Как сделать зеркальную симметрию

Обновлено: 23.01.2025

В алгебраической геометрии и теоретической физике , зеркальная симметрия является соотношением между геометрическими объектами , называемыми Калаби-Яу . Этот термин относится к ситуации , когда два Калаби-Яу выглядят очень разные геометрический , но, тем не менее эквивалентны при использовании в качестве дополнительных измерений в теории струн .

Первые случаи зеркальной симметрии были открыты физиками. Математики заинтересовались этой связью примерно в 1990 году, когда Филип Канделас , Ксения де ла Осса , Пол Грин и Линда Паркс показали, что ее можно использовать в качестве инструмента в перечислительной геометрии , области математики, связанной с подсчетом количества решений геометрических вопросов. . Канделас и его сотрудники показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета рациональных кривых на многообразии Калаби – Яу, тем самым решив давнюю проблему. Хотя первоначальный подход к зеркальной симметрии был основан на физических идеях, которые не были поняты математически точно, некоторые из его математических предсказаний с тех пор были строго доказаны .

Сегодня зеркальная симметрия - одна из основных тем исследований чистой математики , и математики работают над математическим пониманием этой взаимосвязи на основе интуиции физиков. Зеркальная симметрия также является фундаментальным инструментом для проведения вычислений в теории струн, и она использовалась для понимания аспектов квантовой теории поля , формализма, который физики используют для описания элементарных частиц . Основные подходы к зеркальной симметрии включают гомологической зеркальной симметрии программы Максим Концевич и SYZ гипотезу о Строминджер , Шин-Тун Яу , и Эрик Zaslow .

СОДЕРЖАНИЕ

Обзор

Струны и компактификация

В физике, теория струн представляет собой теоретическую основу , в которой точечные частицы в физике элементарных частиц заменены одномерных объектов , называемых строками . Эти струны выглядят как небольшие отрезки или петли обычной струны. Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна будет выглядеть как обычная частица, с ее массой , зарядом и другими свойствами, определяемыми колебательным состоянием струны. Расщепление и рекомбинация струн соответствуют испусканию и поглощению частиц, вызывая взаимодействия между частицами.

Есть заметные различия между миром, описываемым теорией струн, и повседневным миром. В повседневной жизни есть три знакомых измерения пространства (вверх / вниз, влево / вправо и вперед / назад), и есть одно измерение времени (позже / раньше). Таким образом, на языке современной физики говорят, что пространство -время четырехмерно. Одна из особенностей теории струн состоит в том, что для ее математической непротиворечивости требуются дополнительные измерения пространства-времени. В теории суперструн , версии теории, которая включает в себя теоретическую идею, называемую суперсимметрией , есть шесть дополнительных измерений пространства-времени в дополнение к четырем, знакомым из повседневного опыта.

Многообразия Калаби – Яу.

Компактификацию можно использовать для построения моделей, в которых пространство-время эффективно четырехмерно. Однако не каждый способ уплотнения дополнительных измерений дает модель с правильными свойствами для описания природы. В жизнеспособной модели физики элементарных частиц компактные дополнительные измерения должны иметь форму многообразия Калаби – Яу . Многообразие Калаби – Яу - это особое пространство, которое обычно считается шестимерным в приложениях к теории струн. Он назван в честь математиков Эудженио Калаби и Шинг-Тунг Яу .

После того, как многообразия Калаби-Яу вошли в физику как способ компактификации дополнительных измерений, многие физики начали изучать эти многообразия. В конце 1980-х Ланс Диксон , Вольфганг Лерш, Кумрун Вафа и Ник Уорнер заметили, что при такой компактификации теории струн невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби – Яу. Вместо этого две разные версии теории струн, называемые теорией струн типа IIA и типа IIB, могут быть компактифицированы на совершенно разных многообразиях Калаби – Яу, что дает начало одной и той же физике. В этой ситуации многообразия называются зеркальными многообразиями, а взаимосвязь между двумя физическими теориями называется зеркальной симметрией.

Независимо от того, обеспечивают ли компактификации Калаби – Яу теории струн правильное описание природы, существование зеркальной дуальности между различными теориями струн имеет важные математические последствия. Многообразия Калаби – Яу, используемые в теории струн, представляют интерес для чистой математики , а зеркальная симметрия позволяет математикам решать задачи перечислительной алгебраической геометрии - раздела математики, связанного с подсчетом числа решений геометрических вопросов. Классическая проблема перечислительной геометрии - перечислить рациональные кривые на многообразии Калаби – Яу, таком как проиллюстрированное выше. Применяя зеркальную симметрию, математики превратили эту проблему в эквивалентную задачу для зеркала Калаби – Яу, которую оказалось легче решить.

В физике зеркальная симметрия оправдана по физическим причинам. Однако математики обычно требуют строгих доказательств , не требующих обращения к физической интуиции. С математической точки зрения версия зеркальной симметрии, описанная выше, все еще является лишь предположением, но есть еще одна версия зеркальной симметрии в контексте топологической теории струн , упрощенная версия теории струн, представленная Эдвардом Виттеном , которая была строго доказано математиками. В контексте топологической теории струн зеркальная симметрия утверждает, что две теории, называемые A-моделью и B-моделью , эквивалентны в том смысле, что между ними существует двойственность. Сегодня зеркальная симметрия является активной областью математических исследований, и математики работают над более полным математическим пониманием зеркальной симметрии на основе интуиции физиков.

История

Идея зеркальной симметрии восходит к середине 1980-х годов, когда было замечено, что струна, распространяющаяся по кругу радиуса , физически эквивалентна струне, распространяющейся по кругу радиуса в соответствующих единицах . Это явление теперь известно как Т-дуальность и, как считается, тесно связано с зеркальной симметрией. В статье 1985 года Филип Канделас , Гэри Горовиц , Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен показали, что, компактифицируя теорию струн на многообразии Калаби – Яу, можно получить теорию, примерно аналогичную стандартной модели физики элементарных частиц, которая также последовательно включает идею называется суперсимметрией. Вслед за этим многие физики начали изучать компактификации Калаби – Яу, надеясь построить реалистичные модели физики элементарных частиц, основанные на теории струн. Кумрун Вафа и другие заметили, что при такой физической модели невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби – Яу. Вместо этого есть два многообразия Калаби – Яу, которые порождают одну и ту же физику. р 1 / р

Изучая взаимосвязь между многообразиями Калаби – Яу и некоторыми конформными теориями поля, называемыми моделями Гепнера, Брайан Грин и Ронен Плессер нашли нетривиальные примеры зеркальной взаимосвязи. Дальнейшее свидетельство этой взаимосвязи было получено в работах Филипа Канделаса, Моники Линкер и Рольфа Шиммригка, которые обследовали большое количество многообразий Калаби – Яу с помощью компьютера и обнаружили, что они образованы парами зеркал.

Математики заинтересовались зеркальной симметрией примерно в 1990 году, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для решения задач перечислительной геометрии, которые не решались десятилетиями или более. Эти результаты были представлены математикам на конференции в Исследовательском институте математических наук (ИИГС) в Беркли, Калифорния, в мае 1991 года. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел, вычисленных Канделасом для подсчета рациональных кривых, не согласуется с число, полученное норвежскими математиками Гейром Эллингсрудом и Стейном Арильдом Стрёмме с использованием якобы более строгих методов. Многие математики на конференции полагали, что работа Канделаса содержала ошибку, поскольку она не была основана на строгих математических аргументах. Однако, изучив свое решение, Эллингсруд и Стрёмме обнаружили ошибку в своем компьютерном коде и, исправив код, получили ответ, совпадающий с ответом, полученным Канделасом и его сотрудниками.

В 1990 году Эдвард Виттен представил топологическую теорию струн, упрощенную версию теории струн, а физики показали, что существует версия зеркальной симметрии для топологической теории струн. Это утверждение о топологической теории струн обычно используется в математической литературе как определение зеркальной симметрии. В своем выступлении на Международном конгрессе математиков в 1994 году математик Максим Концевич представил новую математическую гипотезу, основанную на физической идее зеркальной симметрии в топологической теории струн. Известный как гомологической зеркальной симметрии , эта гипотеза формализует зеркальной симметрии как эквивалентности двух математических структур: производной категории из когерентных пучков на многообразии Калаби-Яу и категории Фукая своего зеркала.

Также примерно в 1995 г. Концевич проанализировал результаты Канделаса, который дал общую формулу для задачи о подсчете рациональных кривых на квинтике трехмерного многообразия , и переформулировал эти результаты как точную математическую гипотезу. В 1996 году Александр Гивенталь опубликовал статью, в которой утверждал, что это предположение Концевича доказано. Изначально многим математикам было трудно понять эту статью, поэтому возникли сомнения в ее правильности. Впоследствии Бонг Лянь, Кефенг Лю и Шинг-Тунг Яу опубликовали независимое доказательство в серии статей. Несмотря на разногласия по поводу того, кто опубликовал первое доказательство, теперь все эти статьи рассматриваются как математическое доказательство результатов, первоначально полученных физиками с использованием зеркальной симметрии. В 2000 году Кентаро Хори и Кумрун Вафа дали еще одно физическое доказательство зеркальной симметрии, основанное на T-дуальности.

Работа над зеркальной симметрией продолжается и сегодня в связи с серьезными разработками в контексте струн на поверхностях с границами. Кроме того, зеркальная симметрия была связана со многими активными областями математических исследований, такими как соответствие Маккея , топологическая квантовая теория поля и теория условий устойчивости . В то же время продолжают вызывать беспокойство основные вопросы. Например, математикам до сих пор не хватает понимания того, как построить примеры зеркальных пар Калаби – Яу, хотя в понимании этого вопроса был достигнут прогресс.

Опорный конспект по теме: "Движения.Зеркальная симметрия".Иллюстрация к задачам и подробный разбор.

Движения. Зеркальная симметрия

Мы продолжаем знакомство с движением.

На прошлом занятии вы узнали об ещё одном виде движения — осевой симметрии.

Напомню, что осевая симметрия с осью а — это отображение пространства на себя, при котором любая точка К переходит в симметричную ей точку К₁ относительно оси а.

Осевая симметрия -один из видов движения.

Отображение пространства на себя, при котором каждая точка К переходит в симметричную ей относительно плоскости β точку К₁ называется зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости β).

Зеркальная симметрия- отображение пространства на себя, при котором каждая точка К переходит в симметричную ей относительно плоскости β точку К₁.

1. Введём декартову (прямоугольную) систему координат О_xyz так, чтобы плоскость О_xy совпала с плоскостью симметрии.

2. Найдем связь между точками М (x;y;z) и M₁ (x₁;y₁;z₁), которые симметричны относительно плоскости О_xy. Если точка М не принадлежит данной плоскости, то плоскость О_xy :

а) проходит через середину отрезка МM₁;

б) перпендикулярна отрезку ММ₁.

Из первого условия по формулам для координат середины отрезка имеем:

Из второго условия следует, что отрезок МM₁ параллелен оси аппликат О_z , таким образом, x=x₁; y =y₁.

Данные формулы верны и в том случае, если точка М лежит в плоскости О_xy.

3. Рассмотрим любые две точки: А — с координатами (x₁;y₁;z₁) и В — с координатами (x₂;y₂;z₂) и докажем, что расстояние между точками А₁ и В₁, которые им симметричны, равно АВ.

Точки А₁ и В₁ имеют координаты

По формуле расстояний между двумя точками, найдём:

Очевидно, что длина отрезка АВ равна длине отрезка A₁B₁, то есть расстояние между точками сохранено.

Таким образом, мы доказали, что зеркальная симметрия является движением.

1. О_xyz-прямоугольная система координат.

О_xy -плоскость симметрии

2. Точки М(x;y;z) и M₁(x₁;y₁;z₁), симметричны относительно плоскости симметрии О_xy.

, откуда z=–z₁.

Данные формулы верны и в том случае, если точка М лежит в плоскости О_xy.

Симметричные им точки

АВ= A₁B₁=

Зеркальная симметрия является движением.

Разберём несколько задач, применяя полученные знания.

Доказать, что прямые а и а₁ лежат в одной плоскости, если при зеркальной симметрии прямая а отображается в прямую а₁.

1. Введём плоскость симметрии О_xy.

Рассмотрим два случая:

- прямая а параллельна плоскости О_xy.

- прямая а не параллельна плоскости О_xy.

В случае параллельности прямой а и плоскости О_xy имеем: точки М и L, N и K симметричны (принадлежат симметричным прямым), тогда MA=AL, NB=BK.

Кроме того, все эти отрезки равны между собой: MA=AL=NB=BK, поскольку плоскость О_xy — плоскость симметрии.

Прямые МL, NK — перпендикулярны плоскости О_xy, значит МL параллельна NK (две прямые, перпендикулярные плоскости, параллельны между собой).

Таким образом, мы получили, что четырёхугольник MLKN — прямоугольник.

Поэтому прямые LK и MN параллельны как противоположные стороны прямоугольника MLKN. А значит, и прямые а и а₁, на которых лежат параллельные прямые LK и MN, будут параллельными, а значит, и лежат в одной плоскости.

Что и требовалось доказать.

2.В случае, если прямая а не параллельна плоскости О_xy, прямая а пересекает данную плоскость в точке Р.

При симметрии точка Р переходит в себя, так как лежит в плоскости симметрии О_xy.

Таким образом, точка Р принадлежит и прямой а₁.

Мы получили, что прямые а и а₁ имеют общую точку, следовательно, они лежат в одной плоскости.

Что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали, что прямые а и а₁ всегда лежат в одной плоскости, если при зеркальной симметрии прямая а отображается в прямую а₁.

М и L, N и K симметричны.

МL┴ О_xy, NK┴ О_xy МL║ NK

(две прямые, перпендикулярные плоскости, параллельны между собой).

MLKN-прямоугольник

LK ║ MN а ║ а₁

а (MNL), а₁ (MNL)

2.а О_xy

аО_xy=Р

РО_xy

РР

Р а₁

аа₁=Р

а (MNP), а₁ (MNP)

При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β₁. Доказать, что если плоскость β параллельна плоскости α, то плоскость β₁ также параллельна плоскости α.

1.Выберем три точки А, В, С в плоскости β, не лежащие на одной прямой.

2.Дополнительное построение: проведём отрезки АА₂, ВВ₂, СС₂ перпендикулярно плоскости α.

Мы получили, что четырёхугольник АА₁В₁В — прямоугольник, так как АА₁=ВВ₁ и АА₁║ВВ₁(в силу симметричности плоскостей β и β₁).

4.Плоскость β проходит через точки А₁, В₁, С₁ и эта плоскость единственна.

5. Известно, что если пересекающиеся прямые (ВА и ВС) одной плоскости (β) параллельны двум пересекающимся прямым (В₁А₁ и В₁С₁) другой плоскости (β₁), то эти плоскости параллельны.

Итак, мы доказали, что плоскости β и β₁ параллельны.

Дано: α-плоскость симметрии.

β→β₁ при зеркальной симметрии, β║α

1. А, В, С β

А₂А₁=АА₂, В₂В₁=ВВ₂, С₂С₁=СС₂

3. А₁В₁║АВ, ВВ₁=СС₁ и ВВ₁║СС₁

ВВ₁С₁С-прямоугольник

4. Плоскость β проходит через точки А₁, В₁, С₁ и эта плоскость единственна.

Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.

Аннотация к презентации

Смотреть презентацию онлайн с анимацией на тему "Зеркальная симметрия" по математике. Презентация состоит из 16 слайдов. Материал добавлен в 2016 году. Средняя оценка: 3.9 балла из 5.. Возможность скчачать презентацию powerpoint бесплатно и без регистрации. Размер файла 1.0 Мб.

Содержание

Слайд 2

Симметрия - это гармония в расположении одинаковых предметов какой-либо группы или частей в одном предмете, причем расположение определяется одной или несколькими воображаемыми зеркальными плоскостями.

Слайд 3

Виды симметрии а) Лучевая симметрия б) Осевая симметрия в) Центральная симметрия г) Зеркальная симметрия

Слайд 4

Зеркальная симметрия Центральная симметрия Осевая симметрия

Слайд 5

Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости  точку М1. ММ м М М М1 О О М М К К   ОМ=ОМ1 ;ММ1 МК=М1К1 М1 К1

Слайд 6

Это математическое понятие описывает соотношение в оптике объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале, а также многие законы симметрии.

Слайд 7

Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S ( рис.104 ), если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E1 этой же фигуры, так что отрезок EE1 перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам ( EA = AE1 ). Плоскость S называется плоскостью симметрии. Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова. Они называются зеркально равными.

Слайд 8

Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Зеркальный двойник оказывается "вывернутым" вдоль направления перпендикулярного к плоскости зеркала.

Слайд 9

Докажем,что зеркальная симметрия есть движение. Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим плоскость Оxy с плоскостью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1)

Слайд 10

Если М не лежит в плоскости Оху, то х =х1, у =у1, z = -z1. Если М I Оху , то x=x1, y=y1, z=z1=0 Рассмотрим А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), А—> А1, В—> В1 , тогда А1(x1; y1; -z1), В1(x2; y2; -z2), тогда АВ=А1В1, т.е.Оху – движение.

Слайд 11

Зеркально осевая симметрия. Если плоская фигура ABCDE ( рис.107 ) симметрична относительно плоскости S ( чтовозможно, если только плоская фигура перпендикулярна плоскости S ), то прямая KL, по которой эти плоскости пересекаются, являетсяосью симметрии фигуры ABCDE. В этом случае фигура ABCDE называетсязеркально-симметричной.

Слайд 12

Многогранник, обладающий зеркально-осевой симметрией; прямая AB — зеркально-поворотная ось.

Слайд 13

Прямая призма обладает зеркальной симметрией. Плоскость симметрии параллельна её основаниям и расположена на одинаковом расстоянии между ними.

Слайд 14

Каждая деталь в симметричной системе существует как двойник своей обязательной паре, расположенной по другую сторону оси, и благодаря двойственности отдельных элементов сооружение “читается” целиком даже при восприятии с одной стороны.

Слайд 15

Зеркальная симметрия-это симметрия окружающего нас мира. Построение изображения с помощью зеркальной симметрии сходно с изображением в зеркале.

Слайд 16

Презентация на тему: " Порассуждаем о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно." — Транскрипт:

6 Порассуждаем о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

7 В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

8 Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся нечитабельными. Встречаются дети, которые пишут левой рукой, и все буквы получаются у них в зеркальном, отраженном, виде. Зеркальным шрифтом написаны дневники Леонардо да Винчи. Вероятно, не существует веского основания, заставляющего нас писать буквы именно так, как это делаем мы. Вряд ли зеркальным шрифтом труднее овладеть, чем обычным.

9 Правописание от этого не стало бы проще, а некоторые слова, как, например, ОТТО, вообще не изменились бы. Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

10 В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

СОДЕРЖАНИЕ

Первоначально конструкция зеркальных многообразий была открыта с помощью специальной процедуры. По существу, с типичным трехмерным пятерным многообразием должно быть связано однопараметрическое семейство многообразий Калаби-Яу, которое имеет множественные особенности. После взрыва этих особенностей они разрешаются и строится новое многообразие Калаби-Яу . на котором был перевернутый алмаз Ходжа. В частности, есть изоморфизмы Икс ⊂ C п 4 ^ > Икс ψ > Икс ∨ >

но самое главное есть изоморфизм

где теория струн ( А-модель из ) для состояний в это взаимозаменяемый с теорией струн (The B-модель из ) , имеющей состояние в . Теория струн в A-модели зависит только от кэлеровой или симплектической структуры, в то время как B-модель зависит только от сложной структуры . Здесь мы обрисовываем первоначальную конструкцию зеркальных многообразий и рассматриваем теоретические основы теории струн и гипотезу о зеркальных многообразиях в следующем разделе этой статьи. X H 1 ( X , Ω X 1 ) (X,\Omega _^)> X ∨ > H 1 ( X ∨ , Ω X ∨ 2 ) (X^,\Omega _^)> X X ∨ >

Напомним, что типичное квинтическое трехмерное многообразие [2] [4] в определяется однородным многочленом степени . Этот многочлен эквивалентно описывается как глобальное сечение линейного пучка . [1] [5] Обратите внимание, что векторное пространство глобальных секций имеет размерность X P 4 ^> 5 f ∈ Γ ( P 4 , O P 4 ( 5 ) ) ^,<\mathcal >_ <\mathbb

^>(5))>

но есть две эквивалентности этих многочленов. Во-первых, полиномы при масштабировании алгебраическим тором [6] (ненулевые масштабаторы базового поля) заданы эквивалентными пространствами. Во- вторых, проективное эквивалентность задается автоморфизмом группы , которая является одномерным. Это дает пространство размерных параметров G m _> P 4 ^> PGL ( 5 ) >(5)> 24 101

поскольку , который может быть построен с использованием геометрической теории инвариантов . Набор соответствует классам эквивалентности многочленов, которые определяют гладкие трехмерные квинтики Калаби-Яу в , давая пространство модулей квинтик Калаби-Яу. [7] Теперь, используя двойственность Серра и тот факт, что каждое многообразие Калаби-Яу имеет тривиальное каноническое расслоение , пространство деформаций имеет изоморфизм 126 − 24 − 1 = 101 U smooth >> P 4 ^> ω X >

с частью конструкции Ходжа на . Используя теорему Лефшеца о гиперплоскости, единственная нетривиальная группа когомологий состоит в том, что остальные изоморфны . Используя эйлерову характеристику и класс Эйлера , который является верхним классом Черна , размерность этой группы равна . Это потому что ( 2 , 1 ) H 3 ( X ) (X)> H 3 ( X ) (X)> H i ( P 4 ) (\mathbb ^)> 204

Используя структуру Ходжа, мы можем найти размеры каждого из компонентов. Во-первых, потому что это Калаби-Яу, поэтому X ω X ≅ O X \cong <\mathcal >_>

давая числа Ходжа , следовательно h 0 , 3 = h 3 , 0 = 1 =h^=1>

задающий размерность пространства модулей многообразий Калаби-Яу. Благодаря теореме Богомолева-Тиан-Тодорова все такие деформации беспрепятственны, поэтому гладкое пространство фактически является пространством модулей трехмерных многообразий пятой степени. Вся суть этой конструкции состоит в том, чтобы показать, как комплексные параметры в этом пространстве модулей преобразуются в кэлеровы параметры зеркального многообразия. U s m o o t h >

Существует известное семейство многообразий Калаби-Яу, называемое семейством Дворка . Это проективная семья X ψ >

над комплексной плоскостью . Теперь обратите внимание, что существует только одно измерение сложных деформаций этого семейства, происходящее из- за различных значений. Это важно, потому что алмаз Ходжа зеркального коллектора имеет Spec ( C [ ψ ] ) >(\mathbb [\psi ])> ψ X ˇ >>

Так или иначе, в семье есть группа симметрии X ψ >

Обратите внимание, что проективность является причиной условия X ψ >

Ассоциированное фактормногообразие имеет крепантную резольвенту, заданную [2] [5] раздутием особенностей X ψ / G /G> 100

В теории струн есть класс моделей , называемых нелинейные моделями сигмы , которые изучаются семейством отображений , где это род алгебраической кривой и является Калаби-Яу . Эти кривые называются мировыми листами и представляют рождение и смерть частицы в виде замкнутой струны. Поскольку со временем струна может разделиться на две или более струн, и в конечном итоге эти струны сойдутся вместе и схлопнутся в конце срока службы частицы, алгебраическая кривая математически представляет это время жизни струны. Для простоты первоначально рассматривались кривые только рода 0, и многие результаты, получившие популярность в математике, были сосредоточены только на этом случае. ϕ : Σ → X Σ g X Σ

Кроме того, в терминологии физики эти теории являются гетеротическими теориями струн, потому что они имеют суперсимметрию, которая возникает в паре, поэтому на самом деле существует четыре суперсимметрии. Это важно, поскольку подразумевает наличие пары операторов ( 2 , 2 ) N = 2

действующее в гильбертовом пространстве состояний, но определенное только с точностью до знака. Эта неоднозначность - то, что изначально предполагало физикам, что должна существовать пара многообразий Калаби-Яу с теориями двойственных струн, которые обмениваются этой неоднозначностью между собой.

Пространство имеет сложную структуру, которая является интегрируемой почти комплексной структурой , и, поскольку это кэлерово многообразие, оно обязательно имеет симплектическую структуру, называемую кэлеровой формой, которая может быть комплексифицирована до комплексифицированной кэлеровой формы X J ∈ End ( T X ) >(TX)> ω

которая является замкнутой -формой, поэтому ее класс когомологий принадлежит ( 1 , 1 )

Основная идея, лежащая в основе гипотез о зеркальной симметрии, состоит в том, чтобы изучить деформации или модули комплексной структуры и комплексной симплектической структуры таким образом, чтобы они были двойственными друг другу. В частности, с точки зрения физики [8] стр. 1-2 , суперконформная теория поля многообразия Калаби-Яу должна быть эквивалентна дуальной суперконформной теории поля зеркального многообразия . Здесь конформная означает конформную эквивалентность, которая совпадает с классом эквивалентности сложных структур на кривой . J ω C >> X X ∨ > Σ

Есть два варианта нелинейных сигма - моделей под названием A-модели и B-модели , которые считают пары и и их модули [9] сп 38 стр 729 . ( X , ω C ) >)> ( X , J )

Учитывая многообразие Калаби-Яу с комплексифицированным классом Келера, нелинейная сигма-модель теории струн должна содержать три поколения частиц: электо , слабые и сильные ядерные взаимодействия [10] стр. 27 . Чтобы понять, как эти силы взаимодействуют, вводится трехточечная функция, называемая взаимодействием Юкавы, которая действует как корреляционная функция для состояний в . Обратите внимание , это пространство является подпространством оператора на гильбертовом пространстве из состояний для теории струн [8] стр 3-5 X [ ω C ] ∈ H 1 ( X , Ω X 1 ) >]\in H^(X,\Omega _^)> H 1 ( X , Ω X 1 ) <\displaystyle H^(X,\Omega _^)> Q . Эта трехточечная функция "вычисляется" как

с использованием техники интегралов по путям Фейнмана , где - наивное количество рациональных кривых с классом гомологии , и . Определение этих инстантонных чисел является предметом теории Громова – Виттена . Обратите внимание, что в определении этой корреляционной функции она зависит только от класса Калера. Это вдохновило некоторых математиков на изучение гипотетических пространств модулей келеровых структур на многообразии. n β > β ∈ H 2 ( X ; Z ) (X;\mathbb )> ω i ∈ H 1 ( X , Ω X ) \in H^(X,\Omega _)> n β >

В A-модели соответствующее пространство модулей - это модули псевдоголоморфных кривых [11] с. 153

или пространства модулей Концевича [12]

Эти пространства модулей можно снабдить виртуальным фундаментальным классом

который представлен в виде исчезающего геометрического места сечения пучка, называемого пучком препятствий над пространством модулей. Этот раздел основан на дифференциальном уравнении π C o k e r ( v ) (v)> Obs _ >>>

что можно рассматривать как возмущение карты . Это также можно рассматривать как Пуанкаре двойственный из класса Эйлера в , если это векторное расслоение . u Obs _ >>>

При исходной конструкции рассматриваемая A-модель находилась на общей пятой тройке в . [9] P 4 ^>

Для того же многообразия Калаби-Яу в подразделе A-модели существует дуальная суперконформная теория поля, которая имеет состояния в собственном подпространстве оператора . Его трехточечная корреляционная функция определяется как X H 1 ( X , T X ) (X,T_)> Q ¯ >>

где - голоморфная 3-форма на и для инфинитезимальной деформации (поскольку - касательное пространство к пространству модулей многообразий Калаби-Яу, содержащее , согласно отображению Кодаиры-Спенсера и теореме Богомолева-Тиан-Тодорова ), существует гаусс- Манин в связи с преобразованием класса в класс, следовательно Ω ∈ H 0 ( X , Ω X 3 ) (X,\Omega _^)> X θ H 1 ( X , T X ) (X,T_)> X ∇ θ > ( p , q ) ( p + 1 , q − 1 )

может быть интегрирован в . Обратите внимание, что эта корреляционная функция зависит только от сложной структуры . X X

Действие классов когомологий на объект также можно понимать как когомологический вариант внутреннего произведения . Локально класс соответствует коциклу Чеха для некоторого достаточно красивого покрытия, дающего сечение . Затем продукт вставки дает элемент θ ∈ H 1 ( X , T X ) (X,T_)> Ω ∈ H 0 ( X , Ω X 3 ) (X,\Omega _^)> θ [ θ i ] i ∈ I ]_> < U i >i ∈ I \>_> θ i ∈ T X ( U i ) \in T_(U_)>

которые могут быть склеены обратно в элемент из . Это потому, что на перекрытиях ι θ ( Ω ) (\Omega )> H 1 ( X , Ω X 2 ) (X,\Omega _^)>

следовательно, он определяет 1-коцикл. Повторение этого процесса дает 3-коцикл

что равно . Это потому, что локально связь Гаусса-Манина действует как продукт интерьера. ∇ θ 1 ∇ θ 2 ∇ θ 3 Ω >\nabla _>\nabla _>\Omega >

Математически B-модель представляет собой разновидность хедж-структур, которая изначально была дана конструкцией из семейства Дворков.

Связывание этих двух моделей теории струн путем разрешения неоднозначности знака для операторов привело физиков к следующей гипотезе [8], стр. 22 : для многообразия Калаби-Яу должно существовать зеркальное многообразие Калаби-Яу такое, что существует зеркальный изоморфизм ( Q , Q ¯ ) >)> X X ∨ >

дающий совместимость связанной A-модели и B-модели. Это означает данное и такое, что под зеркальным отображением имеется равенство корреляционных функций H ∈ H 1 ( X , Ω X ) (X,\Omega _)> θ ∈ H 1 ( X ∨ , T X ∨ ) (X^,T_)> H ↦ θ

⟨ H , H , H ⟩ = ⟨ θ , θ , θ ⟩

Это имеет большое значение , поскольку она имеет отношение числа степеней рода кривых на квинтики три раза в (так ) интегралы в вариации структур Ходжа. Более того, эти интегралы действительно вычислимы! d 0 X P 4 ^> H 1 , 1 ≅ Z \cong \mathbb >

Читайте также: