Как сделать тессеракт

Обновлено: 23.01.2025

В геометрии гиперкуб - это n-мерная аналогия квадрата (n = 2) и куба (n = 3). Это замкнутая выпуклая фигура, состоящая из групп параллельных линий, расположенных на противоположных краях фигуры, и соединенных друг с другом под прямым углом.

Эта фигура также известная под названием тессеракт (tesseract). Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный политоп (многогранник), чья граница состоит из восьми кубических ячеек.

Согласно Окфордскому словарю английского языка, слово "tesseract" было придумано в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (Charles Howard Hinton) и использовано в его книге "Новая эра мысли" ("A New Era of Thought"). Слово было образовано от греческого "τεσσερες ακτινες" ("четыре луча"), имеется в виде четыре оси координат. Кроме этого, в некоторых источниках, эту же фигуру называли тетракубом (tetracube).

n-мерный гиперкуб также называется n-кубом.

Проекция гиперкуба на плоскость

Точка - это гиперкуб размерности 0. Если сдвинуть точку на единицу длины, получится отрезок единичной длины - гиперкуб размерности 1. Далее, если сдвинуть отрезок на единицу длины в направлении перпендикулярном направлению отрезка получится куб - гиперкуб размерности 2. Сдвигая квадрат на единицу длины в направлении перпендикулярном плоскости квадрата, получается куб - гиперкуб размерности 3. Этот процесс может быть обобщен на любое количество измерений. Например, если сдвинуть куб на единицу длины в четвертом измерении, получится тессеракт.

Семейство гиперкубов является одним из немногих правильных многогранников, которые могут быть представлены в любом измерении.

Элементы гиперкуба

Гиперкуб размерности n имеет 2n "сторон" (одномерная линия имеет 2 точки; двухмерный квадрат - 4 стороны; трехмерный куб - 6 граней; четырехмерный тессеракт - 8 ячеек). Количество вершин (точек) гиперкуба равно 2 n (например, для куба - 2 3 вершин).

Количество m-мерных гиперкубов на границе n-куба равно

Например, на границе гиперкуба находятся 8 кубов, 24 квадрата, 32 ребра и 16 вершин.

Проекция на плоскость

Формирование гиперкуба может быть представлено следующим способом:

Две точки A и B могут быть соединены, образуя отрезок AB.
Два параллельных отрезка AB и CD могут быть соединены, образуя квадрат ABCD.
Два параллельных квадрата ABCD и EFGH могут быть соединены, образуя куб ABCDEFGH.
Два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP могут быть соединены, образуя гиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Последнюю структуру нелегко представить, но возможно изобразить ее проекцию на двухмерное или трехмерное пространство. Более того, проекции на двухмерную плоскость могут быть более полезны возможностью перестановки позиций спроецированных вершин. В этом случае можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения элементов внутри тессеракта, но иллюстрируют структуру соединений вершин, как на примерах ниже.

На первой иллюстрации показано, как в принципе образуется тессеракт путем соединения двух кубов. Эта схема похожа на схему создания куба из двух квадратов. На второй схеме показано, что все ребра тессеракта имеют одинаковую длину. Эта схема также заставляют искать соединенные друг с другом кубы. На третьей схеме вершины тессеракта расположены в соответствии с расстояниями вдоль граней относительно нижней точки. Эта схема интересна тем, что она используется как базовая схема для сетевой топологии соединения процессоров при организации параллельных вычислений: расстояние между любыми двумя узлами не превышает 4 длин ребер, и существует много различных путей для уравновешивания нагрузки.

Развертка тессеракта

Развертка гиперкуба

Тессеракт может быть развернут в восемь кубов, подобно тому как куб может быть развернут в шесть квадратов. Многогранник-равертка гиперкуба называется сетью. Существует 261 различных вариантов сетей. Справа показан один из вариантов

Сальвадор Дали
"Распятие" (1954)

Гиперкуб в искусстве

Гиперкуб появился в научно-фантастической литературе с 1940 года, когда Роберт Хайнлайн в рассказе "Дом, который построил Тил" ("And He Built a Crooked House") описал дом, построенный по форме развертки тессеракта. В рассказе этот Далее этот дом сворачивается, превращаясь в четырехмерный тессеракт. После этого гиперкуб появляется во многих книгах и новеллах.

В фильме "Куб 2: Гиперкуб" рассказывается о восьми людях, запертых в сети гиперкубов.

На картине Сальвадора Дали "Распятие" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) изображен Иисус распятый на развертке тессеракта. Эту картину можно увидеть в Музее Искусств (Metropolitan Museum of Art) в Нью-Йорке.

Заключение

Гиперкуб - одна из простейших четырехмерных объектов, на примере которого можно увидеть всю сложность и необычность четвертого измерения. И то, что выглядит невозможным в трех измерениях, возможно в четырех, например, невозможные фигур. Так, например, бруски невозможного треугольника в четырех измерениях будут соединены под прямыми углами. И эта фигура будет выглядеть так со всех точек обзора, и не будет искажаться в отличие от реализаций невозможного треугольника в трехмерном пространстве (см. "Невозможные фигуры в реальном мире").

Этот проект очень прост в повторении, и может быть изготовлен в домашних условиях.

Инструменты, использованные автором.
— Газовая горелка
— Мерный стакан
— Салфетка из микрофибры.

Процесс изготовления.
Для создания этого проекта понадобятся кубическая силиконовая форма, гирлянда, работающая от батареек типа АА, и литьевая художественная эпоксидная смола. В состав смолы будут добавляться голубые спиртовые чернила и блёстки.

Творческий процесс начинается с размещения гирлянды внутри силиконовой формы. В данном случае, это светодиодный провод.
Такой светодиодный провод продается на Aliexpress, и у него есть два варианта источника питания — от батареек, либо от USB. Кроме того присутствуют различные цветовые решения.

Прежде чем залить проволочную гирлянду смолой, автор устанавливает батарейки в отсек, и проверяет, светится ли она. Поскольку изделие довольно дешёвое, оно может оказаться бракованным. Всё работает нормально.

Порядок, каким огоньки будут размещаться в форме, не имеет никакого значения. В этом смысле, это Ваш полёт фантазии. Мастер же собирает их в подобие светящегося клубка, или шара. При желании можно оставить лампочки включёнными — так будет проще отслеживать равномерность их размещения и общие очертания получающейся трёхмерной фигуры.

В процессе укладки гирлянды следует вывести небольшой участок проволоки наружу и пустить её через угол куба. Важно, чтобы этот участок гирлянды был лишён силиконового покрытия.

Теперь можно приступать к смешиванию компонентов эпоксидной смолы. Сама смола и отвердитель замешиваются в пропорции: три части компонента А (смола) к одной части компонента В (отвердитель). Лучше всего это делать с помощью мерного стакана, на котором, как правило, отмечены готовые пропорции.

Некоторые, начиная работать с эпоксидным составом, ошибочно полагают, что чем больше в пропорции доля отвердителя, тем быстрее застынет раствор и тем крепче он будет. Это в корне не верно, и эффект может получиться прямо противоположный ожидаемому — раствор начнёт застывать неравномерно.

На что в действительности стоит обратить внимание, так это на тщательность размешивания состава. Он должен получиться однородным. Следует с особым вниманием пройтись вдоль стенок ёмкости и по её дну. В этих зонах чаще всего вещества застаиваются. А еще лучше перелить состав в другой стакан, и продолжить перемешивать уже в нем.

Мешать необходимо не менее двух минут. Поначалу жидкость имеет обыкновение немного мутнеть, но уже через несколько секунд она снова становится кристально прозрачной. Это и есть показатель того, что смешивание прошло успешно.

Теперь можно добавить немного синих спиртовых чернил. Это любимый цвет автора. Он напоминает ему океанскую волну. После этого состав снова перемешивается.

Желая придать живости фактуре и вызвать голографический эффект, мастер добавляет в жидкость серебристые блёстки, примерно 3-4 вот таких дозы.

И наконец, долгожданная заливка. Автор не сильно беспокоится по поводу наличия пузырьков воздуха внутри состава. Напротив, в данном проекте пузырьки даже пойдут на пользу — они могут вызвать неожиданные световые эффекты.

Если же Вы хотите избавиться от пузырьков, то заготовку следует поместить в барокамеру, и поднять в ней давление до 2,5-3 Атм. Изделие следует оставить в ней до полной полимеризации.

Мастер заполняет форму до самого верха. В случае, если какие-то участки световой ленты поднялись над поверхностью состава, их следует погрузить обратно в жидкость, используя палочку или пинцет.

Если крупные пузырьки формируются слишком близко к поверхности куба, их следует убрать путём лёгкого прогревания поверхностных слоёв жидкости газовой горелкой.

Если остаётся лишний материал, не спешите избавляться от него.

На этот случай у автора всегда под рукой какие-нибудь силиконовые формочки, как, например, вот эта, с углублениями в форме шаров.

Чтобы наверняка попасть в каждую полость, и не разлить состав, лучше воспользоваться вот таким силиконовым стаканчиком с маленьким носиком, перелив состав в него.

Основную и дополнительную формы мастер оставляет на ночь до полной полимеризации. Конечно, этот процесс можно ускорить, если у Вас есть возможность поддерживать постоянную температуру состава. При температуре 55-60 градусов он полимеризуется за четыре часа.

На следующий день готовое изделие мастер вынимает из формы. Получилось довольно неплохо.

Автор немного отгибает провод, чтобы куб полностью встал на стол.

Теперь стоит пройтись по всем граням куба автомобильной полировкой, сглаживающей все царапинки и изъяны. Лучше всего наносить её салфеткой из микрофибры.

И вот, все поверхности сияют!

Теперь мастер включает светодиодную подсветку.

К сожалению, часть ленты немного сместилась от верхнего края куба, однако это не страшно.

Полученным шарикам автор также найдет свое применение.

Благодарю автора за простую идею ночника, который обязательно понравится детям!

Всем хорошего настроения, удачи, и интересных идей!

Авторское видео можно найти здесь.

Тессеракты (от англ. Tesseracts) — устройства, добавляемые модификацией Thermal Expansion 2, которые позволяют мгновенно перемещать предметы, жидкости и энергию на огромные расстояния и даже между измерениями.

Содержание

Получение [ ]

Тессеракты можно мгновенно демонтировать с помощью серповидного молота. Их также можно добывать с помощью кирки, хотя это гораздо медленнее.

Крафт [ ]

Интерфейс [ ]

Тессеракт может быть настроен на управление по сигналу красного камня. Это может быть один из трех режимов:

Управление сигналом красного камня отключено. Тессеракт работает по возможности.

Слева меняется текущий статус тессеракта (общедоступный или приватный).

Общедоступный означает, что любой может ссылаться на тессеракт.
Приватный означает, что только Вы можете связать другие тессеракты с этим.

Справа меняется режим передачи, который может быть только отправка, только получение или отправка и получение.

Использование [ ]

Тессеракт изначально неактивен. Чтобы он был активным, должна быть указана частота. Когда предметы, жидкости или энергия попадают в активный тессеракт, настроенный на отправку, тессеракт пытается передать их в любой другой тессеракт на той же частоте, настроенный на приём. Предметы, жидкости и энергия равномерно распределяются по всем доступным тессерактам.

Потери [ ]

Энергетические тессеракты теряют 25 % энергии, если через них передается энергия для их балансировки.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC BY-NC-SA 3.0, если не указано иное.

Как только я стала в состоянии после операции читать лекции, первый же вопрос, который задали студенты:

-- Когда вы нам нарисуете 4-мерный куб? Ильяс Абдульхаевич нам обещал!

Я помню, что мои дорогие френды иногда любят минутку математического ликбеза. Поэтому кусочек своей лекции для математиков я напишу и тут. И постараюсь без занудства. Лекцию в каких-то моментах я читаю строже, конечно.

Давайте сначала договоримся. 4-мерное, а тем более 5-6-7- и вообще k-мерное пространство нам в чувственных ощущениях не дано.
"Мы убоги, потому что всего лишь трехмерны," -- как говорил мой преподаватель в воскресной школе, который первым и рассказал мне, что такое 4-мерный куб. Воскресная школа была, естественно, крайне религиозная -- математическая. В тот раз мы вот изучали гипер-кубы. За неделю до этого мат.индукцию, через неделю после этого гамильтоновы циклы в графах -- соответственно, это 7 класс.

Мы не можем 4-мерный куб потрогать, понюхать, услышать или увидеть. Что же мы можем с ним сделать? Мы можем его себе представить! Потому что наш мозг гораздо более сложная штука, чем наши глаза и руки.

Итак, для того, чтобы понять, что такое 4-мерный куб, давайте поймем сначала то, что нам доступно. Что такое 3-мерный куб?

Ладно-ладно! Я не прошу у вас четкого математического определения. Просто представьте себе самый простой и обыкновенный трех-мерный куб. Представили?

Хорошо.
Для того, чтобы понять, как же обобщить 3-мерный куб в 4-мерное пространство, давайте сообразим, что же такое 2-мерный куб. Так это просто -- это же квадрат!

У квадрата 2 координаты. У куба три. Точки квадрата -- точки с двумя координатами. Первая от 0 до 1. И вторая от 0 до 1. У точек куба три координаты. И каждая -- любое число от 0 до 1.

Логично себе представить, что 4-мерный куб -- это такая штука, у которой 4 координаты и все от 0 до 1.

/* Тут же логично представить себе 1-мерный куб, который не что иное как простой отрезок от 0 до 1. */

Так, стоп, а как же рисовать 4-мерный куб? Ведь мы не можем на плоскости нарисовать 4-мерное пространство!
Но ведь 3-мерное пространство мы тоже не рисуем на плоскости, мы рисуем его проекцию на 2-мерную плоскость рисунка. Третью координату (z) мы располагаем под углом, представляя себе, что ось из плоскости рисунка идет "к нам".

Теперь совершенно ясно, как же рисовать 4-мерный куб. Точно так же, как третью ось мы расположили под некоторым углом, возьмем четвертую ось и тоже расположим под некоторым углом.
И -- вуаля! -- проекция 4-мерного куба на плоскость.

Что? Что это вообще? Слышу я всегда шепот с задних парт. Давайте я подробнее объясню, что же это за мешанина линий.
Смотрите сначала на трехмерный куб. Что мы сделали? Мы взяли квадрат и протащили его вдоль третьей оси (z). Это как много-много бумажных квадратов, склеенных в стопку между собой.
С 4-мерным кубом то же самое. Давайте четвертую ось для удобства и для сайнс-фикшн будем называть "ось времени". Нам надо взять обычный трех-мерный куб и протащить его во времени от времени "сейчас" до времени "через час".

У нас есть куб "сейчас". На рисунке он розовый.

А теперь тащим его вдоль четвертой оси -- вдоль оси времени (я ее показала зеленым). И получаем куб будущего -- голубой.

Каждая вершина "куба сейчас" во времени оставляет след -- отрезочек. Соединяющий ее теперешнюю с ней же будущей.

Короче, без лирики: нарисовали два одинаковых 3-мерных куба и соединили соответствующие вершины.
Точно так же, как делали с 3-мерным кубом (нарисовали 2 одинаковых 2-мерных куба и соединили вершины).

Чтобы нарисовать 5-мерный куб, вам придется нарисовать две копии 4-мерного куба (4-мерный куб с пятой координатой 0 и 4-мерный куб с пятой координатой 1) и соединить соответствующие вершины ребрами. Правда, на плоскости выйдет такая мешанина ребер, что понять что-либо будет почти невозможно.

Когда мы представили себе 4-мерный куб и даже смогли его нарисовать, можно его по-всякому исследовать. Не забывая исследовать его и в уме, и по картинке.
Напрмер. 2-мерный куб ограничен с 4 сторон 1-мерными кубами. Это логично: по каждой из 2 координат у него есть и начало, и конец.
3-мерный куб ограничен с 6 сторон 2-мерными кубами. По каждой из трех координат у него есть начало и конец.
Значит, 4-мерный куб должен быть ограничен восемью 3-мерными кубами. По каждой из 4 координат -- с двух сторон. На рисунке выше мы явно видим 2 грани, ограничивающие его по координате "время".

Вот тут -- два кубика (они чуть-чуть косые потому, что у них 2 размерности спроецированы на плоскость под углом), ограничивающие наш гипер-куб слева и справа.

Нетрудно так же заметить "верхний" и "нижний".

Самое сложное -- понять визуально, где "передний" и "задний". Передний начинается от передней грани "куба сейчас" и до передней грани "куба будущего" -- он рыжий. Задний соответственно, фиолетовый.

Их труднее всего заметить, потому что под ногами путаются другие кубы, которые ограничивают гипер-куб по другой спроецированной координате. Но заметьте, что кубы все-таки разные! Вот еще раз картинка, где выделен "куб сейчас" и "куб будущего".

Конечно, можно спроецировать 4-мерный куб в 3-мерное пространство.
Первая возможная пространственная модель понятно как выглядит: надо взять 2 каркаса куба и соединить их соответствующие вершины новым ребром.
У меня такой модели сейчас в наличии нет. На лекции я студентам показываю немного другую 3-мерную модель 4-мерного куба.

Знаете, как куб проецируют на плоскость вот так.
Как будто мы смотрим на куб сверху.

Ближняя грань, понятно, большая. А дальняя грань выглядит поменьше, мы ее видим сквозь ближнюю.

Вот так же можно проецировать 4-мерный куб. Куб сейчас побольше, куб будущего мы видим в отдалении, поэтому он выглядит меньше.

С другой стороны. Со стороны вершины.

Прямо ровно со стороны грани:

Со стороны ребра:

И последний ракурс, несимметричный. Из раздела "ты еще скажи, что я ему между ребер заглядывал".

Ну, а дальше можно придумывать всякое. Например, как бывает развертка 3-мерного куба на плоскость (это как надо вырезать лист бумаги, чтобы при сворачивании получить куб), так же бывает развертка 4-мерного куба в пространство. Это как надо вырезать кусок дерева, чтобы сворачивая его в 4-мерном пространстве мы получили тессеракт.

Можно изучать не просто 4-мерный куб, а вообще n-мерные кубы. Например, правда ли, что радиус сферы, описанной вокруг n-мерного куба меньше, чем длина ребра этого куба? Или вот вопрос попроще: а сколько вершин у n-мерного куба? А сколько ребер (1-мерных граней)?

Для 4-мерного куба все это можно посчитать на трехмерной модели или на рисунке. Но 5-мерный куб мы что-то рисовать не отважились. Так что придется просто представлять все в уме!

Читайте также: