Как сделать умножение одночленов
Загрузить презентацию (465 кБ)
Класс: 7.
Формы работы: фронтальная, групповая и индивидуальная.
Тип урока: урок открытия нового знания.
Учебник: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Цель урока: создание условий для освоения обучающимися материала по теме "Умножение одночленов".
Задачи урока:
- обеспечить знание учащимися понятий : одночлен, коэффициент и степень одночлена;
- отработать умения систематизировать, обобщать знания о степени с натуральным показателем; Закрепить и усовершенствовать навыки простейших преобразований выражений, содержащих степени с натуральным показателем;
- повторить правила, вытекающие из основных свойств степеней;
- формировать умение умножать одночлен на одночлен, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями; систематизация знаний и умений учащихся по данной теме.
- закрепить навык применения данных правил при решении конкретных задач;
- обеспечить достижение указанной цели урока и создать на уроке условия для развития мыслительных способностей;
- способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, выделения главного;
- Способствовать развитию умения применять свойства степени к умножению одночленов;
- развивать интерес к предмету, развития математического кругозора;
- развивать слуховую память, сообразительность, внимание;
- развивать умение самостоятельно выбирать способ решения.
- воспитывать критическое отношение к своим знаниям, учить сравнивать, делать выводы;
- приучать учащихся пояснять свои решения, культуре записи;
- воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы.
Оборудование и средства обучения: мультимедийная доска, презентация Power Point, раздаточный материал: карточки для самостоятельной работы, карточки для самопроверки, жетоны.
Пояснительная записка:
Данный урок проводится в общеобразовательном классе со средним уровнем математической подготовки. Основная задача урока - отработка умений систематизировать, обобщать знания о степени с натуральным показателем реализуется в процессе выполнения различных упражнений; отработать алгоритм умножения одночленов.
Развивающий характер проявляется в подборе упражнений. Использование мультимедийного продукта позволяет сэкономить время, сделать материал наиболее наглядным, показать образцы оформления решений. На уроке используются различные виды работ, что снимает усталость детей.
Структура урока:
Технологическая карта урока – Приложение.
Ход урока
I. Организационный момент
Учитель: Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать Вас сегодня на нашем уроке. Садитесь. Будьте внимательны в течение урока.
Откройте тетради и запишите число, классная работа
Эпиграф урока: Один великий человек сказал:
II. Повторение основных понятий темы (свойства степени с натуральным показателем)
А) Расшифруйте имя человека, который сказал эту фразу. Для этого поставьте результаты вычислений в порядке возрастания:
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ЛОМОНОСОВ (1711–1765)
Историк, механик, минеролог, художник и cтихотворец, он всё испытал и всё прошёл.
А.С. Пушкин
б) Найди ошибку, которую допустил ученик при выполнении заданий:
- 5∙5∙5∙5= 4 5
- (-3) 2 =-3∙ 3= -9
- 7 1 = 1
- 2 3 2 7 = 2 21
- 5 3 5 7 =25 10
- (х 3 ) 2 =х 9
- 2 30 : 2 10 = 2 3
- (-х) 3 = х 3
в) Соедините линиями выражения, соответствующие друг другу:
1 вариант
г) Давайте повторим некоторые определения. Вам необходимо закончить предложение:
- Выражения, содержащие произведение чисел, переменных и их степеней называют… (одночленами);
- Произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных называют … (одночленом стандартного вида);
- Числовой множитель в одночлене стандартного вида называется … (коэффициентом);
- Сумму показателей степеней всех входящих в одночлен переменных называют … (степенью одночлена).
д) Назовите коэффициент одночлена и определите его степень:
Задание индивидуально с последующей взаимопроверкой
Одночлен | Стандартный вид | Коэффициент | Степень |
3х² | + | 3 | 2 |
- 0,7 х у² | + | -0,7 | 3 |
2а b² | + | 2 | 3 |
-0,5 m² n³k | + | -0,5 | 6 |
-3 m³n · 4m² | - |
Вопрос: Все ли выражения были приведены к стандартному виду? нет
Вопрос: Как называются выражения входящие в состав не приведенного выражения – одночлены
Вопрос: Что надо сделать, чтобы привести это выражение состоящее из двух одночленов к стандартному виду? Перемножить их
Вопрос: Что мы будем делать сегодня на уроке? Умножать одночлены
III. Введение новой темы
Сегодня нам предстоит познакомиться с правилом умножения одночленов.
- Мы с вами выведем алгоритм умножения одночленов ( ребята а что обозначает алгоритм в информатике …)
- закрепим полученные нами знания.
IV. Объяснение нового материала
При умножении одночленов получают одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.
Вопросы к классу:
Вопрос. Как можно решить этот пример? Какие правила вы при этом использовали?;
Ответ. Сначала мы умножили числовые множители, а затем степени с одинаковыми основаниями;
Вопрос. Как, по-вашему, что при этом получается?;
Ответ: При этом получается одночлен; получили стандартный вид одночлена;
Ответ. Переместительный закон умножения: ab = ba; сочетательный закон умножения: (ab)∙c=a∙(bc).
Давайте теперь вместе сформулируем правило умножения одночленов : Чтобы найти произведение двух одночленов и более нужно:
- Найти произведение числовых множителей;
- Определить, какие переменные входят в одночлен, и записать их в алфавитном порядке.
- Найти и записать степени переменных.
Правило выдается каждому ребенку
Первичное закрепление материала:
V. Физкультминутка (2-3 мин.)
VI. Закрепление пройденного материала
Предлагает выполнить упр №467 (а, б, в, д)
VII. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин.)
(работа индивидуальная, дифференцированная с последующей проверкой)
Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | ||
-5yy 3 · 2y | -10y 5 | 0,5 x 2 y·(xy) | 0,5x 3 y 2 | -1,4x 9 y 9 |
2x y · 4xy 2 ; | 8x 2 y 3 | -7 a 2 b 3 | -4x 3 y 5 | |
10a 2 b 2 ·(-1,2a 3 b 3 ) | -12a 5 b 5 | 1000 x 8 y 2 | 72a 5 b 5 | |
-6х 3 у 2 | -2,5x 3 y 5 | (2x) 2 · (-7x 7 y 3 ) | -28x 9 y 3 |
VIII. Включение в систему знаний и повторение (3 мин.)
Впишите пропущенный множитель:
а) 1,2 а 3 b 2 · ( )= 9,6 a 4 b 9
б) ( ) · ( -3 х 9 у 7 ) = -1,5 х 10 у 9
IX . Домашнее задание
повторить правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень;
X. Итоги урока
Учитель: А теперь ребята продолжите предложение:
- Сегодня на уроке я научился…
- Сегодня на уроке мне понравилось…
- Сегодня на уроке я повторил…
- Сегодня на уроке я закрепил…
- Какие затруднения испытывали…
- Сегодня на уроке я поставил себе оценку …
XI. Рефлексия
Одночлен – это одна из базовых математических конструкций линейной алгебры. В прошлых видеоуроках мы уже сталкивались с такими выражениями, как -7, ах, (3ас) 2 – они все являются одночленами, или же, мономами. Одночлен – это достаточно универсальное выражение, имеющее некоторое значение, и представленное тремя основными показателями: числовым коэффициентом, буквенной переменной, значением степени выражения. Наиболее базовым является числовой показатель – он есть всегда, в любом мономе. Без числа весь смысл одночлена теряется, и его значение перестает быть действительным. Если же в примерах встречается выражения типа х, -(у)2, то следует понимать, что в данном случае мы имеем дело с невидимым числовым коэффициентом, равным единице. Любое свободное число, например 5, 13, так же являются одночленами.
Переменная является непостоянным элементом. Иногда она задается одной либо же несколькими перемноженными неизвестными (причем в одночлене знак умножения опускается), но может также вовсе отсутствовать.
Важным показателем любого одночлена является степень. Стоит отличать степень одночлена от степени элементов, которые входят в него! Степень одночлена, в общем смысле, представляет собой сумму степеней переменных, например, степень одночлена 7а 3 х 5 равна 3+5 = 8.
Одночлен, как и свободное значение, имеет такую характеристику, как положительность/отрицательность. Знак этого параметра, как правило, задается перед всем выражением и относится сугубо к числовому коэффициенту (множителю). В противном случае, если какая-либо переменная задана отрицательной, то её помещают вместе с минусом в отдельное скобки, например:
Отрицательный одночлен с числовым коэффициентом, равным -1: -а 2 ху
Положительный одночлен с отрицательной переменной х: а 2 (-х)у
Как правило, одночлены принято сокращать и записывать в удобном, стандартизированном виде. Часто такая процедура и представляет собой задания в этой теме. Например, упростим выражение вида:
Воспользуемся свойствами степеней, рассмотренными в предыдущем видеоуроке, и общими правилами умножения:
5(а) 2 х 2 а(х) 3 = 5*2*(а) 2 а*(х) 3 х = 10(а) 3 (х) 4
Перегруппировав множители для удобства и совершив произведения подобных выражений, мы получили итоговый одночлен. Подобную форму выражения принято называть стандартной. В этом случае числовой коэффициент, образованный перемножением всех свободных чисел в одночлене, выносится наперед. Далее идут переменные, предварительно сгруппированные по основанию и перемноженные для сокращения. Степени записываются в обычном порядке, в верхнем правом индексе.
Решим упражнение. Найдем произведение одночленов:
12а 6 х 4 * -2а 3 х
Воспользуемся правилами перегруппировки, рассчитаем:
12а 6 х 4 * -2а 3 х = 12*(-2)*а (6+3) *х (4 + 1) = -24а 9 х 5
В результате умножения одночленов получается одночлен.
Например: $ (\frac a^2 b) \cdot (3ab^5 )$
Шаг 1. Коэффициент многочлена $ \frac \cdot 3 = 2 $
Шаг 2. Степени переменных: $ a^ = a^3, b^ = b^6 $
Получаем: $(\frac a^2 b) \cdot (3ab^5 ) = \frac \cdot 3\cdot a^ \cdot b^ = 2a^3 b^6$
Алгоритм возведения одночлена в степень
Возвести в степень каждый множитель одночлена и перемножить полученные результаты.
В результате возведения одночлена в степень получается одночлен.
Например: $ (\frac a^2 b^5)^3 $
Степень каждого сомножителя: $ \left(-\frac\right)^3 = \frac = \frac, (a^2 )^3 = a^6,(b^5 )^3 = b^15 $
Получаем: $ (\frac a^2 b^5)^3 = \left(-\frac\right)^3 \cdot (a^2 )^3 \cdot (b^5 )^3 = \frac a^6 b^ $
Примеры
Пример 1. Выполните умножение одночленов:
а) $ (-3a^2 xy^5 )\cdot( \frac ax^4 y^2 ) = -3 \cdot \frac \cdot a^ \cdot x^ \cdot y^ = -\frac a^3 x^5 y^7 $
б) $ (7az)\cdot(- \frac a^2 xy) \cdot (16xz^4 ) = -7\cdot \frac \cdot 16 \cdot a^\cdot x^\cdot z^ = -28a^3 x^2 z^5 $
Пример 2. Найдите куб одночленов:
а) $ (3a^5 by^2 )^3 = 3^3\cdot(a^5 )^3\cdot b^3\cdot(y^2 )^3 = 27a^ b^3 y^6 $
б) $ \left(-\fracxy^2 z^7\right)^3 = \left(-\frac\right)^3\cdot x^3\cdot(y^2 )^3\cdot(z^7 )^3 = -\frac x^3 y^6 z^ $
Пример 3. Упростите выражение:
а) $ 3x^5 \cdot \left(\fracx^2 y^3\right)^2 \cdot (-64y)=- \frac \cdot x^ \cdot y^ = -\frac x^9 y^7 = -8x^9 y^7 $
б) $ (-2ab)^3\cdot \underbrace_> a^2 c = -2^3\cdot \frac \cdot a^ b^3 c = -a^5 b^3 c $
в) $ \left(1\fracbz^7\right)^5 \cdot \left(-\fracaz\right)^4 = \left(\frac\right)^5 \cdot \left(-\frac\right)^4 \cdot a^4 b^5 z^ = \frac a^4 b^5 z^ $
г) $ (-0,5m^2 n^5 )^2 \cdot 12mn^3 = \left(-\frac\right)^2 \cdot 12 \cdot m^ \cdot n^ = 3m^5 n^ $
Пример 4*. При каком значении n верно равенство:
а) $ \left(\fracxy\right)^n \cdot 72x = 2x^3 y^2 $
Запишем уравнения для коэффициентов и степеней переменных слева и справа:
Получаем n = 2. Проверяем:
$$ \left(\fracxy\right)^2 \cdot 72x = \left(\frac\right)^2 \cdot 72 \cdot x^ \cdot y^2 = 2x^3 y^2 $$
б) $ (-1 \frac a^2 b)^n \cdot 0,75b^3 = 1 \frac a^4 b^5 $
Запишем уравнения для коэффициентов и степеней переменных слева и справа:
Получаем n = 2. Проверяем:
$$ \left(-1\fraca^2b\right)^2 \cdot 0,75b^3 = \left(-\frac\right)^2 \cdot \left(\frac\right) \cdot a^4 \cdot b^ = \fraca^4b^5 = 1\fraca^4b^5 $$
Два подобных одночлена можно сложить, и их сумма — это одночлен подобный слагаемым, с числовым коэффициент равным сумме числовых коэффициентов слагаемых. Так сложить можно только подобные одночлены. Сумма неподобных одночленов — это не одночлен, а многочлен.
3 × a 5 × b 4 + 7,3 × a 5 × b 4 =
= 10,3 × a 5 × b 4
Как умножить одночлен на одночлен
Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить коэффициенты, показатели степеней одинаковых переменных сложить. Перемножить можно любые два одночлена — и подобные и неподобные.
7 × a 3 × b 4 × 2 × a × b 5 =
14 × a 4 × b 9
Как разделить одночлен на одночлен
Чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициенты, показатели степеней одинаковых переменных вычесть.
(21 × a 4 × b 5 ) : (3 × a 2 ) =
7 × a 2 × b 5
Как умножить одночлен на многочлен
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо одночлен умножить на каждый член многочлена.
3 × a × b × [ 7 × a 3 × b 4 + 2 × a × b 5 × y ] =
21 × a 4 × b 5 + 6 × a 2 × b 6 × y
Как разделить многочлен на одночлен
Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена разделить на этот одночлен.
[ 12 × a 3 × b 5 × x - 33 × a × b 3 × y ] : (3 × a × b) =
[ 4 × a 2 × b 4 × x - 11 × b 2 × y
Как умножить многочлен на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен надо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.
[ 2 × a 3 × x + 5 × b 2 × x 3 ] × [ 3 × a × b 2 - 7 × x 5 ] =
=[ 2 × a 3 × x + 5 × b 2 × x 3 ] × [ 3 × a × b 2 ] - [ 2 × a 3 × x + 5 × b 2 × x 3 ] × [ 7 × x 5 ] =
= 6 × a 4 × b 2 × x + 15 × a × b 4 × x 3 - 14 × a 3 × x 6 - 35 × b 2 × x 8
Деление многочлена на многочлен Пример 1
Сейчас я покажу, как делить многочлен на многочлен в столбик. Обращаю ваше внимание на то, что не всякие два многочлена делятся один на другой. В этом видео специально подобраны пары многочленов, которые делятся один на другой. Также обращаю внимание на то, что для удобства деления слагаемые в многочленах нужно располагать в порядке убывания степеней — здесь в примерах слагаемые будут уже расставлены в нужном порядке. Чтобы поделить многочлены, нужно циклично повторять четыре действия: подели, занеси, умножь, вычти.
Пример 1: (12 × a 5 + 13 × a 4 + 3 × a 3 + 12 × a 2 + 9 × a) : (4 × a 2 + 3 × a)
Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.
Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (12 × a 5 ) : (4 × a 2 ) — получается 3 × a 3 . Заносим 3 × a 3 в ответ. Умножим весь делитель на 3 × a 3 — получается 12 × a 5 + 9 × a 4 . Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью делимого. Вычтем произведение из делимого — остаётся 4 × a 4 + 3 × a 3 + 12 × a 2 + 9 × a.
Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (4 × a 4 ) : (4 × a 2 )— получается a 2 . Заносим a 2 в ответ ( + a 2 ). Умножим весь делитель на a 2 — получается 4 × a 4 + 3 × a 3 . Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 12 × a 2 + 9 × a.
Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (12 × a 2 ) : (4 × a 2 ) — получается 3. Заносим 3 в ответ ( + 3). Умножим весь делитель на 3 — получается 12 × a 2 + 9 × a. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.
Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно 3 × a 3 + a 2 + 3.
Деление многочлена на многочлен Пример 2
(-28 × a 5 + 24 × a 4 — 35 × a 3 — 6 × a 2 — 45) : (4 × a 2 + 5)
Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.
Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (-28 × a 5 ) : (4 × a 2 ) — получается -7 × a 3 . Заносим -7 × a 3 в ответ. Умножим весь делитель на -7 × a 3 — получается -28 × a 5 — 35 × a 3 . Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое под соответствующей степенью делимого.Вычтем произведение из делимого — остаётся 24 × a 4 — 6 × a 2 — 45.
Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (24 × a 4 ) : (4 × a 2 ) — получается 6 × a 2 . Заносим 6 × a 2 в ответ ( + 6 × a 2 ). Умножим весь делитель на 6 × a 2 — получается 24 × a 2 + 30 × a 2 . Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся -36 × a 2 — 45.
Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (-36 × a 2 ) : (4 × a 2 ) — получается -9. Умножим весь делитель на -9 — получается -36 × a 2 — 45. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.
Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно -7 × a 3 + 6 × a 2 — 9.
Деление многочлена на многочлен Пример 3
Пример 3: (54 × a 6 — 63 × a 5 + 42 × a 4 + 185 × a 3 — 136 × a 2 + 8 × a + 72) : (-9 × a 3 + 8 × a — 8)
Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.
Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (54 × a 6 ) : (-9 × a 3 ) — получается -6 × a 3 . Заносим -6 × a 3 в ответ. Умножим весь делитель на -6 × a 3 — получается 54 × a 6 — 48 × a 4 + 48 × a 3 . Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью делимого. Вычтем произведение из делимого — остаётся -63 × a 5 + 90 × a 4 + 137 × a 3 — 136 × a 2 + 8 × a + 72.
Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (-63 × a 5 ) : (-9 × a 3 ) — получается 7 × a 2 . Заносим 7 × a 2 в ответ ( + 7 × a 2 ). Умножим весь делитель на 7 × a 2 — получается -63 × a 5 + 56 × a 3 — 56 × a 2 . Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 90 × a 4 + 81 × a 3 — 80 × a 2 + 8 × a + 72.
Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (90 × a 4 ) : (-9 × a 3 ) — получается (-10 × a). Заносим (-10 × a) в ответ ( — 10 × a). Умножим весь делитель на ( — 10 × a) — получается 90 × a 4 — 80 × a 2 + 80a. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 81 × a 3 — 72 × a + 72.
Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (81 × a 3 ) : (-9 × a 3 ) — получается -9. Заносим -9 в ответ ( -9). Умножим весь делитель на (-9) — получается 81 × a 3 - 72 × a + 72. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.
Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно -6 × a 3 + 7 × a 2 - 10 × a - 9.
Читайте также: