Сопоставьте устройство машины тьюринга с устройством компьютера какие устройства

Обновлено: 25.01.2025

Машина Тьюринга состоит из трех частей: ленты, считывающе-записывающей головки и логического устройства (рис. 2.6).

Лента выступает в качестве внешней памяти; она считается неограниченной (бесконечной) - уже это свидетельствует о том, что машина Тьюринга является модельным устройством, поскольку ни одно реальное устройство не может обладать памятью бесконечного размера.

Рис. 2.6. Схема машины Тьюринга

Как и в машине Поста, лента разбита на отдельные ячейки, однако, в машине Тьюринга неподвижной является головка, а лента передвигается относительно нее вправо или влево. Другим отличием является то, что она работает не в двоичном, а некотором произвольном конечном алфавите А = а₁. а_п> - этот алфавит называется внешним. В нем выделяется специальный символ - ∆, называемый пустым знаком - его посылка в какую-либо ячейку стирает тот знак, который до этого там находился, и оставляет ячейку пустой. В каждую ячейку ленты может быть записан лишь один символ. Информация, хранящаяся на ленте, изображается конечной последовательностью знаков внешнего алфавита, отличных от пустого знака.

Головка всегда расположена над одной из ячеек ленты. Работа происходит тактами (шагами). Система исполняемых головкой команд предельно проста: на каждом такте она производит замену знака в обозреваемой ячейке a_i знаком a_j. При этом возможны сочетания:

j =i— это означает, что в обозреваемой ячейке знак не изменился;
i ≠ 0, j = 0 означает, что хранившийся в ячейке знак заменяется пустым, т.е. стирается;
i = 0, j ≠ 0 означает, что пустой знак заменяется непустым (с номером j в алфавите), т.е. производится вставка знака;
i ≠ j ≠ 0 соответствует замене одного знака другим.

Таким образом, в машине Тьюринга реализуется система предельно простых команд обработки информации, о которых шла речь в п.7.3.1. Эта система команд обработки дополняется также предельно простой системой команд перемещений ленты: на ячейку влево, на ячейку вправо и остаться на месте, т.е. адрес обозреваемой ячейки в результате выполнения команды может либо измениться на 1, либо остаться неизменным. Однако, хотя фактически происходит перемещение ленты, обычно рассматривается сдвиг головки относительно обозреваемой секции - по этой причине команда сдвига ленты влево обозначается R («Right), сдвига вправо - L («Left»), отсутствие сдвига - S («Stop»). В дальнейшем будем говорить именно о сдвиге головки и считать R, L и S командами ее движения. Элементарность этих команд означает, что при необходимости обращения к содержимому некоторой ячейки, она отыскивается только посредством цепочки отдельных сдвигов на одну ячейку. Разумеется, это значительно удлиняет процесс обработки, зато позволяет обойтись без нумерации ячеек и использования команд перехода по адресу, т.е. сокращает количество истинно элементарных шагов, что важно в теоретическом отношении.

Обработка информации и выдача команд на запись знака, а также сдвига ленты в машине Тьюринга производится логическим устройством (ЛУ). Оно может находиться в одном из состояний, которые образуют конечное множество и обозначаются Q = q₁…q_m, z>, причем, состояние z соответствует завершению работы, a q₁ является начальным (исходным). Q совместно со знаками R, L, S образуют внутренний алфавит машины. ЛУ имеет два входных канала (a_i, q_i) и три выходных (а_i+₁, q_i₊1, D_i₊₁) (см. рис. 2.7):

Рис. 2.7. Изображение логического устройства

Понимать схему необходимо следующим образом: на такте i на один вход ЛУ подается знак из обозреваемой в данный момент ячейки (a_i), а на другой вход - знак, обозначающий состояние ЛУ в данный момент (q_i). В зависимости от полученного сочетания знаков (a_i, q_i) и имеющихся правил обработки ЛУ вырабатывает и по первому выходному каналу направляет в обозреваемую ячейку новый знак (a_i₊₁), подает команду перемещения головки (D_i₊₁ из R, L и S), а также дает команду на вызов следующего управляющего знака (q_i₊₁). Таким образом, элементарный шаг (такт) работы машины Тьюринга заключается в следующем: головка считывает символ из обозреваемой ячейки и, в зависимости от своего состояния и прочитанного символа, выполняет команду, в которой указано, какой символ записать (или стереть) и какое движение совершить. При этом и головка переходит в новое состояние. Схема функционирования такой машины представлена на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Схема функционирования машины Тьюринга

В данной схеме отражено разделение памяти на внешнюю и внутреннюю. Внешняя представлена, как указывалось, в виде бесконечной ленты - она предназначена для хранения информации, закодированной в символах внешнего алфавита. Внутренняя память представлена двумя ячейками для хранения следующей команды в течение текущего такта: в Q передается из ЛУ и сохраняется следующее состояние (q_i₊₁), а в D - команда сдвига (D_i₊₁). Из Q по линии обратной связи q_i₊₁ поступает в ЛУ, а из D команда поступает на исполнительный механизм, осуществляющий при необходимости перемещение ленты на одну позицию вправо или влево.

Общее правило, по которому работает машина Тьюринга, можно представить следующей записью: q_ia_j→q_i'a_j'D_k, т.е. после обзора символа a_j головкой в состоянии a_i, в ячейку записывается символ a_j', головка переходит в состояние q_i', а лента совершает движение D_k. Для каждой комбинации q_ia_j имеется роено одно правило преобразования (правил нет только для z, поскольку, попав в это состояние, машина останавливается). Это означает, что логический блок реализует функцию, сопоставляющую каждой паре входных сигналов q_ia_j одну и только одну тройку выходных q_i'a_j'D_k - она называется логической функцией машины и обычно представляется в виде таблицы (функциональной схемой машины), столбцы которой обозначаются символами состояний, а строки - знаками внешнего алфавита. Если знаков внешнего алфавита п, а число состояний ЛУ т, то, очевидно, общее число правил преобразования составит п∙т.

Конкретная машина Тьюринга задается перечислением элементов множеств А и Q, а также, логической функцией, которую реализует ЛУ, т.е. набором правил преобразования. Ясно, что различных множеств A, Q и логических функций может быть бесконечно много, т.е. и машин Тьюринга также бесконечно много.

Совокупность состояний всех ячеек ленты, состояния ЛУ и положение головки называется конфигурацией машины.

Записать конфигурацию можно следующим образом: ∆а₁q_ia_j. а_k∆ которая означает, что в слове из k символов обозревается секция номер j и при этом управляющее устройство находится в состоянии q_i. Ясно, что конфигурация машины может содержать любое количество символов внешнего алфавита и лишь один символ внутреннего. Часто конфигурацию записывают в виде α₁q_iα₂, где α₁ - слово на ленте слева от головки, α₂ - слово на ленте справа от головки, включая обозреваемый знак. Слева от α₁ и справа от α₂ лента пуста. Конфигурация, изображенная на рис. 2.6., может быть записана следующим образом: а₁∆а₂∆qa₃а₄а_k, на рис. 2.8.- 1q1111.

Перед началом работы на пустую ленту записывается исходное слово α конечной длины в алфавите А; головка устанавливается над первым символом слова α, ЛУ переводится в состояние q₁ (т.е. начальная конфигурация имеет вид q₁α). Поскольку в каждой конфигурации реализуется только одно правило преобразования, начальная конфигурация однозначно определяет всю последующую работу машины, т.е. всю последовательность конфигураций вплоть до прекращения работы.

В зависимости от начальной конфигурации возможны два варианта развития событий:

После конечного числа тактов машина останавливается по команде остановки; при этом на ленте оказывается конечная конфигурация, соответствующая выходной информации;
Остановки не происходит.

В первом случае говорят, что данная машина применима к начальной информации, во втором - нет. Вся совокупность входных конфигураций, при которых машина обеспечивает получение результата, образуют класс решаемых задач. Очевидно, применять машину Тьюринга для задачи, не входящей в класс решаемых, бессмысленно. С другой стороны, во многих случаях возможно расширение класса решаемых задач за счет создания другой машины Тьюринга. Возникает вопрос: можно ли построить такую универсальную машину (хотя бы на теоретическом уровне), которая решала бы любую задачу?

Рассмотрим решение задачи о добавлении 1 к унарному числу посредством машины Тьюринга. Внешний алфавит может быть задан множеством А = , где 1 соответствует заполненной секции, а ∆ - пустому знаку, причем заполненные следуют друг за другом подряд. Внутренний алфавит задается множеством Q = q, z>, где q соответствует рабочему состоянию ЛУ, a z-остановке. Набор всех правил преобразования (логическая функция) может быть представлен функциональной схемой:

Рис. 2.9. Логическая функция

Составляется функциональная схема в виде таблицы таким образом, что знаки, обозначающие колонки и строки, определяют входные параметры ЛУ, а в ячейке таблицы на их пересечении стоит выходная команда. В частности, если головка машины обозревает секцию ленты со знаком 1 и машина находится в рабочем состоянии (q), то результатом ее работе на данном такте должно стать повторение 1 в данной секции и переход на одну секцию вправо R (при этом, как указывалось, лента сдвигается влево) - эта команда записывается как q1R. Если же в обозреваемой секции ∆, а состояние ЛУ q, то ∆ будет заменен 1, сдвига ленты производиться не будет и машина остановится – z1S. При комбинации на входе ∆z, как и 1z, машина находится в нерабочем состоянии - не происходит ни изменения конфигурации, ни движения - по этой причине такие комбинации в функциональных схемах в дальнейшем отображаться не будут.

Пусть начальной является конфигурация 1q1111*. Тогда работа машины в соответствии с описанной логической функции будет происходить следующим образом:

Такт 1 Обозревается 1, в ЛУ состояние q. Выходная команда q1R, что эквивалентно перемещению головки по отношению ленты на 1 шаг вправо. Следовательно, образуется промежуточная конфигурация 11 q111.

Такт 2 - аналогичным образом осуществляется переход к конфигурации 111q11.

Такт 3 - переход к конфигурации 1111q1.

Такт 4 - переход к конфигурации 11111q∆ (здесь для лучшего понимания правый ∆ указан в явном виде).

Такт 5 Обозревается ∆, в ЛУ состояние q. Выходная команда z1S - вместо ∆ в ячейку записывается 1, сдвига нет, работа прекращается. Конечная конфигурация 111111z.

* Как указывалось выше, незначащие пустые секции слева и справа от заполненных в конфигурацию не включаются; поскольку в данной задаче несколько заполненных секций следуют подряд, только они и указываются в конфигурации.

Имеется запись многоразрядного целого числа п в десятичной системе счисления; построить машину Тьюринга, которая обеспечивала бы вычисление значение n + 1.

Используем внешний алфавит А = , в котором символ ∆ соответствует пустому знаку. Внутренний алфавит, как и в предыдущей задаче, образуется двумя состояниями - рабочим (q) и остановкой (z) (Q = q, z>). Исходное число п, а также результат - п + 1 - записываются в десятичной системе, причем, цифры размещаются по одной в соседних ячейках без пропусков. Функциональную схему представляется таблицей (для удобства строка будут соответствовать состоянию q, а столбцы - знакам внешнего алфавита):

Рис. 2.10. Функциональная схема

Пусть начальной конфигурацией будет 21 q9.

Такт 1 q9→q0L, т.е. 9 будет заменена на 0 и головка сдвинется на разряд десятков - промежуточная конфигурация 2q10.

Такт 2 q1→z2S, т.е. 1 будет заменена на 2 и произойдет остановка с конечной конфигурацией 2z20, т.е. получен результат сложения 219 + 1.

Пусть начальной будет конфигурация 99q9.

Такт 1 q9→q0L, т.е. сформируется промежуточная конфигурация 9q90.

Такт 2 q9→ q0L - возникнет конфигурация q900.

Такт 3 q9→q0L - возникнет q∆000.

Такт 4 q∆→z1S - возникнет z1000 и работа прекращается.

Таким образом, описанный алгоритм действительно обеспечивает суммирование любого целого десятичного числа и единицы. Ясно также, что при необходимости произвести сложение не с единицей, а с каким-то целым т, то данный алгоритм необходимо повторить т раз. Умножение целых чисел также может быть сведено к сложению числа с самим собой. Следовательно, машины Тьюринга обладают важным свойством - возможностью построения новой машины путем объединения уже имеющихся - такая операция называется композицией.

По своему устройству машина Тьюринга крайне примитивна. Она намного проще самых первых компьютеров. Примитивизм состоит в том, что у нее предельно прост набор элементарных операций, производимых головкой - считывание и запись, а также в том, что доступ к ячейкам памяти (секциям ленты) в ней происходит не по адресу, как в компьютерах, а путем последовательного перемещения вдоль ленты. По этой причине даже такие простые действия как сложение или сравнение двух символов машина Тьюринга производит за несколько шагов, а обычные операции сложения и умножения требуют весьма большого числа элементарных действий. Однако машина Тьюринга была придумана не как модель (прототип) реальных вычислительных машин, а для того, чтобы показать принципиальную (теоретическую) возможность построения сколь угодно сложного алгоритма из предельно простых операций, причем сами операции и переход от одной к последующей машина выполняет автоматически.

Всякий алгоритм может быть задан посредством тьюринговой функциональной схемы и реализован в соответствующей машине Тьюринга.

Эта гипотеза получила название тезиса Тьюринга. Как и тезис Черча, ее нельзя доказать, так как она связывает нестрогое определение понятия алгоритма со строгим определением машины Тьюринга.

В принципе, эта гипотеза может быть опровергнута, если удастся привести пример алгоритма, который не может быть реализован с помощью тьюринговой функциональной схемы. Однако все известные до сих пор алгоритмы могут быть заданы посредством тьюринговых функциональных схем.

23 июня 1912 года родился Алан Тьюринг – английский математик, логик, криптограф. Он внес большой вклад в развитие информатики , в его честь названа самая престижная в мире награда в области информатики – Премия Тьюринга . Во время Второй мировой Тьюринг активно занимался криптоанализом , в том числе криптоанализом немецкого шифратора Enigma (на портале Эрудит.Онлайн есть конкурс по криптографии «Энигма» ).

В этой статье остановимся подробнее на машине Тьюринга и попытаемся объяснить ее работу максимально простым языком.

Машина Тьюринга

Машина Тьюринга – это абстрактная вычислительная машина . Если совсем просто, то машина Тьюринга – это воображаемый компьютер с бесконечной памятью.

Формально машина состоит из бесконечной ленты и управляющего устройства , которое может считывать и записывать символы в ячейки ленты. Управляющее устройство может двигаться влево и вправо по ленте.

Для чего это нужно?

Тьюринг предложил эту модель для формализации понятия алгоритма . То есть считается, что задачу можно решить с помощью некоторого алгоритма тогда и только тогда, когда ее решение можно представить в виде программы для машины Тьюринга (эта гипотеза называется тезисом Чёрча — Тьюринга).

Так как устройство машины довольно простое, то, очевидно, что каждый шаг в такой программе должен быть элементарен.

Как работает машина Тьюринга?

Шаг машины можно представить так:

Управляющее устройство , указывающее на конкретную ячейку на ленте, считывает значение в этой ячейке.
По правилам, которые заданы заранее для решения задачи, управляющее устройство может изменить символ в ячейке (а может и не менять), а затем остаться на месте или сдвинуться на соседнюю ячейку вправо или влево. Также может измениться состояние управляющего устройства (а может и остаться прежним).

У управляющего устройства есть отдельный параметр, который называется состоянием . Набор таких состояний задается для каждой конкретной программы свой, но обязательно в этом наборе есть начальное состояние (в котором машина начинает работать) и конечные состояния (когда мы считаем, что программа завершилась, и машина останавливается). Эти состояния меняются в соответствии с правилами , которые заранее заданы.

Как записать простейшую программу?

Рассмотрим очень простую задачу. Пусть у нас есть последовательность из 0 и 1, и мы хотим в ней заменить все символы 0 на @. Как может выглядеть программа для машины Тьюринга в этом случае?

Программа задается набором правил , которые еще называют правилами перехода. Для записи этих правил нет какого-то единого языка, поэтому в нашей статье запишем их в виде таблицы.

Итак, в качестве входных данных у нас есть последовательность символов 0 и 1 , и мы будем называть ее входным словом . Для простоты мы будем считать, что управляющее устройство указывает на первый слева символ нашего слова (если управляющее устройство указывает на произвольный символ слова, то эта проблема легко решается, но сейчас пропустим этот момент).

В 30-е годы XX века английский математик Алан Тьюринг придумал такое странное устройство, которое теперь называют машиной Тьюринга.

Идея его была в том, чтобы придумать устройство, абстрактную машину, которая может делать все, что вообще могут делать машины. Он был не единственным в этот момент, другие люди тоже в других терминах определяли похожие вещи, но в гораздо более абстрактных терминах, по крайней мере, в их работах конкретного механизма работы машины не было.

Оказалось же, что это одно из самых важных открытий XX века. То, что сейчас в разных устройствах — скажем, в телевизоре и в стиральной машине, — может использоваться одна и та же микросхема процессора, — это воплощение одной из идей Тьюринга.

И то, что одна и та же программа может использоваться в самых разных компьютерах, работать с самой разной аппаратурой и выглядеть одинаково, это тоже его идея. Тогда это называлось идеей хранимой программы (программа хранится в памяти и определяет поведение машины), и ещё была идея универсальной машины, — есть машина, которая может делать все, что может делать любая другая машина.

Если бы не Тьюринг, наверно, это придумал бы кто-то другой, он не был единственным, кто над этим работал, но так или иначе такое абстрактное теоретическое устройство оказалось одним из самых важных изобретений в XX веке.

Интересно, что потом Тьюринг, когда настали трудные времена, не только занимался теорией, но и практически участвовал в разных важных проектах.

Он с коллегами расшифровал коды немецкой армии — это известная история. Там использовались шифровальные машины «Энигма», которые пытались расшифровать сначала польские криптографы, а потом английские — при активном участии Тьюринга, и им это удалось.

А после войны Тьюринг уже строил реальную электронную вычислительную машину. Хотя прямой связи с его теоретическими работами не было, но явно это было продолжением той же самой деятельности. Так что хорошая теория — вещь очень практичная, и не надо бояться того, что теоретические работы окажутся бесполезными.

Сейчас это большая наука, которая называется теория сложности вычислений, в ней много всего интересного открыли, но есть самая главная проблема, которая называется проблема перебора, и которая до сих пор не решена.

Ее можно объяснить на таком примере: выпускалась игрушка Eternity — это такая коробочка, в которую уложены плитки, раскрашенные в разные цвета, но они раскрашены так, что видно, какие плитки можно прикладывать друг к другу (там рисунок на краях). Продаются они рассыпанными, и фирма, которая их изготовила, утверждает, что все это можно собрать в одну картинку внутри этой квадратной коробки (там 256 плиток) — то есть что изначально это была одна картинка, разрезанная на плитки.

По современным представлениям, машины такие задачи за обозримое время решать не могут, никакого способа, кроме как перебирать все варианты (а их очень много) сейчас не известно. Но, с другой стороны, никто этого не может и доказать. Это и называется проблемой перебора — доказать, что такой полный перебор каких-то объектов нельзя заменить никаким более коротким вычислением.

В 2000-м году был публично объявлен «список проблем следующего тысячелетия», за которые Институт Клея обещает миллион долларов.

Так вот, первая проблема в этом списке — это проблема перебора, и она там заслуженно. Интересно в теории сложности вычислений то, что не только наличие какого-то алгоритма полезно практически, но, как ни странно, часто бывает полезно отсутствие алгоритма.

Например, есть такой известный вопрос о разложении чисел на множители. Если число небольшое, то легко проверить, что оно простое — можно проверить все меньшие числа, и понять, что там нет делителей. Если число большое, то так просто уже нельзя проверить — но существуют разные алгоритмы, которые позволяют это делать. (Они основаны на малой теореме Ферма и её усовершенствованиях, но это отдельная тема.)

Так или иначе, алгоритмы проверки простоты существуют. А теперь другая задача: возьмём два больших простых числа и их перемножим, сообщим, что у нас получилось, и спросим, какие это были числа. Это задача разложения на множители, и никто не знает, как это быстро сделать. И то, что этого никто не знает, очень хорошо, потому что благодаря этому существует вся вычислительная криптография, это одно из основных её предположений.

Когда кто-нибудь снимает деньги в банке, или в Интернете заходит на сайт с помощью SSL — используются системы криптографии, основанные на том, что быстро разлагать на множители числа нельзя. Если кто-нибудь в какой-то момент обнаружит, что разлагать можно, то, думаю, после этого будет экономический кризис, потому что вся банковская система рухнет, пока люди не заменят это чем-то другим (вообще без использования компьютеров или с какими-то новыми алгоритмами).

Так что отсутствие алгоритма может быть полезнее, чем его наличие. К сожалению, никто не может доказать, что алгоритма нет, хотя все подозревают, что это так — не решена ни общая проблема перебора, ни этот частный ее случай (разложение чисел на множители), особенно важный, и про него тоже все думают, но никто ничего не придумал.

Что такое случайность? Это дело тонкое, вообще, существует ли случайность? Когда в каком-нибудь казино играют в рулетку — может ли наука предсказать, что там выпадет, и как нужно играть, чтобы выиграть, или это в принципе невозможно?

Федор Михайлович Достоевский твердо верил, что если быть хладнокровным и не волноваться во время игры, то можно выиграть, — он говорил, что, к сожалению, ему не удаётся быть хладнокровным, и поэтому он всё время проигрывал.

С другой стороны, теория вероятностей основана на том, что такой системы не существует, что последовательность бросания монеты в какой-нибудь игре, или последовательность выпадения красного и черного в рулетке, случайны и непредсказуемы. Но возникает вопрос, что такое случайность? Как определить, что это значит? Можем ли мы отделить случайное от неслучайного?

Сейчас вы видите две последовательности:

Вам сказано, что одна из них получена бросанием монеты, а другая как-то иначе. Сможете ли вы определить, какая из них получена каким образом?

Я думаю, что сможете, и что более-менее всякий человек, который посмотрит на эту картинку, скажет, что первая последовательность получена не бросанием монеты, а просто чередованием 0 и 1, а вторая вполне может быть получена бросанием монеты.

Но спрашивается, в чём разница? Почему вы смотрите на эту картинку и уверены, что первая последовательность не может быть получена бросанием монеты? Почему монета не может выпасть сначала орлом, потом решкой, потом снова орлом… как это объяснить? Можно сказать так: вероятность того, что это случайно произойдет, очень мала, потому что такая последовательность всего одна, а всего последовательностей очень много. Но ведь то же самое можно сказать и про вторую последовательность, появление конкретно этой последовательности имеет ту же самую малую вероятность, что и для первой. Поэтому вопрос — в чём тут разница, чем первая последовательность «лучше» второй (менее случайна, чем вторая)?

Или другой парадоксальный пример. Представьте себе, как в XIX веке (это написано у Лотмана в его «Беседах о русской культуре») играли в карты. В отличие от нынешней ситуации, когда карты тасуют, тогда карты продавались уже перетасованными заранее.

Поэтому дворяне, которые играли в серьезные игры, каждый раз брали новую колоду и играли с ней. После этого она выбрасывалась и поступала, как пишет Лотман, в распоряжение слуг, которые играли в своего «подкидного дурака».

Так вот, представим себе, что есть фабрика, которая выпускает такие перетасованные колоды и есть машина, которая печатает карты, а есть, которая их тасует — эта машина их как-то внутри себя тасует, потом выкладывает, запаковывает, и они поступают в продажу. Теперь представим себе, что на этой фабрике есть, как говорили в советское время, «отдел технического контроля», который должен проверять, хорошо ли они перетасованы.

Время от времени он из пачки сделанных колод достаёт одну колоду, распаковывает и смотрит, хорошо ли она перетасована. С одной стороны, он должен что-то контролировать, то есть если он никогда никакие колоды не будет браковать как негодные, то зачем он вообще нужен? А с другой стороны, непонятно, что он может контролировать, потому что вся идея того, что карты хорошо перетасованы, состоит в том, что все варианты, все возможные последовательности карт в колоде, имеют совершенно одинаковую вероятность.

Соответственно, ни одна из них, с точки зрения тасовальной машины, не лучше другой. Почему же мы некоторые колоды (некоторые последовательности карт) бракуем, а некоторые оставляем? Это как-то загадочно.

Если, скажем, все карты идут в порядке возрастания их значения, или сначала идут все красные карты, а потом черные — такие комбинации, вроде бы, надо браковать. Но, с другой стороны, непонятно, чем они хуже других. Одной из попыток ответить на этот вопрос (60-е годы XX века) было понятие сложности, то, что сейчас называется колмогоровская сложность или алгоритмическая сложность.

Идея эта совсем простая — что первая из последовательностей

потому выглядит неслучайной, что она проста. «Проста» значит, что существует очень короткий способ объяснить, как она устроена — сказать, что там нули и единицы чередуются. В нашем примере такая разница, может, не сильно заметна — но если там будет тысяча чередующихся нулей и единиц, то ясно, что короче это объяснить словами, чем выписывать всю последовательность.

А для настоящей случайной монеты (как считается в рамках этого объяснения случайности) — никакого способа описать последовательность более коротким способом, чем показав просто все нули и единицы, как они есть, не существует.

Можно сказать, что, если мы начнем «сжимать» последовательности каким-то архиватором, то вторая последовательность не сожмётся, а первая сожмется.

В этом и состоит основная идея Колмогорова и его коллег, которые придумали, что сложность последовательности — это длина кратчайшей программы, которая такую последовательность может напечатать, а случайные последовательности отличаются от неслучайных тем, что нельзя их напечатать никакой программой, которая короче, чем сама последовательность.

Теперь целая наука на эту тему возникла, она называется алгоритмическая теория информации, алгоритмическая случайность, но, конечно, многие вопросы там еще не ясны. Не ясен вопрос о том, что можно сделать с ограничением на сложность вычислений.

Возможно, что последовательность на самом деле неслучайна и имеет какое-то короткое описание, но мы его просто не знаем и не можем найти — или проблема может быть не в том, что мы его не можем найти, а в том, что для того, чтобы восстановить последовательность по этому описанию, нужно очень много времени.

Вот это такая активно развивающаяся и, к сожалению, ещё не очень развитая область, и там, может быть, что-нибудь интересное в ближайшее время (или не в ближайшее время) откроют.

Если вы хотите получать больше статей, подобно этой, то кликните Recommend ниже.

Машина Тьюринга — это абстрактный исполнитель или абстрактная вычислительная машина.

Введение

Машина Тьюринга является одним из наиболее выдающихся научных изобретений двадцатого века. Она представляла несложную и удобную абстрактную модель вычислительного процесса, которая представлена в обобщённом формате и позволяет реализовать практически все компьютерные задачи. Простое описание и выполненный математический анализ позволяют считать её фундаментом теоретической информатики.

Эта научная работа послужила стимулом к более углублённому изучению цифрового исчисления и компьютерных устройств, в том числе осознание мысли, что есть проблематика в сфере вычислений, которую нельзя решить на обычных электронных вычислительных машинах пользователей

Машина Тьюринга

Алан Тьюринг хотел выполнить описание самой простой модели механического модуля, который обладал бы такими же базовыми возможностями, как и компьютер. Первое описание такой машины Тьюринг опубликовал в 1936-ом году в работе с названием «О вычислимых числах в приложении к проблеме разрешения», появившейся в работах Лондонского математического сообщества.

Машина Тьюринга была вычислительным модулем, который состоит из сканера для чтения и записи информации с бумажной ленты, пропускаемой через него. Лента поделена на квадратики, несущие один знак, а именно нуль или единицу. Механизм предназначен для ввода и вывода информации и одновременно служит рабочей памятью для сохранения итогов промежуточных вычислительных шагов. Машина имеет в своём составе два компонента:

Лента без ограничений, то есть бесконечная в обоих направлениях лента, разделённая на комплект ячеек.
Автоматический модуль, то есть головка сканера, которая считывает и записывает информацию под управлением программы. Она способна располагаться в любой момент времени лишь в одном из многих состояний.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Машина осуществляет связь двух конечных рядов информационных данных, а именно алфавит знаков на входе $A = (a_0, a_1, …, a_m)$ и алфавит состояний $Q = (q_0, q_1, . q_p)$. Пассивным считается состояние $q_0$. Предполагается, что машина прекращает выполнение операций, когда считывает именно его. Исходным состоянием является состояние $q_1$, и устройство запускается в работу, когда считывает это стартовое состояние. Слово на ленте, которое является входной информацией, расположено последовательно по одной букве в позиции. При этом, впереди него и за ним расположены нулевые квадраты.

Принцип работы машины Тьюринга

Машина Тьюринга принципиально отличается от компьютерных модулей, у неё в качестве запоминающего устройства выступает бесконечная лента, а у цифровых устройств память представляет полосу заданной длины. Любой тип заданий может решить лишь одна сформированная машина Тьюринга. Задания другого класса могут быть решены написанием другого алгоритма. Устройство управления находится в определённом состоянии и способно перемещаться в обе стороны вдоль ленты. Оно может записывать в ячейки и считывать из них алфавитные символы. При перемещении определяется пустой компонент, заполняющий места, которые не содержать входных данных. Алгоритм машины Тьюринга формирует условия перемещений управляющего механизма. Он может задать головке, выполняющей запись и чтение данных, следующие команды:

Записать в текущую ячейку нужный знак.
Выполнить смену текущего состояния.
Переместиться в заданную сторону вдоль ленты.

Машина Тьюринга подобно другим системам, предназначенным для вычислений, обладает определёнными особенностями, которые похожи на свойства алгоритмов:

Свойство дискретности. Цифровое устройство выполняет переход к очередному этапу n+1 лишь после полного завершения предыдущего. Каждый завершенный шаг определяет, каким будет следующий.
Свойство понятности. Машина осуществляет лишь одну операцию для выбранной ячейки. Она записывает алфавитный символ и выполняет одно перемещение в указанную сторону.
Свойство детерминированности. Всем позициям в машине сопоставляется только один вариант осуществления задаваемой схемы, и на всех шагах операции и их очерёдность осуществления строго определены.
Свойство результативности. Окончательный итог на каждом шаге вычисляет машина Тьюринга. Программа работает согласно заданному алгоритму и за не бесконечное количество выполненных этапов доходит до состояния $q_0$.
Свойство массовости. Каждой машине сопоставлен набор допустимых слов, которые входят в алфавит.

Функции машины Тьюринга

В составе алгоритма иногда необходимо реализовать некоторые функции. Функция может быть разрешимой алгоритмом или нет, что зависит от того, можно ли написать цепь вычислений. Множеством рациональных или натуральных чисел и слов в не бесконечном алфавитном наборе $N$ для устройства Тьюринга может быть рассмотрен набор множеств $B$, а именно слова в границах бинарного кодового алфавита $B = (0, 1)$. Кроме того, в итоге расчётов необходимо учесть «неопределённую» величину, возникающую при повисании выполнения алгоритма. Для осуществления функции требуется присутствие формализованного языка в не бесконечном алфавите и условие, что задача определения корректности описаний в принципе может быть решена.

Рисунок 1. Функции машины Тьюринга. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Программа для машины Тьюринга

Программа для машины Тьюринга формируется как таблицы, в которых в первой строчке и столбце находятся знаки внешнего алфавита и набор допустимых внутренних состояний автомата, то есть внутренний алфавит. Данные в таблице, по сути, это команды, которые должна исполнять машина Тьюринга. Разрешение задачи выполняется по следующим правилам. Символ, принятый сканером из ячейки, над которой он располагается в текущий момент, и определённое внутреннее состояние сканера автомата определяют, какую команду требуется исполнить. А именно, это команда, расположенная в таблице, и находящаяся в точке пересечения знаков внутреннего и внешнего алфавита.

Читайте также: