сечения из условий прочности.
Последовательность решения задачи:
1. Определить внешние скручивающие моменты по формуле
где Р – мощность,
ω – угловая скорость.
2. Определить уравновешивающий момент, используя уравнение равновесия åМi = 0, так как при равномерном вращении вала алгебраическая сумма приложенных к нему внешних скручивающих (вращающих) моментов равна нулю.
4. Для участка вала, в котором возникает наибольший крутящий момент, определить диаметр вала круглого сечения из условия прочности.
5.Из условия прочности:
где – наибольший крутящий момент;
Wp – полярный момент сопротивления кручению;
[tК] – допускаемое касательное напряжение на кручение.
Сечение вала – круг
Необходимый по прочности диаметр вала
Пример 4.
Для стального вала (рисунок 2.7, а) постоянного по длине сечения требуется:
1) определить значения моментов М2 и М3, соответствующие передаваемым мощностям Р2 и Р3, а также уравновешивающий момент М1;
2) построить эпюру крутящих моментов;
3) определить требуемый диаметр вала круглого поперечного сечения из расчета на прочность.
Принять: [tК] = 30 МПа; Р2 = 52кВт; Р3 = 50 кВт; ω = 20 рад/с.
1. Определяем внешние скручивающий моменты:
2. Определяем уравновешивающий момент М1:
3. Определяем крутящий момент пор участкам вала:
Строим эпюру крутящих моментов МZ (рисунок 3, б).
4. Определяем диаметр вала из условия прочности:
Сечение вала – круг
Из условия прочности:
Принимаем d = 95 мм.
Четвертая задача. К решению этой задачи следует приступить после изучения темы «Изгиб».
Изгиб – это такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы; такой изгиб называют поперечным: если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым.
Изгибающий момент МИ в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения:
Поперечная силав произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса:
Q = åF.
Причем все внешние силы и моменты действуют в главной продольной плоскости бруса и расположены перпендикулярно продольной оси бруса.
Правило знаков для поперечной силы:
внешние силы,поворачивающие отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, принимаются со знаком плюс (рисунок 2,8, а), а силы,поворачивающие отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения против хода часовой стрелки, принимаются со знаком минус (рисунок 2.8, б).
Правило знаков для изгибающих моментов:внешние моменты, изгибающие мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении отсеченную часть бруса выпуклостью вниз, принимаются со знаком плюс (рисунок 2.9, а), а моменты, изгибающие, отсеченную часть бруса выпуклостью вверх, – со знаком минус (рисунок 2.9, б).
На основе метода сечений и дифференциальных зависимостей устанавливается взаимосвязь эпюр Мх и Qy между собой и с внешней нагрузкой, поэтому достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями.
Характерными при построении эпюр Q являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы (включая опорные сечения), и сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой; при построении эпюр Mизг. дополнительно к перечисленным принимаются сечения, где приложены внешние моменты М.
Рисунок 2.8 Рисунок 2.9
Приведем некоторые правила построения эпюр.
Для эпюры поперечных сил:
1. На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки.
2. На участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки.
3. В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет значения.
4. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение поперечной силы меняется скачкообразно на величину, равную приложенной силе.
5. В концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю.
Для эпюры изгибающих моментов:
1. На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратичной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке.
2. На участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается прямой линией.
3. В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, изгибающий момент меняется скачкообразно на величину, равную моменту приложенной пары.
4. Изгибающий момент в концевом сечении балки равен нулю, если в нем не приложена сосредоточенная пара сил. Если же в концевом сечении приложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в сечении равен моменту приложенной пары.
5. На участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб, и эпюра изгибающих моментов изображается прямой, параллельной оси балки.
6. Изгибающий момент принимает экстремальное значение в сечении, где эпюра поперечных сил проходит через нуль, меняя знаки с «+» на «–» или с «–» на «+».
В четвертой задаче требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, а также подобрать размеры поперечного сечения балки в форме прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника отношение высоты к ширине h/b = 1,5.
Условие прочности для балок с сечениями, симметричными относительно нейтральной оси, имеет вид:
где Wx – осевой момент сопротивления сечения.
Для подбора сечения балки (проектного расчета) из условия прочности определяют необходимое значение осевого момента сопротивления:
По найденному моменту сопротивления Wx определяют размеры соответствующих сечений.
1.Определить реакции опор балки и проверить правильность найденных реакций.
2. Балку разделить на участки по характерным сечениям.
3. Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил.
4. Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов.
5. Для данной балки, имеющей по всей длине постоянное поперечное сечение, выполнить проектный расчет, т.е. определить Wx в опасном сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение.
6. Определить требуемые размеры сечения балки, учитывая форму сечения (круг или прямоугольник).
Для того чтобы решить четвертую задачу, необходимо внимательно изучить тему «Изгиб», методические указания к задаче 4, а также приведенный далее пример.
Пример 5. Для заданной двухопорной балки (рисунок 2.10, а) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и определить размеры поперечного сечения (h, b, d) в форме прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника h/b = 1,5. Считать [s] = 160 МПа.
Читайте также: