Верное соотношение между радиусом описанной около правильного шестиугольника окружности и стороной

Обновлено: 24.01.2025

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Т.к. сумма всех углов $n$ –угольника равна $180^\circ(n-2)$ , то каждый угол правильного $n$ –угольника равен \[\alpha_n=\dfracn \cdot 180^\circ\]

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен $\dfrac 4\cdot 180^\circ=90^\circ$ ;

каждый угол правильного шестиугольника равен $\dfrac6\cdot 180^\circ=120^\circ$ .

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Если $a$ – сторона правильного $n$ –угольника, $R$ и $r$ – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: \[\begin S&=\dfrac n2ar\\ a&=2R\cdot \sin\dfracn\\ r&=R\cdot \cos\dfracn \end\]

Свойства правильного шестиугольника

1. Сторона равна радиусу описанной окружности: $a=R$ .

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

3. Все углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$ .

4. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $\dfrac>a^2$ .

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу $r$ вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный $60^\circ$ относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

В общем случае правильный $n$ -угольник инвариантен относительно поворота на угол $\dfrac$ .

Шестиугольник является правильным многоугольником, так как у него все стороны и углы равны. А значит, около любого шестиугольника можно описать окружность.

Точка O –центр правильного многоугольника, также является центром описанной вокруг него окружности.
Центр правильного многоугольника равноудален от его вершин. Отрезок, соединяющий центр с вершинами называется радиусом правильного многоугольника и также является радиусом описанной около него окружности.

Формула радиуса описанной окружности около шестиугольника
Существует классическая формула для нахождения радиуса описанной окружности около правильного многоугольника

Для правильного шестиугольника n=6, тогда угол будет равен /6>=30^0" />

По тригонометрической таблице sin(30°)=
Тогда формула радиуса описанной окружности около шестиугольника имеет следующий вид
Радиус описанной окружности около шестиугольника равен его стороне

Радиус описанной окружности около шестиугольника имеет вид R = a
Применив формулу радиуса вписанной окружности в шестиугольник, получаем: >/2>" />

Выразим сторону шестиугольника: />>" />

Выразим радиус описанной окружности через радиус вписанной: />>=< >/ sqrt >=2" />

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

10 Смотреть ответы Добавь ответ +10 баллов

Ответы 10

R=a" />
, где а - сторона шестиугольника.

$\dfrac<R> = \dfrac < \dfrac> > = \dfrac>$
- искомое отношение.

1) В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне (центральный угол опирающийся на сторону равен 360/6 = 60 гр). Высота правильного треугольника (она же радиус вписанной окр-ти):

h = Rкор3 /2 = r = кор3

S(A1A2A3) = (1/2) A1A2*A2A3*sin120 = (1/2)R^2 *(кор3)/2 = кор3

2) В треугольнике А1ОА4 угол А1ОА4 = 3*(360/8) = 3*45 = 135 гр.

S(A1OA4) = (1/2) R^2 *sin135 = R^2*кор2 /4 = 16кор2

Отсюда R^2 = 64, R = 8

Тр. А2ОА4 - прямоугольный, так как угол А2ОА4 = 2*(360/8) = 90 гр.

Катеты равны R=8.

S(A2OA4) = R^2 /2 = 64/2 = 32.

Диагонали, проходящие через центр шестиугольника, разбивают его на шесть равных равнобедренных треугольников, угол при вершине у которых равен 60° (360° : 6 = 60°), значит эти треугольники равносторонние.

Радиус вписанной окружности является высотой равностороннего треугольника.

Пусть а - сторона шестиугольника, тогда

a = 24 / √3 = 8√3 см

Площадь можно найти по формуле:

S = pr, где р - полупериметр.

S = 24√3 · 4 = 96√3 см²

Для правильного шестиугольика в геометрии есть формула и опираясь на их задачу можно решить в 2 действия:

1) радиус описанной окружности равер стороне, пусть а- стороно шестиугольника тогда а=3^(1/2)-((корень из 3))

2)радиус вписанной окружности вычисляется по формуле r=(a*3^(1/2))/2=3/2=1.5

Если соединить центр окружности с двумя соседними вершинами, получится правильный треугольник, в котором данный радиус будет высотой. Значит, сторона = радиусу описанной окружности (центры вписанной и описанной окружностей совпадают) = 16/ корень из 3; периметр - 96/корень из 3, площадь - 64 корня из 3 (площадь одного из вышеуказанных треугольников) * 6 = 384 корня из 3

Вписанная и описанная окружность

Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106).

Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107).

1. Окружность можно вписать в любой треугольник.

2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

Например, на рисунке 8.106 .

Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.

1. Окружность можно описать около любого треугольника.

2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.

$LaTeX formula: \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^<\circ> Например, на рисунке 8.107$
.

Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:

1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:

а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108);

б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);

3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);

4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).

Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник :

1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);

2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;

3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей

Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают , а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают :

1) для равностороннего треугольника со стороной :

$LaTeX formula: R=\frac<\sqrt<3> >$
, (8.34)

$LaTeX formula: r=\frac<2\sqrt<3> >$
; (8.35) 2) для произвольного треугольника со сторонами и площадью :

$LaTeX formula: r=\frac<2S>$
; (8.37) 3) для прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой :

$LaTeX formula: R=\frac<c>$
, (8.38) 4) для квадрата со стороной и диагональю :

$LaTeX formula: R=\frac<d>$
, (8.40)

$LaTeX formula: r=\frac<2>$
; (8.41)

5) для прямоугольника с диагональю :

$LaTeX formula: R=\frac<d>$
; (8.42)

6) для ромба с высотой :

$LaTeX formula: r=\frac<h>$
; (8.43)

7) для трапеции с высотой , при условии, что в трапецию можно вписать окружность:

$LaTeX formula: r=\frac<h>$
. (8.44) Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами и площадью , по формуле " height="" />
найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);

8) для правильного шестиугольника со стороной :

, (8.45)

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.

$LaTeX formula: 2\pi -8$

Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна . Решение. Так как площадь круга радиуса находят по формуле 8.32 , а площадь квадрата со стороной находят по формуле " height="" />
, то согласно условию задачи запишем: -S_=12" height="" />
, -a^=2\pi -8" height="" />
.

$LaTeX formula: 2\sqrt<2> Ответ:$
.

Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами и находят по формуле . Пусть , тогда (рис. 8.118). Получим: , +3x-4=0" />
, откуда , следовательно, , . По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: =1+16=17" />
, " />
. Согласно формуле 8.42 " />
.

$LaTeX formula: 0,5\sqrt<17> Ответ:$
.

Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8.

Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):

=\left (\frac> \right )^+\left ( \frac \right )^" />
, =3^+4^" />
, . По формуле d_d_" />
найдем площадь ромба: \cdot 6\cdot 8=24" />
. Но площадь ромба можно найти и по формуле , а так как , то . Тогда , а .

$LaTeX formula: 4\sqrt<3> Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна$
. Решение. Площадь правильного треугольника со стороной находят по формуле: a^>" />
. Зная площадь треугольника, найдем его сторону: a^>=4\sqrt" />
, =16" />
, .

$LaTeX formula: r=\frac<4> По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: >=\frac>$
.

$LaTeX formula: C=\frac<4\pi > По формуле 8.30 найдем длину окружности: >$
.

$LaTeX formula: \frac<4\sqrt Ответ: \pi >$
.

Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой находят по формуле 8.38 . Тогда . Так как треугольник равнобедренный, то его катеты и раны и по теореме Пифагора =2a^" height="" />
, откуда <\sqrt>" height="" />
, <\sqrt>=2\sqrt" height="" />
. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае " />
, -4>=2\sqrt-2" />
.

$LaTeX formula: 2\sqrt<2> Ответ: -2$
.

Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Точка является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120). Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат со стороной 3. Если катет , а сторона квадрата , то . Пусть отрезок . По свойству касательных и . Тогда по теореме Пифагора =AC^+AB^" height="" />
или =64+9+6x+x^" height="" />
, откуда , . Найдем катет : . Найдем площадь треугольника: =\frac\cdot AC\cdot AB" />
, =\frac\cdot 8\cdot 15=60" />
.

Пример 7. Окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис.8.121).

Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: =\frac" />
, откуда .

Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.

В свою очередь по формуле Герона " />
найдем площадь треугольника. Так как , то =9\sqrt" />
.

$LaTeX formula: r=\frac<18\sqrt Тогда >=\frac>=0,6\sqrt$
.

$LaTeX formula: 0,6\sqrt<15> Ответ:$
.

Пример 8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции.

Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: , . По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: , , . Согласно формуле (a+b)h" />
найдем площадь трапеции: \cdot 15\cdot 6=45" />
.

Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как , а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию (рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции .

Радиус окружности, описанной около треугольника , найдем по формуле 8.36 : >=\frac\cdot AD\cdot BN>" />
, " />
. Зная, что и вводя коэффициент пропорциональности , получим , . Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то (5k +12k)=17" />
, откуда . Тогда , . Поскольку четырехугольник является прямоугольником, то , тогда (24-10)=7" height="" />
. +ND^>" />
, +17^>=17\sqrt" />
. По формуле 8.36 найдем радиус окружности, описанной около треугольника , а, следовательно, и около трапеции :

$LaTeX formula: R=\frac<\sqrt<338> \cdot 17\sqrt>=\frac=13$
.

$LaTeX formula: S=169\pi$

Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: .

$LaTeX formula: 169\pi$

Ответ: .

$LaTeX formula: \sqrt<3> Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна$
.

$LaTeX formula: R=a=\sqrt<3> Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника:$
. По формуле 8.46 найдем радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. Так как " />
, то " />
. Площадь круга находят по формуле 8.32. Тогда =3\pi" />
, а =\frac<9\pi>" />
. Найдем площадь кольца: =S_-S_" />
, =3\pi -\frac<9\pi >=\frac<3\pi >" />
.

$LaTeX formula: 0,75\pi$

Ответ: .

1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.

3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.

5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.

Длину окружности радиуса находят по формуле:

$LaTeX formula: C=2\pi R$

. (8.30)

Площадь круга радиуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S=\pi R^<2>$
. (8.32)

Читайте также: