Как сделать тригонометрическую форму комплексного числа

Обновлено: 07.01.2025

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

По этой причине

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание . Если z - вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

В данной публикации рассмотрена тригонометрическая форма комплексного числа с интерпретацией на коордлинатной плоскости, формулами расчета аргумента и примером для лучшего понимания изложенного материала. Также представлена базовая информация по показательной форме данного типа числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Любое комплексное число (за искл. нуля) вида можно записать в тригонометрической форме следующим образом:

z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ)

Чтобы было понятнее, покажем комплексное число на координатной плоскости. При этом, в качестве примера будем исходить из того, что a и b больше нуля.

Модуль комплексного числа |z| – это расстояние от начала координат до соответствующей точки на комплексной плоскости, другими словами, это длина зеленого вектора на чертеже выше.

Исходя из теоремы Пифагора модуль вычисляется так:

Аргумент комплексного числа ( φ ) – угол между положительной полуосью действительной оси (RE) и вектором, который проведен из начала координат. Аргумент не существует для , может обозначаться как .

Формула для расчета аргумента зависит от того, какие значения принимают a и b .

Тригонометрическая форма комплексного числа находится очень легко. Достаточно вычислить модуль и аргумент комплексного числа. Рассмотрим, что же такое аргумент комплексного числа, как его вычислить, а также тригонометрическую и показательную форму комплексного числа.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим аргумент комплексного числа на примере. Пусть вектор изображает комплексное число (рис. 1). Аргументом числа называется любое из значений угла наклона вектора к оси :

Таким образом, у аргумента комплексного числа появляется бесконечное множество значений. Аргумент не определяется.

Наименьшее за абсолютной величиной значение (то есть значение с интервалом ) называется главным значением аргумента комплексного числа и обозначается , поэтому .

Вычисление аргумента

Вычисление аргумента знать необходимо, но сначала нужно отметить свойство: .

1) Аргумент действительного и чисто мнимого числа: если , тогда .

2) Аргумент любого числа можно находить по формуле:

В первой формуле, если четверти, во второй формуле, если четверти, а в третьей, если четверти.

Доведём последнюю формулу в случае, если изображается точкой во второй четверти (рис. 2). С . Так как тогда

Другие случаи расположения числа на плоскости рассматриваются аналогично.

Если не требуется высокой точности, тогда аргумент комплексных чисел можно находить графическим способом. С этой целью стоит построить комплексные числа на миллиметровом листе и измерять соответствующий угол при помощи транспортира. Этот способ иногда используют для грубой проверки вычислений.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть известны модуль и аргумент комплексного числа (см. рис. 1).

– полярные координаты точки , которая изображает число ( если – полярная ось).

В случае размещения осей и , показанному на рисунке 1 известны формулы перехода от полярных к прямоугольным координатам точки , . Добавим эти равенства, умножив вторую часть на :

Последняя форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Как видим, чтобы найти тригонометрическую форму, достаточно вычислить модуль и аргумент комплексных чисел.

Показательная форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа в практике встречается реже, чем в тригонометрической форме, но всё же иногда встречается и поэтому, о ней необходимо знать хотя бы самое основное.

Пусть . Если число записать в тригонометрической форме , а потом применить формулу Эйлера , где – любое действительное число, получим так званую показательную форму комплексного числа:

Такая форма записи чисел позволяет использовать свойства экспоненты и поэтому удобна для разных преобразований.

Попытаемся в записи комплексного числа перейти от параметров и к параметрам и . Для этого в прямоугольном треугольнике (рис. 43.1) найдем и :

Выразим из этих формул и : . Подставим полученные значения и в алгебраическую форму комплексного числа : .

Таким образом, мы получили новую форму записи комплексного числа , которая называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример №43.1.

Изобразите на комплексной плоскости числа:

Решение:

Все числа заданы в тригонометрической форме. Выделим в записи каждого числа модуль и аргумент:

. Отложим от положительного направления оси угол и на полученном луче отметим вектор длиной 2 ед. с центром в начале координат (рис. 43.2).

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: