Как сделать треугольник с заданными углами в геогебре
Программа динамической геометрии GeoGebra позволяет готовить стереометрические чертежи на полотне 2D, т.е. на плоскости обычным способом, которым пользуются при построении таких чертежей в тетради (на бумаге), на школьной доске и т.п. В этом случае чертежи выполняются по тем же правилам.
Рассмотрим пример построения правильной треугольной пирамиды на 2D полотне. Как известно, изображением правильного треугольника является произвольный треугольник. Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания, центром основания треугольника является точка пересечения медиан, поэтому вершину построим на перпендикуляре, восстановленном из центра треугольника. Перпендикуляр в пространстве строим как прямую, параллельную краю листа, т.е. вертикальную прямую – прямую, параллельную вертикальной оси координат во встроенной в программе системе координат.
Алгоритм построения некоторой правильной треугольной пирамиды на 2D полотне в программе (в описании алгоритма подразумеваем, что использование интуитивно понятного интерфейса позволяет выполнить простые построения самостоятельно):
- построить основание пирамиды – произвольный треугольник АВС (рис.1); рекомендуется строить именно тупоугольный треугольник, чтобы итоговое изображение было достаточно наглядным и элементы пирамиды не накладывались друг на друга (не перекрывали);
Добавить комментарий [ В избранное Рубрика: математика ]
GeoGebra (Геогебра) — это бесплатная математическая программа, которая объединяет геометрию, алгебру и анализ. Она разработана для изучения математики в школах.
Можно работать с программой прямо в браузере, а можно скачать и установить на свой компьютер или телефон отдельные приложения.
Самая замечательная особенность в GeoGebra — это двойное представление объектов: каждому выражению в алгебраическом окне соответствует объект в геометрическом окне и наоборот.
Команды можно вводить как на английском, так и на русском языках.
Основные возможности
- Построение графиков функций
- Построение кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат
- Построение конических сечений
- Построение геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент Локус).
- Действия с матрицами, вычисление определителя
- Аппроксимация множества точек кривой заданного вида
- Работа с таблицами
- Анимация
Графический калькулятор
Экран разбит на несколько областей, аналогично тому как это сделано в Desmos. Слева расположена панель для ввода уравнений (панель объектов), в центре отображаются графики и объекты (полотно), внизу всплывающая панель виртуальной клавиатуры, вверху — панель инструментов, справа — свойства выбранной фигуры. Есть и другие панели, отображение которых пока не будем включать.
Панель инструментов
Геогебра предоставляет широкий спектр инструментов для графического представления объектов. Перечислим их в том же порядке, в котором расположены иконки.
Перемещение, фигура от руки
Режим перемещения позволяет выбирать и передвигать объекты мышкой и клавишами со стрелками. Клавиша Delete позволяет удалить выделенный объект или группу объектов. Перейти в режим перемещения можно нажатием клавиши Esc. Также в любом режиме можно перетаскивать фигуры правой кнопкой мыши
Точка, пересечение, середина отрезка
Группа инструментов под названием Точка:
Точка на объекте отличается от обычной точки тем, что при перемещении она ограничена контуром объекта-владельца.
Команда: Point
Команда для задания точки зависит от настроек, по умолчанию T = (x,y) .
Здесь вместо координат x, y могут быть числовые константы или другие переменные:
T = (3, f(a)) .
Пересечение — позволяет создать точку пересечения двух выбранных объектов.
Команда: Intersect
Примеры:
Point[] — нарисовать точку с координатами (1,2).
или просто S=(1,2) — нарисовать точку S с координатами (1,2)
Intersect[y = x + 3, y=-2x+5] — построить точку пересечения двух прямых, сами прямые нужно строить отдельными командами.
Более сложный пример. Зададим функцию параметрически, введем выражения
a = Curve[cos(t), sin(t), t, 0, π]
b = Curve[cos(t) + 1, sin(t), t, 0, π]
и попробуем найти точку пересечения этих кривых a и b на отрезке от 0 до 2:
Intersect[a, b, 0, 2] .
Результат:
Символы x, y, z не нужно использовать для именования объектов. Эти имена зарезервированы для получения координат точки. Например:
B = (x(T), s) — построить точку B с абсциссой, совпадающей с абсциссой точки T
С = (5, y(T)) — построить точку С с абсциссой 5 и ординатой, совпадающей с ординатой точки T.
Команда для получения длины отрезка:
Расстояние[M, C]
Команда для нахождения середины отрезка или центра коники:
C=Середина(A,B)
Команды: Midpoint, Length, Distance
Последние два инструмента для нахождения корней и точек экстремума выбранной функции:
Команды: Корень, Экстремум, НулиФункции, Min
Прямая, отрезок, луч, вектор
Набор инструментов для построения прямой, проходящей через две точки, отрезка по двум точкам, отрезка с заданной длиной, луча, вектора, ломаной линии.
Команды: Прямая / Line, Отрезок / Segment, Луч / Ray, Вектор, Ломаная, Перенести
Перпендикулярная прямая, биссектриса, касательная
Набор инструментов позволяет построить:
- перпендикулярную прямую, проходящую через заданную точку, к указанной прямой
- параллельную прямую, проходящую через заданную точку, к указанной прямой
- срединный перпендикуляр по двум точкам или к отрезку
- биссектрису угла по трем точкам или двум прямым
- касательную к окружности, конике или функции через точку
- поляру или диаметр по точке или прямой, и конике.
Инструмент Аппроксимация позволяет построить линейную регрессию по набору точек. Пример:
FitLine[<(-2, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 3), (5, 4)>]
результатом будет прямая y=0.4x+2
Синонимы ЛинейнаяАппроксимацияПоX, ЛинейнаяАппроксимацияПоY
Многоугольник
Набор инструментов позволяет построить:
- многоугольник по заданным вершинам
- правильный многоугольник по вершине, стороне и числу сторон
- жесткий многоугольник — можно указать последовательно вершины, а можно кликнуть по существующему многоугольнику, чтобы сделать с него копию.
- векторный многоугольник.
Команды: Многоугольник
Окружность, сектор, дуга
Набор инструментов для построения окружностей, заданных разными способами, дуг, секторов.
Команды: Окружность, Полуокружность, СекторКруга, ОписаннаяДуга
Эллипс, парабола, коника
Набор инструментов для построения эллипса, гиперболы, параболы, коники по пяти точкам
Команды: Эллипс, Гипербола, Парабола, Коника
Угол, наклон прямой, периметр, площадь
- Построение угла по трем точкам или двум прямым (указывать в порядке против часовой стрелки), угла заданной величины.
- Расстояние между двумя точками, длина отрезка, периметр многоугольника, длина окружности или замкнутой кривой.
- Площадь многоугольника, окружности или коники.
- Наклон прямой (угловой коэффициент)
- Создать список — щелкнуть по элементам, затем снова щелкнуть по иконке инструмента
Исследователь функции
Выбрать функцию, указать интервал, будет сформирована таблица с данными — точки экстремума, интеграл, площадь, корни, длина.
Команды: Угол, Повернуть, Расстояние, Периметр, Периферия, Наклон. Список обозначается фигурными скобками
Отражение, поворот, гомотетия
Отражение относительно прямой: выбрать исходный объект и прямую (отрезок)
Отражение относительно точки: выбрать исходный объект и точку
Отражение относительно окружности:
Поворот вокруг точки: указать объект, центр вращения и угол поворота.
Параллельный перенос по вектору: указать исходный объект и вектор переноса.
Гомотетия относительно точки: указать проектируемый объект, центр и коэффициент гомотетии.
Команды: Отразить, Повернуть, Перенести, Гомотетия
Ползунок, текст и другие элементы
Изображение
Добавить на чертеж картинку из файла. Можно регулировать прозрачность. Можно сделать фоновым — тогда сетка просвечивает через рисунок.
Текст — создание надписи, пояснительного текста. Поддерживается latex. Надпись можно привязать к определенной точке на чертеже или к месту на листе, абсолютно или относительно — см. свойства.
Для создания динамического текста, который будет отображать изменение параметров объекта, выберите объект из списка объектов. Имя объекта в поле ввода заключается в рамку, на чертеже будет показано значение объекта (например, для отрезка будет показана его длина). Правый клик по рамке позволяет переключаться между определением и значением объекта. Если перетащить объект из панели объектов на полотно, надпись будет создана автоматически.
Можно выполнять алгебраические операции или применять команды к объектам, просто вписывая команды в текст. Результат операций будет динамически показан на чертеже.
Пример. Ввести команды:
a=10
b=30
c=a+b
Объекты a и b будут преобразованы в ползунки. Перетащите последний объект на чертеж — будет создана надпись. По мере изменения параметров a и b с помощью ползунков сумма этих объектов будет автоматически отображаться на чертеже.
Команды: LaTeX, двойные кавычки
Доступны также такие элементы, как кнопка, флажок, окно ввода.
Флажок можно использовать, например, для управления видимостью других объектов. С окном ввода связан другой объект, например, отрезок, и поле ввода будет управлять длиной этого отрезка.
Масштаб, перемещение полотна, скрытие объекта
Копировать стиль — выбрать объект-источник стиля и объект, к которому следует применить стиль.
В данной работе рассмотрены примеры построений в GeoGebre и плюсы и минусы программы для работы в школе.
Содержимое разработки
Кафедра информатики и ВТ
Выполнил: студент 5 курса
группы МДИ – 112 : Журавлев Е.
Проверила: Кормилицына Т.В.
но на большинстве операционных систем). Переведена на 39 языков.
Полностью поддерживает русский язык.
Программная среда GeoGebra3D может быть быстро освоена людьми, имеющими элементарные навыки работы на компьютере, что, несомненно, является большим преимуществом данного программного продукта. К еще одному аргументу в пользу GeoGebra3D можно отнести её простую4 интеграцию с офисными приложениями – все чертежи легко могут через буфер обмена быть перенесены для дальнейшего использования как в текстовые редакторы, поддерживающие работу с изображениями, так и в графические редакторы.
Актуальность работы продиктована отсутствием русскоязычного раздела справки; данная квалификационная работа может претендовать на роль справочника по многим функциональным возможностям GeoGebra3D на русском языке.
Интерфейс программы.
При запуске окно программы имеет вид, приведенный на рисунке 1.
Помимо привычной для большинства программ строки меню, в окне программы расположены Панель инструментов (1), Панель объектов (2), Область геометрических построений (3) и Строка ввода (4).Для открытия полотна 3D нужно перейти в строке меню вкладку вид (Рисунок 2).
Положение свободных объектов можно изменять произвольно, тогда, как положение зависимых объектов изменяется только в соответствии с
Строка ввода состоит из двух частей: непосредственно сама Строка
ввода, а также Список команд – выпадающее меню, в котором можно
выбрать команду для ввода из списка. Отображение Списка команд можно
отключить в меню Вид.
Отображение Панели объектов, Строки ввода можно отключить в меню Вид. В этом же меню можно включить отображение другого элемента окна программы – Таблицы. Также в меню Вид можно включить отображение на Панели объектов еще одного типа объектов – вспомогательных.
При запуске GeoGebra в области геометрических построений прорисовываются координатные оси. Также при желании можно при помощи
команды Вид – Сетка задать прорисовывание координатной сетки. Для
более подробной настройки рабочей области можно выполнить команду
Настройки – Полотно.
Здесь на вкладках Оси и Сетка можно задать цвет объектов, способы
начертания. Для осей можно указать их обозначение, указание единиц
На Панели инструментов расположены различные инструменты для
геометрических построений, разбитые на группы, о чем свидетельствует
маленький треугольник в правом нижнем углу каждой кнопки на панели.
При нажатии на него раскрывается выпадающее меню, из которого можно
выбрать нужный инструмент. При построении различных геометрических
объектов информация о них автоматически вносится в список на Панели
объектов, а сами объекты отображаются в Области геометрических построений.
Все объекты разделяются на свободные и зависимые. К свободным относятся все независимые объекты, то есть построенные произвольно в области построений. Зависимые объекты строятся, опираясь на уже имеющиеся свободные или зависимые объекты.
Для построения различных объектов используется Панель
инструментов, инструменты на которой разбиты на группы. Рассмотрим
последовательно имеющиеся в распоряжении пользователя инструменты.
При помощи инструмента Перемещать можно выбирать объекты
(группы объектов) и изменять их положение на координатной плоскости. Для
того чтобы выделить сразу несколько объектов, нужно не отпуская клавиши
Ctrl последовательно указать на них мышью.
Для построения точки нужно выбрать инструмент Точка (рис.6) и указать место на плоскости. Точка по умолчанию обозначается заглавной буквой латинского алфавита и на плоскости задается парой координат. При наведении курсора мыши на область построений он принимает вид крестика, около которого отображаются текущие координаты. Точка по умолчанию имеет синий цвет.
Для построения точки на каком либо объекте используется функция Точка на объекте. Выбирая этот элемент нужно помнить что точку можно поставить только на объекте, она не сможет покинуть границы объекты. Перемещать точку внутри объекта возможно. Такая точка окрашивается в синий цвет. Для построения точек, являющихся пересечением двух объектов, можно использовать инструмент Пересечение двух объектов. Выбрав этот инструмент, нужно указать два объекта, точки пересечения которых нужно построить. Такие точки будут окрашены в серый цвет и будут являться зависимыми объектами. Для построения середины отрезка нужно выбрать инструмент Середина или центр и указать либо две точки – концы отрезка, либо отрезок, середину которого требуется построить. При помощи того же инструмента можно построить центр геометрической фигуры, например эллипса. Для того чтобы прикрепить или снять прикрепленную точку имеется функция Прикрепить / Снять точку. Функция Комплексное число позволяет вставлять точку на выбранную плоскость. Точка окрашивается в синий цвет. Инструменты Прямая по двум точкам, Отрезок по двум точкам, Луч по двум точкам, Вектор по двум точкам строят прямую, отрезок, луч и вектор соответственно по указанию на две точки, через которые проходит нужная линия. Можно выбирать точки, которые уже имеются на чертеже, либо указывать мышью, где будут располагаться эти точки.
Для построения прямой, перпендикулярной данной, нужно выбрать
инструмент Перпендикулярная прямая , указать прямую на плоскости, перпендикулярная к которой будет построена, а также точку, через которую будет проходить новая прямая. Аналогичным образом строится прямая, параллельная данной, при помощи инструмента Параллельная прямая.
Для построения произвольного многоугольника используется инструмент Многоугольник. Для построения фигуры с его помощью необходимо последовательно указать все вершины многоугольника, а затем указать на вершину, с которой начиналось построение.
Построение объемных фигур
Построение призмы.
Задача. Построить призму ABCDEA1B1C1D1E1.
Решение: Выбираем функцию Призма и отмечаем 5 точек на координатной оси
Нажимая по оси z на нужную нам высоту, получим призму ABCDEA1B1C1D1E1.
2. Построение пирамиды
Задача. Построить пирамиду SABCDE.
Выбираем функцию Пирамида и отмечаем 5 точек на координатной оси.
Нажимая по оси z на нужную нам высоту и после переименования точки на
3. Построение прямоугольного параллелепипеда
Задача. Построить прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
При помощи строки ввода ставим 4 точки на плоскость XOY и одну точку на
плоскость XYZ .
После выполнения выше указанных шагом выбираем опцию Призма
соединяем точки A,B,C,D потом нажимаем на точку А и получаем
прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
4. Построение цилиндра
Задача. Построить цилиндр с радиусом 2.
Для построения цилиндра есть опция Цилиндр. Выбираем эту опцию и на
оси z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус.
Вводим значение радиуса и имеем цилиндр с данным радиусом.
5. Построение конуса
Задача. Построить конус с радиусом 3.
Для построения конуса есть опция Cone. Выбираем эту опцию и на оси
Z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус.
Вводим значение радиуса и имеем конус с данным радиусом.
6. Построение шара
Задача. Построить шар с радиусом 3.
Шар можно построить с помощью двух опций. Первая из них называется
Сфера по центру и точке. При этом нужно выбрать точку центра и другую
точка которой будет являться крайней точкой сфера. Вторая функция Сфера
по центру и радиусу. В этом случае нужно выбрать точку центра и
выскакивает окно с запросом ввести радиус.
После ввода значения радиуса строиться сфера.
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
1. Построение сечения пирамиды
На ребрах AB,BC и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке E (рис.2), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырехугольник MN PQ – искомое сечение.
Точка M лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно основанию ABC.
Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC , то она параллельна прямым, AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведём через точку M прямую, параллельную отрезку AB, и обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB Затем через точку P проведем прямую, параллельную отрезку AC , и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR – искомое сечение.
Построение сечения прямоугольного параллелепипеда
На ребрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить
сечение параллелепипеда плоскостью ABC.
Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если точки A,B и C лежат на ребрах, выходящих из одной вершины нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение – треугольник ABC. Если точки A, B и C , то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки E и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение – пятиугольник ABCDE – построено. Более трудный случай, когда данные точки A,B В этом случае можно поступить так, сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую AB и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведем прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведем прямую, параллельную прямой AB.
Список использованных источников
1. Иванчук Н.В., Эйкен О.В., Мартынова Е.В., Самылова Ю.В., Данько О.Е. Использование компьютерной программы GeoGebra на уроках математики в 7-11 классах: Методическое пособие. – Мурманск: МГПУ, 2008. – 36 с.
2. Геометрия 10-11 кл. учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. 19-е издание. Москва "просвещение" 2010. под руководством А Н Тихонова. Авторы - Л С Атанасян, В Ф Бутузов и др.
3. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – 9-е изд. – М.:Просвещение, 1999
Задачи урока: повторить признаки подобия треугольников, рассмотреть их применение к решению задач; развивать умение работать в парах, группах; воспитывать бережное отношение к своему здоровью и здоровью окружающих.
б) Укажи мышкой по очереди три точки на плоскости и вернись на первую, получится треугольник.
- Для построения треугольника, подобного данному треугольнику, достаточно из какой-нибудь точки, взятой на стороне треугольника, провести прямую, параллельную стороне данного треугольника. Для этого:
Читайте также: