Абсолютно жесткий брус к шарнирно поддерживается стальными стержнями

Обновлено: 07.01.2025

Расчет статической неопределимой стержневой системы. Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с помощью шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) найти допускаемую нагрузку Qдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях расчетному сопротивлению R = 160МПа; 3) найти предельную грузоподъемность системы Qm и допускаемую нагрузку Qдоп, если предел текучести σm = 240 МПа и коэффициент запаса прочности k=1,5; 4) сравнить величины Qдоп, полученные из расчета по допускаемым на-пряжениям и допускаемым нагрузкам. Исходные данные для решения задачи: схема стержневой системы показана на рис. 4; площадь поперечного сечения –А =17см2; линейные размеры – а = 2,2 м, b = 2,5 м, с = 1,7 м

Предварительный просмотр

Библиотека Ирины Эланс, основана как общедоступная библиотека в интернете. Онлайн-библиотеке академических ресурсов от Ирины Эланс доверяют студенты со всей России.
Библиотека Ирины Эланс

Полное или частичное копирование материалов разрешается только с указанием активной ссылки на сайт:

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Задача

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с помощью шарниров.Требуется: 1) Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку на брус

Дано: А₁ = А = 10 см 2 ; А₂ = 2А = 20 см 2 ; а = 1,6 м; в = 3,0 м; с = 4,0 м, [σ] = 160 МПа

Освободимся от связей, для чего мысленно отбрасываем опорный шарнир А и шарниры К и Д и заменяем их влияние на конструкцию реакциями х_А, у_A и усилиями в стержнях N_{1 и} N₂ .

Составим уравнения равновесия бруса, обозначим стержень ВК как первый ,тогда стержень СД — второй стержень:

В этих уравнениях четыре неизвестных. Данная задача один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместное уравнение равновесия и уравнение совместности деформации стержней. Для составления уравнения совместности деформаций рассмотрим деформацию системы под действием силы Q.

Схема деформаций:

Под действием силы Q абсолютно жесткий стержень АС повернется относительно опоры А на некоторый угол. Перемещение шарнира В и С принимаем направленными вертикально вниз. Поэтому абсолютное удлинение первого стержня ВК равно: ∆ℓ₁ = ВВ₁. Для определения абсолютного удлинения ∆ℓ₂ второго стержня СД построим Δ CC₁C₂, для этого опустим из точки С перпендикуляр СС₂ на новое положение стержня С₁Д. Тогда СД ≈ С₂Д и ∆ℓ₂ = С₁С₂.

Из подобия ∆ АВВ₁ и ∆ АСС₁ находим:

Это и есть уравнение совместности деформации. На основании закона Гука для деформаций:

Для определения внутренних сил N₁ и N₂ решаем систему уравнений:

Получаем из решения:

Определим допускаемую нагрузку из условия прочности. Напряжение в первом стержне:

Условие прочности:

тогда допускаемая нагрузка определится:

Напряжение и допускаемая нагрузка во втором стержне:

Итак, исходя из расчета по допускаемым напряжениям допускаемая нагрузка:

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №2

Абсолютно жесткий брус АВ опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен с помощью шарниров к двум стальным стержням.

Требуется подобрать сечения стержней по условию их прочности, приняв запас прочности по отношению к пределу текучести .

Соотношение площадей поперечных сечений стержней указано на расчетных схемах, модуль упругости стали для всех вариантов

Студенты строительных специальностей дополнительно определяют допускаемую силу, используя расчет по предельной грузоподъемности, и сравнивают ее с заданной.

Числовые данные берутся из табл.2, расчетные схемы - по рис. 3.

Таблица 2

Числовые данные к задаче № 2

Номер строки	Номер расчет. схемы по	Размер, м	Сила, кН	Марка стали	Предел текучести, МПа
рис 3	а	b	с
1,2	1,6	1,0
1,2	1,5	0,8
1,4	1,4	1,0
1,4	1,6	0,9
1,4	1,5	0,7
1,3	1,4	0,8
1,5	1,2	1,0	40Х
1,5	1,1	0,9
1,2	1,5	1,0
1.2	1.6	1,0	40Х
з	ж	а	б	в	г	д

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 2

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

В задаче № 2 рассматривается статически неопределимая конструкция, стержневые элементы которой работают на растяжение или сжатие и число неизвестных сил, приложенных к абсолютно жесткому брусу, превышает возможное число уравнений статики. Разность между числом неизвестных усилий

Рис. 3. Расчетные схемы к задаче № 2

и числом возможных уравнений статики определяет степень статической неопределимости системы. Уравнения, недостающие для определения усилий в стержнях, можно получить, рассматривая возможную деформацию системы. Условие, выражающее зависимость между деформациями отдельных элементов системы (конструкции), называется условием совместности деформаций. Оно получается из геометрических соотношений между деформациями элементов конструкции. Используемые при решении задачи расчетные формулы приведены в методических указаниях к решению задачи № 1.

Метод расчета статически неопределимой системы по предельной грузоподъемности (по разрушающим нагрузкам) достаточно подробно изложен в учебной литературе и в данном пособии рассмотрен на конкретном примере.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №2

Жесткий брус АВ закреплен, как показано на рис.4, и нагружен силой 5 кН.

Требуется подобрать сечения стержней из условия их прочности. Числовые данные к задаче берутся из табл.2. Для данной задачи примем

а =1,2 м; в =1,4 м; с =1,0 м материал - сталь 40,

Вычислим степень статической неопределимости.

Жесткий брус АВ закреплен с помощью шарнирно-неподвижной опоры и поддерживается двумя деформируемыми стальными стержнями АЕ и ВК. На опоре С (рис.4) - две составляющие реакции X_C и Y_C , реакции в стержнях направлены вдоль их осей и приложены к брусу АВ в точках А и В. Направление этих реакций рекомендуется установить после анализа возможного деформированного состояния конструкции

Рис. 4. Расчетная схема

Для плоской системы сил в общем случае ее приложения к конструкции можно составить только три независимых уравнения равновесия. В рассматриваемой задаче к брусу АВ приложено четыре неизвестных усилия: две реакции в шарнире и два усилия в стержнях. Разность между числом неизвестных усилий и числом уравнений статики показывает, что для определения этих неизвестных необходимо составить еще одно уравнение статики, в которое входили бы интересующие нас величины. Такое уравнение или несколько подобных уравнений можно получить из геометрических зависимостей между деформациями элементов заданной конструкции.

Рассмотрим конструкцию после деформации ее элементов (рис.5). Под действием силы Р жесткий брус может повернуться вокруг точки С, при этом стержни АЕ и ВК будут деформированы. Точки А и В описывают при повороте бруса дуги окружностей, которые ввиду малости перемещений заменяются касательными, т.е. считается, что эти точки перемещаются по перпендикулярам к радиусам АС и ВС этих дуг. Точка А смещается вниз и занимает положение , точка В - вверх, занимая положение . Брус, как абсолютно жесткий элемент конструкции, - положение .Очевидно, что стержень АЕ сжат и стал короче на величину . Соединив точки К и , находим на чертеже положение стержня ВК после его деформации. Опустив перпендикуляр из точки В на прямую , находим точку .

Отрезок - удлинение стержня ВК.

Действительно, , так как КВ=КВ₂, и стержень КВ растянут.

Выяснив направление усилий в стержнях, показываем векторы этих усилий на схеме недеформированного состояния конструкции (см. рис. 4) и составляем уравнение ее равновесия:

Определения составляющих реакции шарнира для решения данной задачи не требуется, и два других уравнения статики не составляются.

Для вычисления усилий в стержнях необходимо иметь еще одно уравнение, называемое уравнением совместности деформаций. Это уравнение получаем из геометрических соотношений между деформациями элементов заданной конструкции. При этом ввиду малости деформаций изменением угла наклона стержня ВК пренебрегаем, считая что Ð .

Из подобия треугольников и находим соотношение между деформациями стержней - :

Полученная зависимость (2.2) называется условием совместности деформаций.

Абсолютные удлинения стержней можно выразить через усилия, используя формулу Гука (1.2):

Подставив выражения (2.3) в условие совместности деформаций (2.2), получим

Решая систему уравнений (2.1) и (2.4), определяем усилия в стержнях . Для этого подставим значение N₁ из (2.4) в уравнение (2.2):

Решив систему уравнений, получим

Определив усилия в стержнях, переходим к подбору площадей их поперечных сечений.

Для заданного материала по формуле (1.13) вычислим допускаемое напряжение

Определяем напряжения в стержнях и выбираем большее:

Площадь сечения F подбираем по условию прочности наиболее нагруженного стержня. Так как больше , используем условие прочности первого стержня:

Площади сечений стержней принимаем в соответствии с заданным соотношением:

Определение допускаемой силы Р по условию задачи производится по предельной грузоподъемности конструкции.

Предельным состоянием конструкции называется такое состояние, при котором она начинает деформироваться без увеличения нагрузки.

В данном примере это произойдет в том случае, когда напряжения во всех стержнях достигнут предела текучести

Усилия в стержнях будут определяться по формулам

Нагрузка, соответствующая предельному состоянию, называется предельной. Ее величину можно найти из уравнения предельного равновесия, которое получается из уравнения (2.1) после подстановки в него значений :

Допускаемая нагрузка с учетом заданного коэффициента запаса

Величина допускаемой нагрузки при расчете по предельной грузоподъемности получается большей, чем при расчете по допускаемым напряжениям:

Разница составляет 34 %, что является результатом разных предположений об опасном состоянии конструкции: при расчете по допускаемым напряжениям опасным считается состояние, при котором только в одном стержне напряжение достигает предела текучести. Для статически неопределимых систем расчет по предельной грузоподъемности дает более экономичное решение при назначении размеров сечения, и им широко пользуются в строительной практике.

Решение. Пример расчета (задача № 2)

Абсолютно жесткий брус АЕ (рис. 2.12, а), имеющий одну шарнирно неподвижную опору С и прикрепленный в точках В, Д и Е тремя тягами из упруго-пластического материала, нагружен переменной по величине силой Р. Площадь поперечного сечения тяг F₁, F₂, F₃, модуль упругости и предел текучести материала тяг Е = 2×10 5 МПа, s_Т = 240 МПа. Допускаемое напряжение [s]=, где коэффициент запаса прочности n принят равным 1,5.

Требуется:

1. Найти усилия в тягах, реакцию опоры С и угловое смещение (поворот бруса вокруг точки С) как функции от величины силы Р;

2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее величину, при которой напряжение в одной из тяг достигает предела текучести;

4. Найти величины несущей способности конструкции из расчетов по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты и сделать вывод.

Дано: F₁ = 2×10 - 4 м 2 ; F₂ = 1×10 - 4 м 2 ; F₃ = 2×10 - 4 м 2 ; a = 2 м; b = 1 м; c = 1 м; d = 2 м; l₁ = 1 м; l₂ = 1 м; l₃ = 1,2 м.

1. Найти усилия в тягах, реакции в опоре С и угловое смещение (поворот бруса вокруг т. С), как функции от величины силы Р. Для определения величин усилий в тягах в зависимости от Р применим метод сечений. Сделав сечение по всем тягам и приложив в местах сечений усилия N₁, N₂ и N₃, возникающие в тягах, рассмотрим равновесие оставшейся части, нагруженной продольными усилиями в тягах N₁, N₂ и N₃ реакциями опоры С (R_C и H_C) и силой Р (рис. 2.12, б). Составив уравнения равновесия статики для оставшейся части, получим:

1) Sz = 0, Н_C = 0; (2.29)

2) Sy = 0, -Р + N₁ + R_C - N₂ - N₃ = 0; (2.30)

3) SM_C = 0, -Р×3 + N₁×1 + N₂×1 + N₃×3 = 0. (2.31)

Из уравнений равновесия видно, что система дважды статически неопределима, т.к. два уравнения равновесия (2.30) и (2.31) содержат в своем составе четыре неизвестных. Поэтому для решения задачи необходимо составить два дополнительных уравнения совместности деформаций, раскрывающих статическую неопределимость системы.

Для составления дополнительных уравнений рассмотрим деформированное состояние системы (рис. 2.12, в), имея в виду, что брус абсолютно жесткий и поэтому после деформации тяг останется прямолинейным.

Эти дополнительные уравнения совместности деформаций получим из подобия треугольников ВСВ₁~DCD₁ и BCB₁~ECE₁:

Решая эти уравнения, получим:

Выразив деформации тяг по формуле определения абсолютного удлинения:

и подставив эти значения в уравнения (2.32) и (2.33), получим:

Подставив найденные значения N₂ и N₃ в уравнение (2.31) определяем величину N₁ :

-P×3 + N₁×1 + 0,5×N₁×1 + 2,5×N₁×3 = 0; N₁=0,3333P.

Зная N₁, из уравнений (2.34) и (2.35), находим N₂ и N₃:

Опорную реакцию R_C определяем из уравнения (2.30), подставив найденные значения N₁, N₂ и N₃:

-P + 0,333P + R_C - 0,167P - 0,833P = 0; R_C = 1,667P.

После определения величин усилий в тягах N₁, N₂, N₃ и реакции R_C необходимо проверить правильность их вычисления. Для этого составим уравнение равновесия статики SМ_A = 0:

-N₁×a - R_C (a + b) + N₂ (a + b + c) + N₃ (a + b + c + d) = 0;

Следовательно, N₁, N₂, N₃ и R_C определены правильно.

Угловое смещение бруса (угол j), ввиду его малости, находим как тангенс угла наклона бруса АЕ :

2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее величину, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести. Для вычисления величины Р, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести s_T , определим нормальные напряжения, возникающие в тягах, учитывая то, что тяги работают на растяжение:

Полученные величины напряжений показывают, что в тяге 3 напряжение достигнет предела текучести раньше, чем в тягах 1 и 2, так как s₃ > s₁ и s₃ > s₂. Поэтому, приравняв напряжение s₃ пределу текучести s_T , определим величину Р, при которой нормальное напряжение в тяге 3 достигнет предела текучести s_T :

3. Определить в процессе увеличения нагрузки Р ее предельную величину, при которой напряжения в трех тягах достигнут предела текучести, реакцию опоры С и соответствующий этому предельному состоянию угол.При исчерпании несущей способности всех тяг напряжения в них достигнут предела текучести s_T . В этом случае предельные усилия, которые возникнут в тягах, будут равны:

= F₁×s_T = 2×10 -4 ×24×10 4 = 48 кH;

= F₂ s_T = 1×10 -4 ×24×10 4 = 24 кH;

= F₃×s_T = 2×10 -4 ×24×10 4 = 48 кH.

Предельную величину внешней нагрузки, соответствующую исчерпанию несущей способности, найдем из уравнения (2.31), подставив в него предельные значения , , :

-P_ПР ×3 + 48×1 + 24×1 + 48×3 = 0; P_ПР = кН.

Предельную величину реакции определяем из уравнения (2.30):

-72 + 48 + - 24 - 48 = 0; = 96 кН.

При определении наименьшего угла поворота бруса, соответствующего предельному состоянию системы, необходимо знать, в какой из тяг текучесть наступит позже.

Полученные величины напряжений (см. п. 2) показывают, что в тягах 1 и 2 напряжения достигнут предела текучести одновременно, но позже, чем в тяге 3. Поэтому предельный угол поворота бруса определяем для момента перехода материала тяг 1 и 2 в пластическое состояние:

4. Найти несущую способность из расчетов по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты и сделать вывод. Из предыдущих расчетов (см. п. 2) видно, что текучесть материала раньше появится в тяге 3, т.к. s₃ > s₁ и s₃ > > s₂. Поэтому для определения величины грузоподъемности из расчета по методу допускаемых напряжений приравниваем напряжение в этой тяге s₃ = 0,417×10 4 Р к допускаемому напряжению:

кПа, 0,417×10 4 [P] = 16×10 4 кПа,

Несущая способность конструкции из расчета по методу разрушающих нагрузок получим путем деления ранее полученного значения P_ПР = 72 кН на коэффициент запаса n₁ = 1,5:

Сравнивая полученные величины, видим, что несущая способность из расчета по методу разрушающих нагрузок больше несущей способности из расчета по методу допускаемых напряжений на , что подтверждает известное положение о том, что метод допускаемых напряжений, в отличии от метода разрушающих нагрузок, не позволяет определить полную несущую способность системы. Это объясняется тем, что для статически неопределимых систем, переход одного элемента в пластическую стадию работы, как правило, не означает наступления предельного состояния. Переход системы в предельное состояние отождествляется с превращением ее из неизменяемой в геометрически изменяемую систему. Известно, что в статически неопределимой системе разрушение “лишних связей” не превращает ее в геометрически изменяемую. Так как реальные сооружения чаще всего представляют собой многократно статически неопределимые системы, материал которых обладает свойством пластичности, поэтому метод предельного равновесия имеет важное значение для раскрытия истинных резервов их несущей способности.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и поддерживается стержнями 1 и 2, изготовленными

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и поддерживается стержнями 1 и 2, изготовленными из стального проката). Требуется: 1.найти грузоподъемность заданной статически неопределимой системы (СНС) из расчета на прочность по допускаемым нормальным напряжениям ; 2.определить допускаемую нагрузку после преобразования СНС (рисунок 3.2) в статически определимую конструкцию путем исключения из расчетной схемы СНС одного (любого) из стержней; 3.оценить в процентах разницу между величинами и по отношению к и сделать общий вывод об эффективности СНС в сравнении со статически определимой системой. Исходные данные для решения задачи для шифра 99: № строки Схема а, м S, м , (град) , (град) Номер и форма сечения стержня 1 2 два уголка два уголка 1 9 1,7 2,95 70о 60о 63634 50504 а а б а а а б Расчетная схема Рис.1

Вычисляем площади F1и F2поперечных сечений 1-го и 2-го стержней стержней по таблице сортамента стального равнобокого уголка(ГОСТ 8509-93):
Для I стержня 2 уголка 63634 :
F1=2*4,96=9,92 см2;
Для II стержня 2 уголка 50504:
F2=2*3,89=7,78 см2.
2) Определяем длин и каждого стержневого элемента расчетной модели:
l1=2a=2*1,7=3,4 м;
l2=1,5asin60°=1,5*1,70,866=2,94 м.
3) Схематическое изображение совмещенного плана сил и перемещений и определение степени nс статической неопределимости рассматриваемой конструкции:
nc=cв-yст=4-3=1;
где св – число связей (стержней);
уст – количество уравнений статики.
Рис.2
4) Формулировка основного уравнения равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точки А, совпадающей с шарнирно-неподвижной опорой (рис

. 2):
MA=0; N1*2s-Q*1,7s+N2sin60°*a=0.
5) Составление на основе предполагаемого плана перемещений дополнительного уравнения совместности абсолютных линейных деформаций (удлинений) , 1-го и 2-го стержней, которое следует из формулы закона Гука :
∆l1=N1l1EF1; ∆l2=N2l2EF2 .
Установим зависимость между величинами ∆l1 и ∆l2. Из подобия треугольников ACC1 и ABB1 можно записать:
CC'BB'=2Sa, где BB1=BDsin60°из ∆ BDB1.
Тогда
CC'*sin60°BD=2Sa, или ∆l1*sin60°∆l2=2*2,951,7=3,47.
Следовательно, ∆l1sin60°=3,47∆l2.
Тогда выражение запишем так:
N1l1EF1*sin60°=3,47*N2l2EF2.
N1*3,49,92*10-4*0,866=3,47*N2*2,947,78*10-4.
N1=4,42N2.
Решаем систему уравнений:
N1*2s+N2sin60°*a=5,02Q;N1=4,42N2;
Тогда
N2=0,18Q;
N1=0,8Q;
6) Вычисляем нормальных напряжений и , возникающих в поперечных сечениях 1-го и 2-го стержней:
σ1=N1F1=0,8Q9,92=0,08Q;
σ2=N2F2=0,18Q7,78=0,02Q.
7)Определение расчетных деформаций , :
∆l1P=N1l1EF1=0,8Q*3,4E*0,000992=2742QE;
∆l2P=N2l2EF2=0,18Q*2,94E*0,000778=680,2QE.
8) Определяем грузоподъемности из равенства абсолютной величины расчетного и допускаемого напряжений, то есть
σmax=σ
σmax=σ1=N1F1=0,8Q9,92*10-4=160*106=>Q=198,4 кН.
9) Вычисление внутреннего продольного усилия No(в одном несущем стержне) из моментного уравнения при N2=0, что соответствует преобразованию проектируемой СНС в статически определимую конструкцию.
Рис.3
10) Формулировка основного уравнения равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точки А, совпадающей с шарнирно-неподвижной опорой (рис

Читайте также: