Как сделать уравнение касательной к графику функции
Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):
Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .
И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .
Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ?
Общая формула знакома нам еще со школы:
Значение нам уже дано в условии.
Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке :
На следующем этапе находим производную:
Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):
Подставляем значения , и в формулу :
Таким образом, уравнение касательной:
Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению:
Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.
Рассмотрим еще два примера.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Уравнение касательной составим по формуле
1) Вычислим значение функции в точке :
2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:
3) Вычислим значение производной в точке :
4) Подставим значения , и в формулу :
Выполним частичную проверку:
Подставим точку в найденное уравнение:
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Полное решение и образец оформления в конце урока.
В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду.
Производная функции, имеющей вид f(x), в некой точк \(x_0\) является пределом отношения приращения функции \(\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) к приращению аргумента \(\Delta x\) , если \(\Delta x\rightarrow 0\) , и данный предел существует.
Вывод формулы имеет следующий вид:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Графически производную можно изобразить в виде кривой таким образом:
Разберем типичный пример в доказательство определению. Попробуем найти производную записанным ранее методом \((x^2+1)\) :
Согласно историческим фактам, одновременно с написанием работы Ньютона по изучению процессов в физике и формулировке понятия производной Лейбницем было введено определение производной с помощью геометрических закономерностей. Узнать, в чем состоит геометрический смысл производной, можно с помощью исследования графика функции y=f(x) на плоскости:
В качестве обозначения точки \(х0\) , соответствующей значению заданной функции, используем Р. Затем построим некую секущую, которая будет пересекать точки Р и Р1. Предположим, что полученный угол, образованный положительным направлением оси абсцисс Х и построенной секущей, равен \(\beta\) .
Результатом наших действий является геометрическая фигура под названием прямоугольный треугольник, катеты которого соответствуют переменным \(\triangle x\) и \(\triangle y\) . Введем обозначения:
- \(\triangle x\) обозначает приращение аргумента функции;
- \(\triangle y \) является приращением функции непосредственно.
Приращение функции относится к приращению аргумента, как тангенс угла, образованный секущей и положительным направлением оси абсцисс:
Когда значение \(\triangle x\) стремится к нулю, точка Р1 на изображенном графике смещается в сторону точки Р. Положение секущей в таком случае меняется по отношению к графику.
Секущая занимает предельное положение в виде прямой, когда приращение стремится к нулю. Точки Р и Р1 на данной прямой будут совмещены. Рассматриваемая прямая является касательной к графику в точке Р.
Запишем следующее соотношение:
\(tg\beta \rightarrow tg\alpha, если \triangle x\rightarrow 0\)
Геометрический смысл производной: производная функции в точке обладает значением, численно равным тангенсу угла наклона касательной к функции в рассматриваемой точке.
Известным фактом является то, что какая-либо прямая обладает уравнением, которое можно записать в общем виде:
В уравнении касательной к функции в некой точке Р коэффициент k определяется, как значение производной в точке х0:
В процессе решения практических заданий нередко можно встретить примеры, где требуется использовать геометрический смысл производной. Одной из подобных задач является изучение графически заданной функции в сравнении с графиком производной искомой функции.
Уравнение касательной к графику функций
Представим, что имеется некая функция \(y=f(x)\) . Отметим на ее графике точку \(x_o\) . Если провести касательную, пересекающую данную точку, то ее можно задать с помощью следующего уравнения:
В результате угловой коэффициент касательной будет определен по формуле:
В качестве наглядного примера изобразим график по исходным данным:
Определение таких значений для k и b, при которых прямая \(y_k=kx+b\) играет роль касательной к функции \(y=f(x)\) , заключается в решении одной из следующих систем:
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции
Составить уравнение, с помощью которого задана касательная к графику функции, несложно. Нужно лишь следовать следующему алгоритму и выполнять действия в таком порядке:
- Рассчитать значение \( f\left( _> \right).\)
- Записать формулу производной функции \(’\left( x \right).\)
- Определить значение \(’\left( _> \right).\)
- Выполнить подстановку \(_>,\text< >f\left( _> \right)\) и \(’\left( _> \right) \) в формулу уравнения касательной \(y=’\left( _> \right)\cdot \left( x-_> \right)+f\left( _> \right).\)
Рассмотрим конкретный пример. Попробуем составить уравнение касательной к функции \(f\left( x \right)=^>-2x+3.\) Выполним действия последовательно, руководствуясь записанным ранее алгоритмом:
Примеры решения задач
Функция \( y=\mathsf\left( x \right)\) изображена графически. На этом же правильном графике построена касательная в точке, абсцисса которой равна \(_.\)
Требуется определить значения производной функции \(\mathsf\left( x \right)\) , которые она принимает в точке \(_>.\)
Согласно определению значения производной в точке касания, запишем:
\(f’\left( x \right)=k=\ \varphi\)
Заметим, что для вычисления значения производной требуется определить тангенс угла наклона касательной. Воспользуемся координатами пары точек, которые принадлежат касательной на графике, чтобы построить прямоугольный треугольник. Угол наклона касательной к оси абсцисс равен \(\angle BAC\) . Определим тангенс рассматриваемого угла:
В результате значение производной функции \(\mathsf\left( x \right)\) в точке \(_>\) соответствует 1,2.
Дана некая функция \(y=\fracx^3-4x+1\) . Требуется записать уравнение касательной к графику этой функции в точке \(x_0=3.\)
Изображено два графика функций:
Нужно вычислить все значения, которые принимает параметр а при пересечении рассматриваемых графиков только в одной точке.
Функция \(f(x)\) на графике будет иметь вид параболы, пересекающей ось абсцисс в следующих точках:
Данная парабола имеет одну точку пересечения с осью ординат:
Если зафиксировать а, то при каждом таком значении \(ay+5x+6a=0\) будет иметь вид прямой:
- если a=0, то прямая x=0 с единственной точкой пересечения с f(x), соответствующей (0;-3);
- если \(a\ne 0,\) то получается пучок прямых \(y=-\dfracx-6\) , пересекающих точку (0;-6).
В результате графики обладают единственной общей точкой при таких значениях a, при которых прямая y будет касаться параболы. Касание в точке \(x_o\) возможно при следующих условиях:
Имеется некое уравнение:
Требуется определить все вероятные значения, которыми обладает параметр а, определяющие для данного уравнения единственное решение.
Проанализируем функцию и пучок, состоящий из прямых:
Точка максимума равна:
Точка минимума равна:
Запишем следующие соотношения:
Каждая из прямых \(y=ax+8a\) пересекает точку (-8;0). Выявим такие случаи, при которых прямая у будет касаться графика функции f(x) в точке касания \(x_o.\) Подберем под заданные условия значения параметра:
\(\begin f'(x_o)=a\\ f(x_o)=y(x_o) \end \Rightarrow \begin x_o^2+4x_o=a\\ 2x_o^3+30x_o^2+96x_o+88=0 \end\Rightarrow \begin x_o^2+4x_o=a\\ (x_o+2)^2(x_o+11)=0 \end \Rightarrow \left[ \begin \begin &\begin x_o=-2\\ a=-4 \end\\ &\begin x_o=-11\\ a=77 \end \end \end \right.\)
В результате уравнение \( f(x)=y\) обладает только одним значением, когда параметр а имеет значения, при которых прямые y проходят в заштрихованных участках. Отметим, что граничный случай a=77 является посторонним.
График в уменьшенном масштабе:
Ответ: \(a\in (-\infty; 77).\)
Нужно найти такие значения параметра а, при которых данная система обладает только одним решением.
С помощью первого из уравнений системы можно построить отрезок BC, где B(a;0), C(0;-a), при условии, что a≠0. Представим, что \(A(x;y)\) . В таком случае:
Запишем первое из уравнений, как:
Заметим, с помощью этого уравнения можно задать множество точек А, принадлежащих отрезку ВС. Если а=0, то рассматриваемое уравнение задает только одну точку O(0;0).
С помощью второго неравенства можно изобразить окружность, центр которой находится в точке O(0;0), а ее радиус равен \(R=3\sqrt2.\)
Система будет иметь лишь одно решение при параметре а≠0 — в том случае, когда отрезок касается окружности:
- если a>0, отрезок BC располагается в 4 четверти;
- если a
Когда a>0, получим:
\(OK=3\sqrt2\) , является радиусом, проведенным в точку касания.
\(\dfrac12\cdot OB\cdot OC=S_=\dfrac12\cdot OK\cdot BC \quad\Rightarrow\quad a\cdot a=3\sqrt2\cdot a\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=6.\)
\(\dfrac12\cdot OB\cdot OC=S_=\dfrac12\cdot OK\cdot BC \quad\Rightarrow\quad -a\cdot (-a)=3\sqrt2\cdot (-a\sqrt2) \quad\Rightarrow\quad a=-6.\)
Касательная — прямая, проходящая через кривую и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис. 1).
Геометрический смысл производной: если к графику функции в точке с абсциссой " width="18" height="11" />
проведена касательная, то угловой коэффициент касательной (равный тангенсу угла между этой касательной и положительным направлением оси абсцисс) равен производной функции в точке " width="18" height="11" />
:
, имеет вид:
Примеры решения задач
Задание | Написать уравнение касательной к графику функции в точке . |
Решение | Найдем значение функции в точке : |
Найдем значение производной в точке в заданной точке:
Итак, искомое уравнение
Задание | Найти абсциссы точек, в которых касательная к графику функции параллельна оси . |
Решение | Поскольку, согласно условию, касательная параллельна оси абсцисс, то угол между этой касательной и осью равен . Следовательно, согласно геометрическому смыслу производной, можем сделать вывод, что |
, в которых производная заданной функции равна нулю.
На этом уроке рассматривается касательная к графику функции в точке. Выводится общий вид уравнения касательной к графику функции в точке.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Уравнение касательной к графику функции"
· рассмотреть касательную к графику функции в точке;
· вывести уравнение касательной к графику функции в общем виде.
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.
Итак, мы с вами научились находить производные различных функций. На предыдущих уроках мы говорили, что умение находить производные – помогает в решении разных задач. На сегодняшнем уроке мы разберём, как с помощью производных можно составить уравнение касательной к графику функции и примеры применения производной к приближенным вычислениям.
Давайте сформулируем задачу.
Напомним, что если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, то функция дифференцируема в этой точке и f'(a) существует.
Касательная – это прямая, значит, общее уравнение касательной можно записать в виде y = kx + m. Наша задача сводится к нахождению коэффициентов k и m.
Рассмотрим несколько примеров.
Рассмотрим ещё один пример.
Решая примеры, мы выполняли практически одни и те же действия. Давайте теперь попробуем сформулировать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x).
Уравнение касательной имеет ещё одно применение: с его помощью можно выполнять приближенные вычисления.
Рассмотрим общий приём.
Рассмотрим это на примере.
Рассмотрим ещё один пример.
Итак, давайте ещё раз выделим суть теории приближенных вычислений. Сложная кривая в окрестности точки x0 заменяется прямой (касательной к графику функции) и если приращения аргумента не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.
Читайте также: