Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса
Понятие линейного пространства было введено ранее. Дадим понятие линейного подпространства.
Определение 1.Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства над числовым множеством , если наряду с двумя произвольными элементами принадлежащими ему принадлежит и любая линейная комбинация ( числа).
Например, пространство двумерных геометрических векторов является подпространством трехмерных геометрических векторов В подпространстве существует свой базис, который можно выбрать из базисных векторов пространства .
Введем теперь понятие линейного оператора. Сначала заметим, что любое отображение пространства в пространство ставящее в соответствие каждому элементу единственный элемент по закону называется оператором (действующим из пространства в пространство ).
Определение 2.Оператор называется линейным оператором, если выполняются свойства[3]:
Свойства а) и б) можно объединить в одно:
Например, оператор ставящий в соответствие каждому столбцу столбец будет линейным оператором, так как
Этот оператор называется оператором проектирования. В качестве другого важного примера можно указать на оператор, являющийся матрицей размера . Этот оператор действует из пространства в пространство Действительно,
Значит, оператор действует из пространства в пространство Далее, из определения действий над матрицами вытекает свойство для любых столбцов и любых чисел Поэтому матрица является линейным оператором.
Обозначим через множество всех линейных операторов В этом множестве естественным образом вводятся линейные операции над операторами:
(при получаем сумму операторов и , при получаем умножение оператора на число). Нетрудно показать, что пространство является линейным пространством. Можно ввести даже операцию умножения операторов и
Если то в множестве всех линейных операторов будут определены линейные операции и операция умножения операторов. Такое множество называется алгеброй операторов.
Важным понятием в линейной алгебре является понятие матрицы линейного оператора. Введем его. Пусть дан оператор является линейныым и пусть Зафиксируем в пространстве базис . Тогда любой вектор можно записать в виде Точно так же, если в пространстве зафиксировать базис то любой вектор можно записать в виде
Так как образы базисных векторов принадлежат пространству то их можно (согласно (4)) разложить по базису
Если ввести матрицу то совокупность последних равенств можно записать в виде
Полученную таким образом матрицу называют матрицей оператора Сформулируем это понятие более точно.
Определение 3.Матрицей оператора в базисе называется матрица (размера ), й столбец которой является координатным столбцом образа ( го базисного вектора пространства ) в базисе
Пример 3.Пусть пространствоявляется пространством квадратных трехчленов:=
=Выберем в нем базис Тогда каждый элемент пространства можно записать в виде
Найдем матрицу оператора дифференцирования (здесь ). Так как то
Следовательно, матрица оператора (согласно определению 3) имеет вид
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 2.Если и матрицы операторов и соответственно (в одном и том же базисе), то матрицами операторов
( числа) и в том же базисе будут соответственно матрицы
Из этой теоремы вытекает, что линейные операции над операторами и операция умножения операторов можно заменить на аналогичные операции над их матрицами. Поэтому, например, вместо того, чтобы решить операторное уравнение достаточно решить матричное уравнение а затем восстановить вектор (здесь матрица оператора в базисе координатные столбцы векторов и в том же базисе).
Пример 3.Решить дифференциальное уравнение
Решение.Выбрав в пространстве квадратных трехчленов базис (см. пример 2), запишем данное дифференциальное уравнение в матричной форме
Его решением является вектор-столбец
Значит, решением данного уравнения будет функция где произвольная постоянная. Заметим, что мы нашли все решения данного уравнение в пространстве квадратных трёхчленов. Не исключено, что оно имеет и другие решения, не входящие в пространство .
Пример 4.Даны линейные преобразования в пространстве
Построить преобразование и найти его матрицу в стандартном базисе пространства
Решение.Воспользуемся теоремой 2. Если и матрицы операторов и в базисе то матрицей оператора в том же базисе будет матрица Построим эту матрицу, а затем восстановим по ней само преобразование . Вычисляя образы базисных векторов для операторов и , построим их матрицы:
[1] Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент
[2] Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называется линейным изоморфизмом этих множеств.
Определение 35. Линейным преобразованием Линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
J : L ® L
Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразований, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.
1. Если в пространстве Ln Зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ), то матрица А линейного преобразования J : Ln ® Ln имеет вид
Столбцы которой – координаты образов базисных векторов Е.
2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид J(Е) = Е×А.
3. Связь столбцов координат вектора и его образа: Х1 = А×Х (36)
4. Если в пространстве Ln Зафиксированы два базиса Е = (Е1, Е2, … , Еn) и Е1 = (Е11,Е21, … , Еn1) и Т – матрица перехода от Е к Е1, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А1 = Т-1×А×Т (37).
Определение 36. Квадратные матрицы А И В Называются Подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С–1×А×С.
5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.
6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А И В Одного и того же порядка N Над полем Р и любого линейного пространства Ln над полем Р в Ln существуют такие базисы Е И Е1, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.
Доказательство. Пусть В = С–1×А×С. Зафиксируем в Ln какой-нибудь базис. Матрица А В этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это J). Так как матрица С Невырожденная, то С–1 Может быть матрицей перехода. Пусть Е1 = Е×С–1. Тогда преобразование J в базисе Е1 Будет иметь матрицу С–1×А×(С–1 )–1 = С–1×А×С = В.
7. dim (J(Ln )) + dim (KerJ ) = N.
8. Множество всех линейных преобразований пространства Ln Есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство Ln .
Определение 37. Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства Ln называется Линейным пространством, сопряжённым пространству Ln .
Пространство, сопряжённое Ln , обозначается Ln*.
9. Пространство Ln* изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка N с элементами из поля Р. Следовательно, dim (Ln* ) = N2.
Рассуждение проведём для случая n = 3. Один и тот же вектор x относительно различных базисов имеет различные координаты. Можем написать:
Любой вектор второго базиса можем разложить по первому базису, т.е.
В силу единственности разложения по данному базису мы должны приравнять коэффициенты при векторах e 1 ,e 2 ,e 3 и полученные. Тогда
Введём в рассмотрение матрицы
Тогда полученные соотношения можно записать в матричном виде X = Z X .
Матрица Z называется матрицей преобразование координат при переходе от старого базиса к новому, т.е. от базиса e 1 ,e 2 . e n к базису E 1 ,E 2 . E n . Причём, столбцами матрицы преобразования координат являются координаты вектора нового базиса E 1 ,E 2 . E n относительно старого базиса e 1 ,e 2 . e n .
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
Пусть в пространстве E n определён линейный оператор A , т.е. y = A x
Или Y = A X , где X (x 1 ,x 2 . x n ) T и Y (y 1 ,y 2 . y n ) T матрицы-столбцы, со ставленные из координат векторов x и y относительно данного базиса n 1 ,e 2 . e n , A - матрица линейного оператора A .
Выберем в том же пространстве E n другой базис E 1 ,E 2 . E n . Относительно нового базиса матрица линейного оператора A будет иной. Обозначим через T матрицу преобразова ния координат, а через X и Y - одностолбцовые матрицы, составленные из координат векторов x и y относительно нового базиса, т.е.
Подставим полученное в общий вид, тогда получим: T Y = A T X
Умножая левую и правую части равенства слева на T -1 , получим: Y = T -1 A T X .
Итак, если в E n перейти к новому базису, то матрица линейного оператора также изменится и в самом общем случае будет равна T -1 A T .
Пример: Оператор A в базисе пространства E 3
Найти его матрицу в базисе
Решение: Матрица оператора в новом базисе находим по формуле B = T -1 AT , где T - матрица перехода от старого базиса к новому. Матрицу перехода находим по формуле T = X -1 Y .
Сопряженный и самосопряженный оператор
Пусть в вещественном евклидовом пространстве E n определён линейный оператор A
Определение 1. Оператор A * в вещественном евклидовом пространстве E n называ ется сопряженным по отношению к линейному оператору A в том же пространстве, если его матрица в любом ортонормированном базисе этого пространства является транспо нированной по отношению к матрице оператора A .
Свойства сопряженного оператора
1. E * = E, где E - тождественный оператор, т.е. оператор, матрица которого E единичная в E n
2. (A + B) * = A * + B *
3. (A B) * = B * A *
4. если A -1 существует, то (A -1 ) * = (A * ) -1 .
Определение 2. Линейный оператор A, определённый в вещественном евклидовом пространстве E n , называется самосопряженным, или симметрическим, если он cовпа дает со своим сопряженным оператором A * , т.е. если A * = A .
Матрица самосопряженного оператора совпадает с транспонированной в любом ортонормированном базисе, т.е. является симметричной относительно главной диагонали.
Свойства самосопряженного оператора
1. если A * = A , B * = B , то (A + B) * = A * + B * = A + B ;
2. если A - невырожденный самосопряженный оператор, то (A -1 ) * = (A * ) -1 = A -1 .
Доказательство. Действительно, если существует A -1 и кроме того A * = A , то в силу свойства 4 сопряженного оператора, получим (A -1 ) * = (A * ) -1 = A -1 ;
3. Если A - самосопряженный оператор в вещественном пространстве E n , то имеет место равенство:
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Пусть A - линейный оператор. Пусть x 1 , где 1 некоторое подпространство прост ранства E n . Вектор y = A x может принадлежать подпространству 1 , а может и не принад лежать.
Определение. Подпространство 1 называется инвариантным по отношению к оператору A, если A x 1 , x 1 .
Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора A, если найдётся такое число , что будет выполняться равенство A x = x . При этом число называют собственным значением (собственным числом) оператора A , соответствующим вектору x. Множество всех собственных значений оператора A называется его спектром.
Остановимся на отыскании собственных значений и собственных векто ров линейного оператора A. Рассмотрение проведём для случая n = 3. Итак, пусть в некотором базисе оператор A имеет матрицу
и пусть одностолбцовая матрица соответствует вектору x. Тогда в силу определения
Дело свелось к решению системы линейных однородных уравнений, записанной в матричном виде. Очевидно, что эта система имеет ненулевое решение, если det(A E) = 0. Уравнение det(A E) = 0 называется характеристическим уравнением оператора A; многочлен det(A E) называется соответственно характеристическим многочленом оператора A. В координатной форме характеристическое уравнение выглядит так:
Решив его, найдём - собственные значения линейного оператора. Далее, для суммы диагональных элементов матрицы A, которую называют следом этой матрицы trA или следом оператор A (trA), справедлива формула . Кроме того, detA = 1 2 3 .
После того как найдены собственные значения линейного оператора A, остаётся подставить их по очереди в уравнение и найти соответствующие собственные векторы x (1) , x (2) , x (3)
Пример: Найти собственные значения и собственные числа линейного оператора, матрица которого
Решение. По определения собственного вектора можем написать - матрица – столбец, соответ ствующая искомому вектору x линейного оператора A;
В матричной форме получим:
Система однородная, следовательно, она имеет бесчисленное множество решений, если определитель системы равен нулю, т.е. имеем характеристическое уравнение:
Решая его, получим такие собственные значения 1 = 1; 2 = 3.
Найдём соответствующие собственные векторы.
1) 1 = 1 подставим в уравнение, получим
где t (1) - некоторый параметр. Таким образом, имеем множество коллинеарных векторов, соответствующих первому собственному числу 1 = 1:
Этот вектор нетрудно пронормировать, тогда мы получим единичный собственный вектор, соответствующий первому собственному числу 1 = 1 т.е.
2) 2 = 3 подставим в уравнение, получим
В заключение заметим, что множество всех векторов y = A x , где x E n , называется областью значений линейного оператора A в E n , а множество всех векторов x 1 E n , таких, что A x = 0, называется ядром линейного оператора.
Свойства собственных чисел и собственных векторов самосопряженного оператора
Рассмотрим самосопряженный оператор A, определённый в вещественном евклидо вом пространстве E n . В силу определения матрица его A -симметрическая.
Теорема 1. Собственные числа самосопряженного оператора A есть вещественные числа.
Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие двум различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.
>Доказательство. Пусть - различные собственные значения самосопряженного оператора A, а x 1 , x 2 - соответствующие им собственные значения. Тогда
Но т.е. левые части равенств равны, следовательно, вычитая их почленно, получим: а это и означает, что собственные векторы x 1 , x 2 ортогональны.
Замечание. Так как собственные векторы самосопряженного оператора A ортогональны, их можно принять за базис линейного пространства, в котором определён этот линейный оператор. Поделив далее каждый вектор на его длину, мы получаем ортонор мированный базис.
Теорема 3. В базисе из единичных собственных векторов самосопряженного оператора матрица этого оператора диагональная, причём элементами диагонали являются её собственные числа.
Доказательство. Доказательство проведём для случая n = 3. Пусть e 1 , e 2 , e 3 - единичные векторы самосопряженного оператора A относительно некоторого базиса линейного пространства 3 , отвечающие собственным значениям этого линейного оператора, т.е. . Примем векторы e 1 , e 2 , e 3 за базис линей ного пространства. Очевидно, что в этом базисе векторы имеют координаты:
. Следовательно, матрица A оператора A в базисе e 1 , e 2 , e 3 имеет вид:
Выбор такого базиса, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид, называется приведением матрицы к диагональному виду.
Выясним, как преобразуется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому.
Теоремa 13.1. Пусть u 1 , u 2 ,…, u n и v 1 , v 2 ,…, v n – два базиса в R n , а Т – матрица перехода от старого базиса к новому. Если А – матрица линейного оператора A в базисе u 1 , u 2 ,…, u n , то матрицей В этого оператора в новом базисе v 1 , v 2 ,…, v n является матрица
В = Т – 1 AT. (13.7)
Доказательство. Пусть y = Аx, " x Î R n , где векторы x и y рассматриваются в базисе u 1 , u 2 ,…, u n . Если v 1 , v 2 ,…, v n – новый базис и Т – матрица перехода, то в силу равенства (13.5) x = Тx¢ и y = Тy', где x¢ и y' – векторы x и y в новом базисе v 1 , v 2 , …, v n . Подставив x и y в равенство y = Аx, получим равенство
Тy' = АТx' Û y' = Т – 1 (АТx') Û y' = (Т – 1 АТ)x¢,
справедливое в новом базисе v 1 , v 2 ,…, v n . Отсюда и следует, что матрица линейного оператора в новом базисе v 1 , v 2 ,…, v n находится по формуле (13.7).¨
Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса пространства.
Доказательство. В самом деле, согласно свойствам определителей, имеем
Определение 13.3. Матрицы А и В = Т – 1 АТ называются подобными.
Из теоремы 13.1 следует, что подобные матрицы являются матрицами одного и того же линейного оператора A: R n ®R n , но рассматриваемого в разных базисах с матрицей перехода Т.
Пример 2. В базисе u 1 , u 2 оператор A имеет матрицу
Найти матрицу этого оператора в базисе v 1 = u 1 +2u 2 , v 2 = 2u 1 +3u 2 .
Решение. Определяем матрицу перехода и обратную ей матрицу:
Тогда искомая матрица, согласно формуле (13.7), имеет вид
Справедлива следующая теорема.
Теоремa 13.2. Собственные значения подобных матриц совпадают.
Доказательство. В самом деле, характеристический многочлен матрицы В равен характеристическому многочлену матрицы А:
Читайте также: