В каждую крайнюю клетку квадратной доски поставили по фишке могло ли оказаться что выставлено ровно

Обновлено: 25.01.2025

В каждую крайнюю клетку квадратной доски поставили по фишке могло ли оказаться что выставлено ровно

В каждую крайнюю клетку квадратной доски поставили по фишке. Могло ли оказаться, что выставлено ровно k фишек? (Например, если доска 2 x 2, то выставлено 4 фишки, а если 6 x 6 - то 20).

Вводится одно натуральное число k.

20.08.2016 01:59
Другие предметы
remove_red_eye 2673
thumb_up 27

Ответы и объяснения 1

kerkovendyco

program gt;
var a:longint;
begin
read(a);
if (a=1)or(a mod 4=0) then writeln('YES')else writeln('NO');
end.

21.08.2016 15:38
thumb_up 24

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат - это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Другие предметы.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи - смело задавайте вопросы!

В данном разделе публикуются вопросы и ответы на них к непопулярным предметам.

Не могу решить задачу

Голосование за лучший ответ

Внимательно прочитайте и решите, только не ночью, - ночью мозги хреново работают, говорю как студент

Ник НАрМыслитель (6585) 8 месяцев назад

Не по факту кстати.

Ник НАрМыслитель (6585) 8 месяцев назад

Ну давайте рассуждать. Каждая сторона доски квадратной будет заключать в себе ровно i клеток. Однако при заполнении двух противолежащих сторон вы получите, что оставшиеся можно заполнить лишь 2i - 4 фишками. Вот так вот. А общая формула:
4i - 4. Теперь просто прогоняете прошу не путать i в данном контексте с комплексными числами.
Вы просто прогоняете по циклу i в этой формуле и проверяете равенство, пока не окажется это значение больше самого k.

Назар Дударев Знаток (313) Ник НАр, хха если бы вы знали как мне всё равно, вы бы расплакались

print('NO' if int(input()) % 4 else 'YES')

Невероятно 'сложная' задача - проверить, что остаток от деления на 4 равен 0.

Лайт ЯгамиИскусственный Интеллект (219792) 8 месяцев назад

ну и рассмотреть отдельно случай 1х1)

Андрей Искусственный Интеллект (176135) Лайт Ягами, Да, этот особый случай упустил.

В каждую крайнюю клетку квадратной доски поставили по фишке. Могло ли оказаться, что выставлено ровно k фишек?

Выходные данные
Программа должна вывести слово YES, если существует такой размер доски, на который будет выставлено ровно (не больше, и не меньше) k фишек, в противном случае - вывести слово NO.
Примеры
входные данные
20
выходные данные
YES
входные данные
13
выходные данные
NO
_____________________

program upr3;
var k:longint;
begin
read(k);
if (k=1) or (k mod 4=0) then writeln ('Yes')
else writeln ('NO');
end.

Пишет частичное решение. Что не так?

Лучший ответ онлайн решалка?) YES попробуйте большими :) елена дудалеваЗнаток (319) 5 лет назад Даа) Спасибо. Остальные ответы

Очевидно, что количество фишек зависит от длины стороны так:

Из чего следует, что тебе подходят только те случаи, когда (n+4) mod 4 =0

Из этого правила выбивавется только ублюдочный случай n=1 - учти его отдельно.

Решение задач на С++

Задача A. Максимум из двух чисел
Даны два целых числа, каждое число записано в отдельной строке. Выведите наибольшее из данных чисел.

Задача B. Високосный год
Требуется определить, является ли данный год високосным. (Напомним, что год является високосным, если его номер кратен 4, но не кратен 100, а также если он кратен 400.)

Задача E. Какое из чисел больше?
Даны два целых числа, каждое записано в отдельной строке. Программа должна вывести число 1, если первое число больше второго, число 2, если второе больше первого, или число 0, если они равны.

Задача F. Максимум из трех
Даны три числа, каждое записано в отдельной строке. Выведите наибольшее из данных чисел (программа должна вывести ровно одно целое число).

Задача G. Ладья
Требуется определить, бьет ли ладья, стоящая на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке. Вводятся четыре числа: координаты ладьи (два числа) и координаты другой фигуры (два числа), каждое число вводится в отдельной строке.

Задача не требует дополнительных условий, что шахматная доска не может быть больше 8х8, и фигуры не могут находиться в одной клетке.

Задача H. Слон
Требуется определить, бьет ли слон, стоящий на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке. Вводятся четыре числа: координаты слона и координаты другой фигуры.

Задача I. Ферзь
Требуется определить, бьет ли ферзь, стоящий на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке. Вводятся четыре числа: координаты ферзя и координаты другой фигуры.

Задача K. Конь
Требуется определить, бьет ли конь, стоящий на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке. Вводятся четыре числа: координаты коня и координаты другой фигуры.

Задача M. Фишки
В каждую крайнюю клетку квадратной доски поставили по фишке. Могло ли оказаться, что выставлено ровно k фишек? (Например, если доска 2 x 2, то выставлено 4 фишки, а если 6 x 6 - то 20).
Вводится одно натуральное число k.

Задача P. Сдача
Товар стоит a руб. b коп. За него заплатили c руб. d коп. Сколько сдачи требуется получить? Вводятся 4 числа: a, b, c и d. Необходимо вывести 2 числа: e и f, число рублей и копеек, соответственно.

Задача Q. Мороженое
В кафе мороженое продают по три шарика и по пять шариков. Можно ли купить ровно k шариков мороженого?

Задача R. Котлеты
На сковородку одновременно можно положить k котлет. Каждую котлету нужно с каждой стороны обжаривать m минут непрерывно. За какое наименьшее время удастся поджарить с обеих сторон n котлет? Вводятся 3 числа: k, m и n.

Задача S. Координатные четверти
Даны координаты двух точек на плоскости, требуется определить, лежат ли они в одной координатной четверти или нет (все координаты отличны от нуля). Вводятся 4 числа: координаты первой точки (x1, y1) и координаты второй точки (x2, y2).

Задача T. Существует ли треугольник?
Даны три натуральных числа a, b, c, записанные в отдельных строках. Определите, существует ли треугольник с такими сторонами. Если треугольник существует, выведите строку YES, иначе выведите строку NO.

Задача AE. Упорядочить три числа
Дано три числа, записанный в отдельных строках. Упорядочите их в порядке неубывания. Программа должна считывать три числа a, b, c, затем программа должна менять их значения так, чтобы стали выполнены условия a <= b <= c, затем программа выводит тройку a, b, c.

Решение задач на С++

Статья на тему "Подготовка к олимпиадам по информатике:Условный оператор"

Даны два целых числа, каждое число записано в отдельной строке.

Формат выходных данных

Выведите наибольшее из данных чисел.

Задача B. Високосный год

Требуется определить, является ли данный год високосным. (Напомним, что год является високосным, если его номер кратен 4, но не кратен 100, а также если он кратен 400.)

ЗадачаC. Тестирующая система

В условии одной из задач на этом сайте написано: “Если данное четырехзначное число является симметричным, выведите 1, иначе выведите любое другое целое число”. Для проверки задачи используются заранее подготовленные примеры и правильные ответ на них.

Школьнику кажется, что он решил эту задачу, но тестирующая система почему-то не принимает его решение. Школьник думает, что это происходит оттого, что он выводит не то любое другое число, которое записано в правильных ответах.

Напишите программу, которая по ответу, записанному в тестирующей системе и по ответу школьника определяет, верно ли школьник решил задачу. Программа получает на вход два числа: ответ, записанный в тестирующей системе и ответ школьника. Программа должна вывести YES , если школьник дал верный ответ и NO в противном случае.

Задача D. Знак числа

В математике функция sign ( x ) (знак числа) определена так:

sign ( x ) = 1, если x > 0,

sign ( x ) = -1, если x < 0,

sign ( x ) = 0, если x = 0.

Для данного числа x выведите значение sign ( x ).

Задача E. Какое из чисел больше?

Формат входных данных

Даны два целых числа, каждое записано в отдельной строке.

Формат выходных данных

Программа должна вывести число 1, если первое число больше второго, число 2, если второе больше первого, или число 0, если они равны.

Задача F. Максимум из трех

Формат входных данных

Даны три целых числа, каждое записано в отдельной строке.

Формат выходных данных

Выведите наибольшее из данных чисел (программа должна вывести ровно одно целое число).

Задача G. Ладья

Требуется определить, бьет ли ладья, стоящая на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке. Вводятся четыре числа: координаты ладьи (два числа) и координаты другой фигуры (два числа), каждое число вводится в отдельной строке.

Задача H. Слон

Требуется определить, бьет ли слон, стоящий на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке. Вводятся четыре числа: координаты слона и координаты другой фигуры.

Задача I. Ферзь

Требуется определить, бьет ли ферзь, стоящий на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке. Вводятся четыре числа: координаты ферзя и координаты другой фигуры.

Задача J. Король

Поле шахматной доски определяется парой чисел ( a , b ), каждое от 1 до 8, первое число задает номер столбца, второе – номер строки. Заданы две клетки. Определите, может ли шахматный король попасть с первой клетки на вторую за один ход.

Формат входных данных

Даны 4 целых числа от 1 до 8 каждое, первые два задают начальную клетку, вторые два задают конечную клетку. Начальная и конечная клетки не совпадают. Числа записаны в отдельных строках.

Формат выходных данных

Программа должна вывести YES , если из первой клетки ходом короля можно попасть во вторую, или NO в противном случае.

Задача K. Конь

Требуется определить, бьет ли конь, стоящий на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке. Вводятся четыре числа: координаты коня и координаты другой фигуры.

Задача L. Шоколадка

Требуется определить, можно ли от шоколадки размером n × m долек отломить k долек, если разрешается сделать один разлом по прямой между дольками (то есть разломить шоколадку на два прямоугольника). Вводятся 3 числа: n , m и k ; k не равно n × m . Гарантируется, что количество долек в шоколадке не превосходит 30000.

Задача M. Фишки

Вводится одно натуральное число k .

Задача N. Уравнение

Решить в целых числах уравнение ax + b = 0. Вводятся 2 числа: a и b . Необходимо вывести все решения, если их число конечно, “ NO ” (без кавычек), если решений нет, и “ INF ” (без кавычек), если решений бесконечно много.

Задача O. Сложное уравнение

Решить в целых числах уравнение ( ax + b ) : ( cx + d ) = 0. Вводятся 4 числа: a , b , c и d ; c и d не равны нулю одновременно. Необходимо вывести все решения, если их число конечно, “ NO ” (без кавычек), если решений нет, и “ INF ” (без кавычек), если решений бесконечно много.

Задача P. Сдача

Товар стоит a руб. b коп. За него заплатили c руб. d коп. Сколько сдачи требуется получить? Вводятся 4 числа: a , b , c и d . Необходимо вывести 2 числа: e и f , число рублей и копеек, соответственно.

Задача Q . Мороженое

В кафе мороженое продают по три шарика и по пять шариков. Можно ли купить ровно k шариков мороженого?

Задача R. Котлеты

На сковородку одновременно можно положить k котлет. Каждую котлету нужно с каждой стороны обжаривать m минут непрерывно. За какое наименьшее время удастся поджарить с обеих сторон n котлет? Вводятся 3 числа: k, m и n. Все числа не превосходят 32000.

Задача S. Координатные четверти

Даны координаты двух точек на плоскости, требуется определить, лежат ли они в одной координатной четверти или нет (все координаты отличны от нуля). Вводятся 4 числа: координаты первой точки ( x 1, y 1) и координаты второй точки ( x 2, y 2).

Задача T. Существует ли треугольник?

Формат входных данных

Даны три натуральных числа a , b , c , записанные в отдельных строках. Определите, существует ли треугольник с такими сторонами.

Формат выходных данных

Если треугольник существует, выведите строку YES , иначе выведите строку NO .

Задача U. Количество равных из трех

Формат входных данных

Даны три целых числа, записанных в отдельных строках. Определите, сколько среди них совпадающих.

Формат выходных данных

Программа должна вывести одно из чисел: 3 (если все совпадают), 2 (если два совпадают) или 0 (если все числа различны).

Задача V. Квадратное уравнение

Даны действительные числа a , b , c . Найдите все решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.

Формат входных данных

Даны три действительных числа, a не равно 0.

Формат выходных данных

Выведите два действительных числа, если уравнение имеет два корня, одно действительное число – при наличии одного корня. При отсутствии действительных корней ничего выводить не нужно.

Задача W. Тип треугольника

Определите тип треугольника (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный) с данными сторонами.

Формат входных данных

Даны три натуральных числа – стороны треугольника.

Формат выходных данных

Необходимо вывести одно из слов: right для прямоугольного треугольника, acute для остроугольного треугольника, obtuse для тупоугольного треугольника или impossible , если входные числа не образуют треугольника.

Задача X. Коровы

По данному числу n закончите фразу "На лугу пасется. " одним из возможных продолжений: " n коров", " n корова", " n коровы", правильно склоняя слово "корова".

Формат входных данных

Дано число n ( n <100).

Формат выходных данных

Программа должна вывести введенное число n и одно из слов (на латинице): korov , korova или korovy , например, 1 korova , 2 korovy , 5 korov . Между числом и словом должен стоять ровно один пробел.

Задача Y. Билеты на метро

Билет на одну поездку в метро стоит 15 рублей, билет на 10 поездок стоит 125 рублей, билет на 60 поездок стоит 440 рублей. Пассажир планирует совершить n поездок. Определите, сколько билетов каждого вида он должен приобрести, чтобы суммарное количество оплаченных поездок было не меньше n , а общая стоимость приобретенных билетов – минимальна.

Формат входных данных

Дано одно число n - количество поездок.

Формат выходных данных

Выведите три целых числа, равные необходимому количеству билетов на 1, на 10, на 60 поездок.

Задача Z. Билеты на метро – 2

Билет на одну поездку в метро стоит 15 рублей, билет на 5 поездок стоит 70 рублей, билет на 10 поездок стоит 125 рублей, билет на 20 поездок стоит 230 рублей, билет на 60 поездок стоит 440 рублей. Пассажир планирует совершить n поездок. Определите, сколько билетов каждого вида он должен приобрести, чтобы суммарное количество оплаченных поездок было не меньше n , а общая стоимость приобретенных билетов – минимальна.

Формат входных данных

Дано одно число n - количество поездок.

Формат выходных данных

Выведите пять целых чисел, равные необходимому количеству билетов на 1, на 5, на 10, на 20, на 60 поездок. Если для какого-то данного n существует несколько способов приобретения билетов одинаковой стоимости, необходимо вывести ту комбинацию билетов, которая дает большее число поездок.

Задача AA. Координаты соседей

Для клетки с координатами ( x , y ) в таблице размером M × N выведите координаты ее соседей. Соседними называются клетки, имеющие общую сторону.

Формат входного файла

Даны натуральные числа M , N , x , y (1 ≤ x ≤ M ≤ 109, 1 ≤ y ≤ N ≤ 109).

Формат выходного файла

В выходной файл выведите пары координат соседей этой клетки в произвольном порядке.

Задача AB. Апельсины бочками

Бизнесмен Василий после прочтения известной книги решил открыть новый бизнес – отгружать апельсины бочками. Партнерам важно знать сколько именно бочек апельсинов отгружается каждый день.

Напишите программу, которая выбирает правильное слово (из " bochka " , " bochek " , " bochki " ) в зависимости от N .

Формат входного файла

Одно число N (0 ≤ N ≤ 1000).

Формат выходного файла

Фраза на транслите (см. примеры).

Задача AC. Четные и нечетные числа

Даны три целых числа A , B , C . Определить, есть ли среди них хотя бы одно четное и хотя бы одно нечетное.

Разработка занятия на тему "Олимпиадная математика. Инварианты."

В некоторых задачах по математике дается набор преобразований исходного объекта и спрашивается: можно ли, используя эти преобразования, получить из одного состояния объекта другое? Перебором вариантов часто легко убедиться в правильности ответа “нельзя”, однако обосновать этот ответ бывает трудно. Методом, позволяющим во многих случаях решать доказательную часть таких задач, является метод инвариант.

Инвариантом называется нечто, не меняющееся в преобразованиях, например, число, набор чисел, четность какого – либо числа и другое. Если значение инварианта в двух состояниях объекта различно, то одно из них нельзя получить из другого. Придумать инвариант должен ученик, самостоятельно решающий задачу; обычно это вызывает у него затруднения. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность) чисел и остаток от деления. Причем применение четности – одна из наиболее встречающихся идей при решении олимпиадных задач.

Вспомним определения четного и нечетного числа. Особое внимание надо уделить абстрактному понятию четности, объяснить, что такое “разная четность”. Например, число х + 2 имеет ту же четность, что и число х (или оба четные, или оба нечетные), а при прибавлении единицы четность меняется. Применение идеи четности и нечетности основано на двух важных утверждениях (леммах):

Лемма 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Пример1. Число 1 +2 + 3 + … + 10 – нечетное, так как в сумме 5 нечетных слагаемых.

Пример 2. Число 5 + 7 + 9 + 11 +13 + 15 – четное, так как в сумме 6 нечетных слагаемых.

Лемма 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Пример 3 . Число (-1) *(-2) *(-3) *(-4) положительно, так как в произведении четное число отрицательных сомножителей.
Пример 4. Число (-1) *2 * (-3) * (-4) отрицательно, так как в произведении нечетное число отрицательных сомножителей.

Задача 1 . На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Нужно предложить выполнить эту операцию учащимся (результат каждого хода записывается на доске), заметить закономерность: после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего - четным; после четвертого – нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.

Задача 2. На доске написано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркиваем любые два числа, и если они одинаковые, то дописываем к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

1)Если вычеркиваем два нуля, то дописываем нуль, тогда «0»-7,

«1»-7.Осталось 14 чисел. Сумма -нечетное.

2)Если вычеркиваем две единицы, то дописываем нуль, тогда «0»-9, «1»-5. Сумма -нечетное.

3)Если нуль и единицу, то дописываем единицу, тогда «0»-7,

После выполнения данной операции на доске получается на одно число меньше.

---сумма оставшихся чисел все время число нечетное.

Значит, после 14 раз указанной операции на доске останется одно и нечетное число, а это-1!

Задача 3. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?

Решение. Ответ: нельзя. Так как число чисел в таблице нечетно, а после каждой операции число чисел (+ 1) в таблице четно. На языке инвариантов это означает: инвариантом таблицы относительно введенной операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно ( - 1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен ( + 1).

Задача 4. Квадрат 5х5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется

столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.

Найдем произведение всех чисел. Оно отрицательно.

Произведение всех чисел равно произведению чисел в столбцах.

А так как произведение всех чисел отрицательно, то оно должно быть отрицательно в пяти, трех или хотя бы в одном столбце.

Что и требовалось доказать!

Задача 5. 16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

Т.к количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличается на 1, то рассмотрим сумму: ч + н + ч +…+ н =55

Или н + ч + н +…+ ч = 55.

Значит, разложить 55 арбузов нельзя!

Задачи для самостоятельного решения(6-7 классы):

На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке, и каждая либо снимает, либо вешает ровно один платок. Может ли после ухода девочек на вешалке остаться 10 платков?

Решение: После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?

Решение: Нельзя. Проследите за остатками по модулю 4.

На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?

Решение. Нет, так как в любом случае перевернутых вверх дном стаканов будет числом нечетным.

В марсианском алфавите есть две буквы - У и Ы, причем если из любого слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ, то смысл слова не изменится. Точно также смысл не изменится при добавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ. Верно ли, что слова ЫУЫУЫ и УЫУЫУ имеют одинаковый смысл?

Решение: Обратите внимание, что при любой разрешенной нам операции добавления или выкидывания куска слова количества букв У и Ы в этом куске равны. Это означает, что разность между числом букв У и букв Ы в слове не изменяется. Проследите это на примере

Ы -> ЫЫУ -> ЫУУЫЫЫУ -> ЫУЫЫУ

Во всех этих словах букв Ы на одну больше, чем букв У. Вернемся к решению. В слове ЫУЫУЫ разность равна (-1), а в слове УЫУЫУ равна 1. Значит, из слова ЫУЫУЫ нельзя разрешенными операциями получить слово УЫУЫУ, и следовательно, нельзя утверждать, что эти слова обязательно имеют одинаковый смысл.

100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?

Решение: нельзя.

Решение. Пронумеруем места, на которых стоят фишки.

В итоге же картинка должна стать такой:

Итак, если изначально фишка стояла на четном месте, то должна оказаться на нечетном месте, но это невозможно, так как разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку (если фишка лежала на четном месте, то ее можно переложить только на четное место). То есть четность места фишки является инвариантом.

Круг разделен на 6 секторов, в каждом из которых стоит фишка-рыбка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью 20 таких операций собрать все фишки в одном секторе?

Решение. Занумеруем сектора по часовой стрелке числами от 1 до 6. Для любого расположения фишек рассмотрим величину S – сумму номеров секторов, в которых лежат данные нам 6 фишек (при этом если в каком-то секторе лежит две фишки, то его номер учитывается дважды, если три фишки – трижды и т.д. Например, для ситуации, приведенной на рис. эта величина равна 1+2+3+3+5+6=20). Тогда, если мы перекладываем фишку на соседний сектор, S меняется или на 1 или на 5 (если мы перекладываем с 1 на 6 или наоборот). В любом случае четность S меняется. Следовательно, после 20 ходов четность S будет такая же, как в начале. В начале S =1+2+3+4+5+6=21. А если бы все фишки лежали в одном секторе с номером n , то S равнялось бы 6n – четное число. Значит, собрать все фишки в одном секторе за 20 ходов не получится.

На доске написаны десять чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?

Решение: нельзя.

Проследим за суммой всех чисел. При операции из условия эта сумма увеличивается на 2. Значит, четность суммы всех чисел не меняется, она инвариант. В начале сумма всех чисел равна 1+2+…+9+10=45. То есть сумма была нечетной. А если все числа сделать равными какому-то числу n , то их сумма станет равно 10n – четное число. Следовательно, сделать все числа равными невозможно.

Замечание. Сумму чисел от 1 до 10 можно подсчитать аналогично Замечанию 1. А можно не считать, а заметить что она нечетная так как в ней участвует 5 нечетных слагаемых – 1,3,5,7,9.

На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными? (задача, аналогичная предыдущей).

На квадратном поле 10*10 девять клеток 1*1 поросли бурьяном. После этого бурьян может распространиться на клетку, у которой не менее двух соседних клеток уже поросли бурьяном. Докажите, что тем не менее бурьян не сможет распространиться на все клетки.

Как изменяется периметр области, поросшей бурьяном?

Рассмотрим границу области, поросшей бурьяном (т.е. все отрезки длиной 1 между узлами, по одну сторону от которых бурьян, а по другую - нет). Вначале длина границы была не более 9*4=36, поскольку бурьян рос только в девяти клетках. Нетрудно заметить, что в процессе распространения бурьяна длина границы не может увеличиваться. Но если бы все поле 10*10 в некоторый момент оказалось поросшим бурьяном, то длина границы стала бы равной 10*4=40, что противоречит соображениям, приведенным выше .

Для построения инвариантов иногда бывают полезны вспомогательные раскраски, т.е. разбиения рассматриваемых объектов на несколько групп (каждая группа состоит из объектов одного цвета).

Задача 1. С таблицей, где имеется 15 чисел (  1), а остальные равны 1, можно производить следующую операцию  изменить знак двух (не больше, не меньше) чисел в таблице. Можно ли применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из чисел (+1)?

Решение . Ответ очевиден: нельзя. Инвариантом таблицы относительно рассматриваемой операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно (  1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен (+1).

Задача 2. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?

Решение . При перекрашивании горизонтали или вертикали, содержащей k черных и 8  k белых клеток, получится 8  k черных клеток, и k белых клеток. Поэтому число черных клеток изменится на (8  k)  k= 8  2 k, т.е. на четное число. Т.к. четность числа черных клеток сохраняется, из исходных 32 черных клеток мы не можем получить одну черную клетку.

Задача 3. В каждой клетке доски 5х5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние по горизонтали или по вертикали клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?(есть в презентации)

Решение. Т.к. общее число клеток нечетно, то черных и белых клеток не может быть поровну. Пусть для определенности черных клеток больше, тогда жуков, сидящих на белых клетках, меньше, чем на черных клетках. Поэтому, хотя бы одна из черных клеток останется пустой, т.к. на черные клетки переползают жуки, сидящие на белых клетках.

Задача 4. На шести елках сидят шесть чижей, на каждой елке  по чижу. Елки растут в ряд с интервалами 10м. Если какой-то чиж перелетает с одной елки на другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной елке? А если чижей и ёлок  семь?

а) Пронумеруем деревья с 1 по 6 и пусть первоначально на каждой елке сидит по чижу и каждый чиж имеет тот же номер, что и ель. Т. к. чижи перелетают на елки в разных направлениях, то сумма номеров чижей не меняется – инвариант.

Первоначально сумма была (1+6):2*6 = 21. Если предположить, что все чижи собрались на одной елке, то сумма номеров будет 6* n (т. к. все чижи получили номер елки, на которую прилетели), зн 6* n =21, n =3,5 – не натуральное. Значит предположение неверно и такого не может быть.

Задача 5 Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1х4 и 2х2. Плитки высыпали из коробки, и одна плитка 2х2 потерялась. Её заменили на плитку 1х4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.

Задания для подготовки к олимпиаде по математике по теме "Решение задач: чередование и разбиение на пары"

У 7-и Пятачков есть по 2 воздушных шарика: красный и жёлтый. Могут ли они так поменяться друг с другом шариками, чтобы у каждого было по 2 шарика одного цвета?

Во время сбора грибов мальчик несколько раз переходил полотно одной и той же железной дороги. По одну или по разные стороны от этого полотна находится теперь мальчик и его дом, если число переходов через железную дорогу равно: а) 5; б) 12; в) 201 7 ; г) n ?

Аладдин, уходя, написал на листе число 2000. В течение 1001 ночи принцесса Жасмин меняла это число, каждую ночь прибавляя или отнимая от него единицу. Мог ли Аладдин, вернувшись, увидеть на листе число 201 6 ?

Фишка стоит в левом нижнем углу доски 4х4. За один ход она может передвинуться на одну клетку по вертикали или по горизонтали. Каких клеток доски она может достичь, побывав при этом на каждой из клеток ровно по 1 разу? Найдите все такие клетки, докажите, что до них фишка добраться может, а до остальных – нет.

Парламент одной страны образовал столько комиссий, что даже спикер не знал точно, сколько их. К тому же каждый день парламент либо добавлял в одну из комиссий одного члена, либо исключал одного из какой-то комиссии. Через год численность ни одной комиссии не изменилась. Докажите, что год был високосный.

Граница владений двух рыцарей А и В проходит по руслу извилистого ручья. На обрывке карты показано расположение замка рыцаря А, деревни и участка ручья. Кому из рыцарей принадлежит деревня?

Костя и Максим играют в такую игру. В строке

они по очереди ставят в пустые клетки знаки + или – . Если значение полученного в конце выражения чётно, выигрывает Максим, а если нечётно – Костя. Может ли Максим выиграть? Ответ объясните.

Из шахматной доски вырезали две клетки — a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски (см. рисунок) покрыть 31-й доминошкой так, чтобы каждая покрывала ровно две клетки доски?

Вокруг лесной поляны растут ели. От нечего делать, Серый Волк измерил их высоты и заметил, что, во-первых, все числа оказались целыми, а во-вторых, высоты соседних елей отличаются на 1. Могло ли такое быть, если елей было: а) 10; б) 21?

Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

В квадратной доске 4х4 вырезали несколько клеточек (отмечены Х). Можно ли оставшуюся доску покрыть доминошками 2х1 (доминошки не перекрываются и за край доски не выходят)?

В каждую крайнюю клетку квадратной доски поставили по фишке могло ли оказаться что выставлено ровно

Требуется определить, бьет ли слон, стоящий на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке.

Вводятся четыре числа: координаты слона и координаты другой фигуры. Координаты - целые числа в интервале от 1 до 8.

Выходные данные

Требуется вывести слово YES, если слон способен побить фигуру за 1 ход, в противном случае вывести слово NO

Выходные данные Выходные данные ограничение по времени на тест ограничение по памяти на тест 64 megabytes

Требуется определить, бьет ли ферзь, стоящий на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке.

Вводятся четыре числа: координаты ферзя и координаты другой фигуры. Координаты - целые числа в интервале от 1 до 8.

Выходные данные

Требуется вывести слово YES, если ферзь может побить фигуру за 1 ход, в противном случае вывести слово NO

Выходные данные Выходные данные ограничение по времени на тест ограничение по памяти на тест 64 megabytes Проверить, соединены ли две клетки на шахматной доске одним ходом коня.

Требуется определить, бьет ли конь, стоящий на клетке с указанными координатами (номер строки и номер столбца), фигуру, стоящую на другой указанной клетке.

Вводятся четыре числа: координаты коня и координаты другой фигуры. Все координаты - целые числа в интервале от 1 до 8.

Выходные данные

Программа должна вывести слово YES, если конь может побить фигуру за 1 ход, в противном случае вывести слово NO.

Выходные данные Выходные данные ограничение по времени на тест ограничение по памяти на тест 64 megabytes

Вводятся 3 числа: n, m и k; k не равно n × m. Гарантируется, что количество долек в шоколадке не превосходит 30000.

Выходные данные

Программа должна вывести слово YES, если возможно отломить указанное число долек, в противном случае вывести слово NO.

Читайте также: