Курант что такое математика djvu
Когда я несколько лет назад пришла работать в издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний», должна была предложить к изданию какие-нибудь переводные книги. Я тогда выбрала две — «Сюрреальные числа» Дональда Кнута и «Изменчивая природа математического доказательства» Стивена Кранца, и обе перевела.
Вторую книгу на сайте Всенаука выложили в свободный доступ — и не зря.
Во-первых, автор — Стивен Кранц
Он не великий математик, просто выдающийся, и мало известен в нашей стране. У него более 200 статей и 100 монографий. А еще он редактор нескольких математических журналов, в том числе Bulletin of the American Mathematical Society и The American Mathematical Monthly . Это дает не только глубокий, но ещё и широкий взгляд на математику. В наши времена первостатейные математики могут углубляться только в небольшом числе направлений, быть универсалом уже нереально. А Кранц универсален и глубок одновременно, насколько это возможно.
Во-вторых, тема книги — доказательство
Когда мы думаем о том, что такое математика, мы пытаемся определить ее объект — числа, геометрические формы, изменения и процессы, закономерности, …. И видим, что этот объект постоянно ускользает. Не получается даже разграничить то, чем математика занимается, и то, чем она не занимается.
Есть книги, которые специально призваны ответить на вопрос «Что такое математика», написанные математиками высокого класса.
Но они сосредоточиваются на отдельных компонентах. Р.Курант и Г.Роббинс дают обзор известных на то время областей математики. Это хорошо, но со времени написания книги этих областей сильно прибавилось. В.И.Арнольд обсуждает в основном единственный вопрос:
Вопрос о том, является ли математика «перечислением следствий из произвольных аксиом» или же ветвью естествознания и теоретической физики.
А Стивен Кранц постарался показать, что математику нельзя определить через предмет её изучения или через источник её новых идей и понятий. Если вынуть из математики алгебру, она все ещё останется математикой (изуродованной, неполноценной). Если вынуть из математики идеи, которые пришли в неё из физики, она всё еще останется математикой (бедной и бледной). Но если вынуть из математики доказательство, нам останется только описательный язык. Мы сможем рассматривать картинки и последовательности, распечатывать из компьютера данные и пытаться делать выводы из них, но все это — не математика.
Математика — это (i ) придумывание новых идей и (ii ) проверка этих идей с помощью доказательства.
Кранц показывает математику многоликой,
и мы видим, как лики её менялись со временем.
В нынешнем мире математика — это доказательства и алгоритмы (доказанные и эвристические), теории, методики, подходы, гипотезы, модели и много других обличий, которые возникают ежедневно.
Из книги мы узнаем о том, как менялось со временем понятие доказательства, что мы подразумеваем под ним сейчас, и что может произойти с доказательством в будущем. А еще мы узнаем о том, как повлияло на математику появление компьютера, в чем роль математических журналов, коммуникаций и прочих социальных институтов, о современной математической жизни, и о том, что сами математики думают о своей работе.
Книга, которую вы держите в руках, - одна из лучших научно-популярных книг по математике. Ее замысел выражен в предисловии: «Нет ничего невозможного в том, чтобы, начиная с первооснов, добраться до таких возвышенных точек, с которых можно ясно обозреть самую сущность и движущие силы современной математики». Эта книга написана одним из ведущих математиков XX века Рихардом Курантом (учеником Д.Гильберта, Иностранным членом АН СССР) в соавторстве с американским математиком Гербертом Роббинсом.
Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике. Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой. Предыдущее издание вышло в 2007 г.
Предисловие к изданию на русском языке
К русскому читателю
Предисловие
Как пользоваться книгой
Что такое математика?
Натуральные числа
Введение
Операции над целыми числами
Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция
Дополнение к главе I. Теория чисел
Математическая числовая система
Введение
Рациональные числа
Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы
Замечания из области аналитической геометрии
Математический анализ бесконечного
Комплексные числа
Алгебраические и трансцендентные числа
Дополнение к главе II. Алгебра множеств
Геометрические построения. Алгебра числовых полей
Введение
Доказательства невозможности и алгебра
Основные геометрические построения
Числа, допускающие построение, и числовые поля
Неразрешимость трех классических проблем
Различные методы выполнения построений
Геометрические преобразования. Инверсия
Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля
Еще об инверсии и ее применениях
Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
Введение
Основные понятия
Двойное отношение
Параллельность и бесконечность
Применения
Аналитическое представление
Задачи на построение с помощью одной линейки
Конические сечения и квадрики
Аксиоматика и нееклидова геометрия
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений
Топология
Введение
Формула Эйлера для многогранников
Топологические свойства фигур
Другие примеры топологических теорем
Топологическая классификация поверхностей
Приложение
Функции и пределы
Введение
Независимое переменное и функция
Пределы
Пределы при непрерывном приближении
Точное определение непрерывности
Две основные теоремы о непрерывных функциях
Некоторые применения теоремы Больцано
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность
Максимумы и минимумы
Введение
Задачи из области элементарной геометрии
Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
Стационарные точки и дифференциальное исчисление
Треугольник Шварца
Проблема Штейнера
Экстремумы и неравенства
Существование экстремума. Принцип Дирихле
Изопериметрическая проблема
Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой
Вариационное исчисление
Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
Математический анализ
Введение
Интеграл
Производная
Техника дифференцирования
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»
Основная теорема анализа
Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм
Дифференциальные уравнения
Дополнение к главе VIII
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения
Добавление 1. Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке
Добавление 2. О создании книги «Что такое математика?»
Рекомендуемая литература
Предметный указатель
Книга, написанная крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом, переиздавалась в нашей стране и обрела в России популярность. Её загадочный подзаголовок гласит: «Элементарный очерк идей и методов».
Издание переведено с английского и вышло в свет под редакцией А. Н. Колмогорова в издательстве МЦНМО (Москва, 2015 г.)
Издатели от лица авторов сообщают, что «книга призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки».
Если на этот счет волнуются известные ученые, значит, разрыв действительно есть. Получается, школьники недополучают самые актуальные знания и на несколько шагов отстают от новых математических реалий.
Продолжаем читать аннотацию к креативному учебнику: «Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки.
Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.
Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.
Предыдущее издание вышло в 2013 г.»
Вы можете скачать книгу на нашем сайте. Чтобы составить себе впечатление о ее содержании, ознакомьтесь с оглавлением.
Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» Оглавление
Предисловие к изданию на русском языке 10
К русскому читателю 14
Как пользоваться книгой 19
Ч т о т а к о е м а т е м а т и к а? 20
Гл а в а I. Натуральные числа 25
- 1. Операции над целыми числами 26
- Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.
- 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция 34
- Принцип математической индукции. 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квадратов.
*5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.
Д о п о л н е н и е к г л а в е I. Теория чисел 45
- 1. Простые числа 45
- Основные факты. 2. Распределение простых чисел. а. Формулы, дающие простые числа. б. Простые числа в арифметических прогрессиях. в. Теорема о распределении простых чисел. г. Две еще не решенные задачи о простых числах.
- 2. Сравнения 57
- Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты.
- 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма 65
- 4. Алгоритм Евклида 67
- Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики.
- Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.
Гл а в а II. Математическая числовая система 77
- 1. Рациональные числа 77
- Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел.
- 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы 83
- Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. 3. Преде лы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа
и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррацио нальных чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные мето ды определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.
- 3. Замечания из области аналитической геометрии 99
- Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий.
- 4. Математический анализ бесконечного 104
- Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Кос венный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики.
- 5. Комплексные числа 116
- Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы.
*4. Основная теорема алгебры.
- 6. Алгебраические и трансцендентные числа 130
- Определение и вопросы существования. **2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.
Д о п о л н е н и е к г л а в е II. Алгебра множеств 134
- Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.
Гл а в а III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей 143
Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра 146
- 1. Основные геометрические построения 146
- Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония.
- 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля 153
- Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение — алгебраические.
- 3. Неразрешимость трех классических проблем 161
- Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических уравнениях. 3. Три секция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга.
Часть 2. Различные методы выполнения построений 167
- 4. Геометрические преобразования. Инверсия 167
- Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое по строение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.
- 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони
с помощью одного циркуля 173
*1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. 2. По строения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды.
*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.
- 6. Еще об инверсии и ее применениях 185
- Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.
Гл а в а IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии 191
- 1. Введение 191
- Классификация геометрических свойств. Инвариантность при пре образованиях. 2. Проективные преобразования.
- 2. Основные понятия 194
- Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга.
- 3. Двойное отношение 198
- Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение к полному четырехстороннику.
- 4. Параллельность и бесконечность 206
- «Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.
- 5. Применения 212
- Предварительные замечания. 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля . 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности.
- 6. Аналитическое представление 217
- Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.
- 7. Задачи на построение с помощью одной линейки 223
- 8. Конические сечения и квадрики 224
- Элементарная метрическая геометрия конических сечений. 2. Про ективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как
«линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид.
- 9. Аксиоматика и нееклидова геометрия 240
- Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.
П р и л о ж е н и е. Геометрия в пространствах более чем трех измерений 253
- Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или ком бинаторный, подход.
Гл а в а V. Топология 261
- 1. Формула Эйлера для многогранников 262
- 2. Топологические свойства фигур 267
- Топологические свойства. 2. Свойства связности.
- 3. Другие примеры топологических теорем 270
- Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема четырех красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы.
- 4. Топологическая классификация поверхностей 282
- Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности. 3. Односторонние поверхности.
П р и л о ж е н и е. 290
*1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая много угольников. *3. Основная теорема алгебры.
Гл а в а VI. Функции и пределы 299
- 1. Независимое переменное и функция 300
- Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность.
*6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и преобразования.
- 2. Пределы 317
- Предел последовательности an. 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число p. *5. Непрерывные дроби.
- 3. Пределы при непрерывном приближении 330
- Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия предела. 3. Предел sin x . 4. Пределы при x → ∞.
- 4. Точное определение непрерывности 337
- 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях 339
- Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы Больцано. 3. Тео рема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Теорема о по следовательностях. Компактные множества.
- 6. Некоторые применения теоремы Больцано 344
- Геометрические применения. *2. Применение к одной механической проблеме.
Д о п о л н е н и е к г л а в е VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность 349
- 1. Примеры пределов 349
- Общие замечания. 2. Предел qn. 3. Предел √n p. 4. Разрывные
функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации.
Гл а в а VII. Максимумы и минимумы 357
- 1. Задачи из области элементарной геометрии 358
- Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах.
- Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства.
*5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.
- 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи 366
- Принцип. 2. Примеры.
- 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 369
- Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности.
- 4. Треугольник Шварца 375
- Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.
- 5. Проблема Штейнера 382
- Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих возможностей.
- Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обоб щение: проблема уличной сети.
- 6. Экстремумы и неравенства 389
- Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положи тельных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов.
- 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле 394
- Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.
- 8. Изопериметрическая проблема 401
*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между про блемой Штейнера и изопериметрической проблемой 404
- 10. Вариационное исчисление 407
- Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.
- Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли.
- Геодезические линии на сфере. Минимаксы.
- 11. Экспериментальные решения задач на минимум.
Опыты с мыльными пленками 413
- Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, от носящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем.
Гл а в а VIII. Математический анализ 425
- 1. Интеграл 426
- Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr. 5. Правила «интегрального исчисления».
- 2. Производная 442
- Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. Примеры.
- Производные от тригонометрических функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной.
- Максимумы и минимумы.
- 3. Техника дифференцирования 455
- 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые» 461
- 5. Основная теорема анализа 463
- Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для p.
- 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм 471
- Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs. 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.
- 7. Дифференциальные уравнения 482
- Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.
- Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движения Ньютона.
Д о п о л н е н и е к г л а в е VIII. 491
- 1. Вопросы принципиального порядка 491
- Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.
- 2. Порядки возрастания 498
- Показательная функция и степени переменного x. 2. Порядок возрастания функции ln(n!).
- 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения 501
- Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и дзета функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.
*§4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода 511
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения 517
Арифметика и алгебра 517
Аналитическая геометрия 519
Геометрические построения 525
Проективная и неевклидова геометрия 525
Функции, пределы, непрерывность 530
Максимумы и минимумы 531
Дифференциальное и интегральное исчисления 533
Техника интегрирования 535
Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке 541
М.: МЦНМО, 2005. — 565 с. (Элементарный очерк идей и методов). — 4-e изд., испр. и доп.
Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике. Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой. С задачами и упражнениями.
Предисловие к изданию на русском языке
К русскому читателю
Предисловие
Как пользоваться книгой
Что такое математика?
Натуральные числа .
Операции над целыми числами.
Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция.
Дополнение к главе Теория чисел.
Математическая числовая система .
Рациональные числа.
Несоизмеримые отрезки Иррациональные числа, пределы.
Замечания из области аналитической геометрии.
Комплексные числа.
Алгебраические и трансцендентные числа.
Дополнение к главе Алгебра множеств.
Геометрические построения. Алгебра числовых полей .
Доказательства невозможности и алгебра .
Основные геометрические построения.
Числа, допускающие построение, и числовые поля.
Неразрешимость трех классических проблем.
Различные методы выполнения построений .
Геометрические преобразования Инверсия.
Построения с помощью других инструментов Построения Маскерони с помощью одного циркуля.
Еще об инверсии и ее применениях.
Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии .
Основные понятия.
Двойное отношение.
Параллельность и бесконечность.
Применения.
Аналитическое представление.
Задачи на построение с помощью одной линейки.
Конические сечения и квадрики.
Аксиоматика и нееклидова геометрия.
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений.
Топология .
Формула Эйлера для многогранников.
Топологические свойства фигур.
Другие примеры топологических теорем.
Топологическая классификация поверхностей.
Функции и пределы .
Независимое переменное и функция.
Пределы.
Пределы при непрерывном приближении.
Точное определение непрерывности.
Две основные теоремы о непрерывных функциях.
Некоторые применения теоремы Больцано.
Дополнение к главе Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность.
Максимумы и минимумы.
Задачи из области элементарной геометрии.
Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи.
Стационарные точки и дифференциальное исчисление.
Треугольник Шварца.
Проблема Штейнера.
Экстремумы и неравенства.
Существование экстремума. Принцип Дирихле.
Изопериметрическая проблема.
Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой.
Вариационное исчисление.
Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками.
Математический анализ .
Интеграл.
Производная.
Техника дифференцирования.
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые».
Основная теорема анализа.
Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм.
Дифференциальные уравнения.
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения.
Добавление. Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке
Добавление. О создании книги «Что такое математика?»
Рекомендуемая литература
Предметный указатель.
Читайте также: