Как сделать сравнение вероятностей

Обновлено: 08.01.2025

В этой статье мы рассмотрим основы статистики, полезные изучающим машинное обучение, а также желающим освежить свои знания. Понятия, о которых пойдет речь ниже, встречаются в очень разнообразных контекстах, а также лежат в основе всеми любимого data science. Всегда полезно повторить азы теории, так как зачастую это помогает открыть для себя что-то новое, на что раньше не обращали внимание. Поэтому, начнем.

Вероятности

Зачем нам нужны вероятности, когда мы обладаем таким мощным математическим инструментарием? У нас есть матанализ для работы с функциями на бесконечно малых величинах и оценки их динамики. У нас есть алгебра для решения уравнений, а также десятки других областей математики, с помощью которых мы можем решить едва ли не любую задачу.

В наш век именно эти дисциплины лежат в основе искусственного интеллекта, физики элементарных частиц, обществознания, биоинформатики.

Перед тем как говорить о статистике, необходимо определиться с понятием вероятности. Как ни странно, однозначного ответа нет. Рассмотрим несколько теоретических подходов к определению вероятности.

Частотная вероятность

Представим, что нам дали монету, и мы хотим определить является ли она честной. Как это можно сделать? Подбросим ее несколько раз и запишем как 1, если выпадет орёл, 0 – если выпадет решка. Повторим этот эксперимент 1000 раз, и подсчитаем все 0 и 1. Допустим, по результатам этого утомительного процесса мы насчитали 600 орлов (1) и 400 решек (0). Если мы посчитаем частоту, с которой нам выпадал орёл или решка, мы получим 60% и 40%, соответственно. Эти частоты могут интерпретироваться как вероятности того, что, подбросив монету, нам выпадет орёл или решка. Такой подход к вероятностям называется частотным.

Условные вероятности

Зачастую нам нужно узнать вероятность наступления события при условии, что произошло другое событие. В этом случае, мы указываем условную вероятность события A при условии, что произошло событие B как P (A | B). Рассмотрим это на примере дождя:

Какова вероятность дождя, если мы слышим раскаты грома?
Какова вероятность дождя, если на улице солнце?

Из этой диаграммы Эйлера мы видим, что P (Дождь | Гром) = 1: дождь идет всегда, когда мы слышим раскаты грома и видим молнии (в реальности это не всегда так, но примем условности для целей нашего примера).

А что насчет P (Дождь | Солнце)? На глаз, эта вероятность достаточно мала, но есть ли способ рассчитать ее точно? Условная вероятность определяется как:

Иными словами, мы должны поделить вероятность наступления обоих событий – Дождя и Солнечной погоды на вероятность события Солнечная погода.

Зависимые и независимые события

События называются независимыми, если вероятность наступления любого из них никак не зависит от наступления других событий. Например, рассмотрим вероятность того, чтобы бросить игральные кости и выкинуть две двойки подряд. Это независимые события. Иными словами,

Но почему эта формула работает? Для начала обозначим броски №1 и №2 как A и B, чтобы упростить формулу, а далее перепишем вероятность бросания костей как вероятность появления двух независимых событий:

Если формулу выше прочитать справа налево, мы увидим, что P (A | B) = P(A). По сути, это означает, что событие A не зависит от события B. Такая же логика справедлива и в отношении P(B).

Байесовский подход к вероятности

Существует еще один подход к определению вероятностей, который называется Байесовским. Частотный подход к статистике предполагает существование одной оптимальной и конкретной комбинации параметров для модели. Частотная статистика работает с неопределенностью через достаточно сложные для понимания доверительные интервалы (confidence interval). К примеру, 95% доверительный интервал в частотной статистике означает, что если бы мы проводили измерение бесконечное количество раз, то истинное значение параметра попадало бы в этот интервал в 95% случаев. Сбивает с толку, да?

С другой стороны, Байесовская теорема подходит к параметрам с вероятностных позиций и рассматривает их как случайные величины. В Байесовской статистике каждый параметр обладает собственным распределением вероятности, которое отражает, насколько вероятны данные параметры, учитывая имеющиеся в наличии данные. Математически это можно представить как:

В отличие от частотного подхода, Байесовская статистика работает с неопределенностью через достоверные интервалы (credible interval), которые интуитивно понятны. 95% достоверный интервал означает, что значение измеряемого параметра попадает в него с 95% вероятностью.

В этой ветке статистики все крутится вокруг теоремы, позволяющей рассчитать условные вероятности исходя из накопленных знаний:

Несмотря на кажущуюся простоту, Теорема Байеса имеет огромную ценность, она применяется в различных областях, и даже существует отдельная ветвь статистики, которая называется Байесовская статистика. Если интересно понять, как выводится эта формула, то вот ссылка на отличный пост, посвященный Теореме Байеса.

Распределения

Распределение вероятностей – это закон, описывающий вероятности наступления всех возможных исходов какой-либо случайной величины, выраженных в виде математической функции. Как и любая функция, распределение может обладать параметрами, позволяющими скорректировать его характеристики.

Когда мы измеряли относительную частоту исходов такого события как подбрасывание монеты, мы на самом деле рассчитали так называемое эмпирическое распределение вероятностей. Многие процессы, отличающиеся неопределенностью, могут быть описаны в терминах распределения вероятностей. Так, например, подбрасывание монеты описывается распределением Бернулли, а если бы мы захотели рассчитать вероятность, что после n попыток выпадет орел, мы можем прибегнуть к Биномиальному распределению.

Для удобства работы с вероятностями введем новое понятие, аналогичное переменной, — случайная переменная. Каждая случайная переменная соответствует определенному распределению. Случайные величины принято обозначать заглавной буквой, а также мы можем использовать символ ~, чтобы обозначить, какому распределению соответствует переменная.

Это означает, что случайная переменная X описывается распределением Бернулли, при этом вероятность успеха (выпадение орла) равна 0,6.

Непрерывное и дискретное распределение вероятностей

Распределения вероятностей бывают двух типов. Дискретное распределение описывает случайные величины, которые принимают конечное число значений, как это было в примере с монетой и распределением Бернулли. Дискретные распределения определяются Функцией распределения масс (Probability Mass Function). Непрерывное распределение описывает непрерывные случайные величины, которые (в теории) могут принимать бесчисленное число значений. Например, когда мы измеряем скорость и ускорение датчиками с высокими шумами. Непрерывные распределения определяются Функцией плотности распределения вероятности (Probability Density Function).

При расчете статистик для дискретного распределения вероятностей применяется суммирование ∑, а для непрерывного – интегралы ∫. Например, математическое ожидание будет иметь следующий вид:

Выборки и статистики

Представим, что мы хотим измерить рост людей в своем городе. Чтобы измерения были независимыми, мы оценивали рост случайных прохожих на улице. Процесс случайного отбора подмножества данных из общей (генеральной) совокупности называется выборкой.

Выборка сама по себе достаточно сложна для понимания. Для того, чтобы описать ее более понятным для человека способом используются статистические показатели – обобщающие математические функции.

С одним таким показателем вы скорее всего уже сталкивались – это арифметическое среднее.

Другой пример – это дисперсия выборки:

Данная формула характеризует разброс значений в массиве данных относительно среднего.

А если я хочу узнать больше?

Вот небольшая подборка ресурсов для продолжения изучения математической статистики:

Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей - от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?

Вероятность. Что это?

Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.

Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события - явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах.

Вероятность - это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 - событие практически невозможно, 1 - событие практически достоверно, 0,5 (или "50 на 50") - с равной вероятностью событие произойдет или нет.

Алгоритм решения задач на вероятность

Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике.

А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем схему, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.

Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
Найти основной вопрос задачи вроде "вычислить вероятность того, что . " и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
Событие записано. Теперь надо понять, к какой "схеме" теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:
- происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
- если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
- событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).
Как решать задачи: классическая вероятность

Начинаем решение по пунктам, описанным выше.

Некогда решать? Найди решенную задачу

Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:

Как решать задачи: формула Бернулли

Пример 2. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Снова по схеме решения задач на вероятность рассматриваем данную задачу:
- В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний - бросаний монеты.
- Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
- Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз: $$ P_(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^.$$
- Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
- Подставляем и получаем вероятность: $$ P(X)=P_(5)=C_8^5 \cdot 0,5^5 \cdot (1-0,5)^=\frac\cdot 0,5^8=\frac\cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.
И это все? Конечно, нет.

Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!

Понятия вероятности и случайности затрагивают практически все аспекты нашей жизни. Большинство своих решений мы принимаем, исходя из вероятности наиболее благоприятных для нас событий. Поэтому стоит хотя бы мало-мальски разбираться в теории вероятностей и научиться применять ее законы при решении различных житейских задач.

Обычно первое, что приходит на ум при упоминании о теории вероятности, — это игральные кости или карты. И то, и другое часто ассоциируется с азартными играми или другими занятиями, где все решает Его Величество Случай. Интересно, что сам термин “случайность” довольно точно передает суть понятия вероятности. Если говорить кратко, вероятность — это степень возможности какой-либо случайности.

Аристотель как-то заметил: “Вероятно и то, что много происходит невероятного”. Если перевести этот афоризм на математический язык, то можно выразить понятие вероятности следующим образом:

P = (количество реальных исходов) / (суммарное число реальных и возможных исходов),

где P — вероятность наступления события.

Значение P всегда будет выражено дробным числом в интервале [0, 1] (умножив это число на 100, можно выразить его в процентах). Чем выше значение P, тем больше вероятность наступления события. Если P = 0, говорят о невозможности наступления события; если P = 1, безоговорочно утверждают, что событие произойдет.

Теперь рассмотрим несколько простых, но убедительных примеров того, как работает выведенная нами формула вероятности.

Какова вероятность выпадения “тройки” при игре в кости?

На этот вопрос можно относительно быстро ответить с помощью интуиции. Но давайте попробуем применить нашу формулу. Игральный кубик имеет 6 сторон, но только 1 сторона отображает число “три”. Подставляя эти данные в формулу вероятности, получаем: P(“три”) = 1/6.

Какова вероятность вытянуть валета из колоды карт?

Снова задаем себе вопросы: сколько всего карт в колоде и какое количество в ней валетов? Мы знаем, что в обычной колоде 52 карты, по 4 фигурных экземпляра каждой масти, то есть в общей сложности 4 валета. Следовательно, вероятность вытянуть валета равна 4/52 или 1/13.

Оба приведенных выше примера довольно просты. Но они вполне годятся для того, чтобы в общих чертах ознакомить с теорией вероятностей человека, не искушенного в математике. Для решения более сложных задач используются куда более мудреные методы матанализа.

Вероятность объединения и пересечения

Объединение — это один из двух распространенных типов сложных событий (когда речь идет о двух или более объединенных событиях). Мы определяем вероятность объединения событий X и Y как вероятность того, что произойдет либо X, либо Y, либо и то, и другое. Из этого определения вытекают две различные формулы для вычисления вероятности. Рассмотрим каждую из них.

Объединение взаимоисключающих событий

Если события X и Y не могут произойти одновременно, они считаются взаимоисключающими. В этом случае мы используем следующую формулу:

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность выпадения “пятерки” или “шестерки” в ходе игры в кости. Эти события не могут произойти одновременно, поэтому нам просто нужно сложить значения обеих вероятностей. Вероятность выбросить “пятерку” равна 1/6; вероятность выбросить “шестерку” также равна 1/6; следовательно, вероятность выпадения “пятерки” или “шестерки” равна 1/3.

Объединение событий, не исключающих друг друга

В случае, когда X и Y не являются взаимоисключающими, используется следующая формула:

Как вы заметили, эта формула похожа на предыдущую, но с добавлением вероятности событий X и Y, связанных между собой символом, похожим на перевернутую букву U. Это называется пересечением — вторым из двух распространенных типов сложных событий. Вероятность пересечения двух событий определяется как вероятность того, что события X и Y произойдут одновременно.

Остановимся на формуле пересечения, так как она чрезвычайно важна при вычислении вероятности не исключающих друг друга событий.

Классический пример, демонстрирующий эту формулу, — игральные карты. Предположим, мы хотим определить вероятность вытянуть из колоды карту пиковой масти или даму. Зная о не исключающих друг друга событиях, мы можем предположить, что в колоде есть карта, которая одновременно является дамой и относится к пиковой масти. Сначала определяем вероятности выбора карты пиковой масти, дамы и пиковой дамы, которые составляют 13/52, 4/52 и 1/52 соответственно. Итоговое значение вероятности получаем путем сложения первых двух дробей и вычитанием из этой суммы третьей дроби. В результате выходит 16/52 или 4/13.

Пересечение независимых событий

Теперь, когда вы уже познакомились с концепцией пересечения, давайте углубимся в нее еще больше. Обычно мы имеем дело с пересечением независимых событий, когда вероятность одного из них не влияет на вероятность другого. В этом случае формула пересечения выглядит следующим образом:

Например, если подбросить две монеты, то вероятность того, что обе они упадут решкой вверх, равна 0,5 * 0,5 = 0,25. Есть и альтернативный способ решения этой задачи. Для этого нужно вспомнить наше первое определение вероятности, представляющее собой соотношение количества происходящих событий к общему числу исходов. Сначала перечислим все возможные исходы при падении двух монет:

Сколько исходов может быть с выпадением двух решек? Только один из четырех.

Условная вероятность

Условной считается вероятность события X при условии наступления события Y.

(Обратите внимание, что это уравнение включает в себя выражение для пересечения, которое можно вывести следующим образом: P(X | Y) * P(Y). Такая версия формулы пересечения используется для событий, которые не являются независимыми друг от друга).

Предположим, в деканат поступила информация о посещении практики 41 студентом в течение недели. Используя эти данные, декан построил график и получил следующую картину:
- из 22 первокурсников 9 посещали менее 3 дней, а 13 — более 3 дней;
- из 19 второкурсников 12 посещали менее 3 дней, а 7 — более 3 дней.
Поможем декану выяснить вероятность посещения менее 3 дней практики студентами при условии, что его интересуют в первую очередь первокурсники:

Сначала вычислим вероятность пересечения. Из общего числа студентов (мы знаем, что практику проходил 41 человек) 9 первокурсников посетили менее 3 дней, так что эта вероятность составляет 9 / 41. Второе, что нам нужно определить, — вероятность быть первокурсником. Она равна 22 / 41. Отсюда условная вероятность будет равна (9 / 41) / (22 / 41), или 9 / 22.

Подведем итоги

Теперь вы имеете представление об основных принципах применения теории вероятностей. Ее формулы пригодятся вам в любом месте, будь то студенческая аудитория или исследовательская лаборатория. Ее законы позволят вам не полагаться на случай. Вычисляя и сопоставляя свои шансы и риски, вы сможете принимать верные решения в области медицины, статистики, финансов и многих других.

Ксения Троицкая Учебный центр TeachLine

Материал полезен широкому кругу читателей.

Коротко о теории вероятностей

Вероятность в зависимых событиях

Имеем три варианта развития событий:
1. Курьер звонит в первую (1) дверь.
2. Курьер звонит во вторую (2) дверь.
3. Курьер звонит в третью (3) дверь.
Но в истории участвует еще один человек: ваш друг. И событийность в его случае выглядит так:
- Друг за первой (1) дверью.
- Друг за второй (2) дверью.
- Друг за третьей (3) дверью.
Прежде чем пойти дальше, введем определение вероятности – количество благоприятных исходов к вероятному числу событий.

Теперь соберем данные в таблицу (таблица 1). Всего - 9 исходов. Отметим положительные (курьеру откроет друг) – их 3. Получается, что вероятность с первого раза позвонить в дверь к нужному человеку – 3/9 или 1/3. Если вам нравится видеть вероятность в процентах, умножьте результат на 100%.

Таблица 1 – Девять исходов, три благоприятных

Представим, что курьер ошибся, и за дверью оказалась сногсшибательная блондинка в коротком халате. Для курьера исход положительный, для вас – нет. Поэтому считаем новую вероятность:
1. Курьер звонит в первую (1) квартиру.
2. Курьер звонит во вторую (2) квартиру.
То же самое с другом:
- Друг ждет в первой (1) квартире.
- Друг ждет во второй (2) квартире.
Теперь у нас 4 варианта и 2 – выигрышные (таблица 2). Вероятность со второго раза попасть в квартиру друга – 1/2. Она уменьшилась из-за зависимости событий: мы уже исключили неблагоприятный исход и расчёт нужно производить заново. Если курьер настолько невезуч, что промахнется во второй раз, вероятность попасть по адресу в третий раз – 100%. Опытным путем мы проверили, что за двумя предыдущими дверьми балык никто не ждет.

Таблица 2 Четыре исхода, два благоприятных

Пример с курьером — начальный уровень тервера. Он применим для бытовых нужд: предугадать вероятность побочного эффекта от антибиотиков, выбрать из разнообразия бабушкиных пирожков пирожок с повидлом и др.

На экзамене по теории вероятности советский математик и автор учебника Елена Вентцель спросила:

- Кому все понятно? Поднимите руки.

В аудитории живо взметнулся лес рук.

- Отлично! Остальные свободны, оценка – пять баллов! Поднявшие руки – останьтесь. За годы преподавания я так и не поняла большей части тервера. Рада, что вы мне все сейчас объясните.

Байка с математического факультета

Вероятность в независимых событиях

Независимые события не влияют друг на друга: количество благоприятных исходов в каждом новом событии не меняется.

Регина негодует, почему тервер работает не в ее сторону
1. Орел, орел, орел.
2. Орел, орел, решка.
3. Орел, решка, орел.
4. Орел, решка, решка.
5. Решка, орел, орел.
6. Решка, орел, решка.
7. Решка, решка, орел.
8. Решка, решка, решка.
По результату видно: вероятность определенной последовательности каждый раз меньше на вероятность одного события. То есть вероятность определенной последовательности – произведение вероятностей каждого события. Если в одном событии вероятность 1/2, то в трех: 1/2*1/2*1/2=1/8.

Как человек принимает решения в состоянии неопределённости

Часть мозга, которая ответственна за оценку ситуации связана с медиаторной системой — центром мотивационных и эмоциональных процессов. Логика и эмоции часто конфликтуют между собой, поэтому решение принимается случайным образом.

Почему интуитивное знание всегда противоречит статистике

Моя бабушка считает: в Албании убивают на каждом шагу. Хотя в стране она не была и новостей о не слышала: ей так кажется интуитивно. Наверняка и вы не раз испытывали подобное чувство. Оно называется интуитивное знание – внутреннее убеждение, что собственная оценка более правдива, чем официальные источники и статистика.

Всего 127 убийств на 100 000 человек

Классическое исследование на тему интуитивного знания провели Даниэль Канеман и Амос Тверский. Они дали задание группе студентов: на основании портрета, оценить утверждения с таблицы как более (1 балл) и менее (8 баллов) вероятные (таблица 3).

Таблица 3

По портрету логично предположить, что Линда участвует в феминистском движении. Но студенты принимали решения интуитивно, что привело к ошибке. Вероятность, что Линда работает в банке и принимает участие в феминистском движении больше вероятности работы в банке.

Посмотрите на таблицу: вероятность работы в банке и увлечение феминистским движением – 4,1 балл. Но первое (работа в банке) и второе (феминистское движение) в сумме дают 8,3 балла. Согласно терверу, вероятность, что произойдут оба события не может быть выше, чем вероятность каждого события по отдельности. Главное утверждение (4,1 балла) содержит 2 события и является единым. В интуитивном решения правило тервера нарушено. Это доказывает — наши убеждения часто являются ложными.

В дальнейшем проводились множественные эксперименты, которые подтвердили догадку Канемана.

Вместо заключения

Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями. Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать составляет ½. Так что нет разницы — менять свой выбор или нет. И тем не менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так.

Казалось бы, да. Ведь до получения этой информации вероятность смерти узника А составляла ⅔, а теперь он знает, что один из двух других узников будет казнен — значит, вероятность его казни снизилась до ½. Но на самом деле узник А не узнал ничего нового: если помилован не он, ему назовут имя другого узника, а он и так знал, что кого-то из двоих оставшихся казнят. Если же ему повезло, и казнь отменили, он услышит случайное имя Б или В. Поэтому его шансы на спасение никак не изменились.

А теперь представим, что кто-то из оставшихся узников узнает о вопросе узника А и полученном ответе. Это изменит его представления о вероятности помилования.

Если разговор подслушал узник Б, он узнает, что его точно казнят. А если узник В, то вероятность его помилования будет составлять ⅔. Почему так произошло? Узник А не получил никакой информации, и его шансы на помилование по-прежнему ⅓. Узник Б точно не будет помилован, и его шансы равны нулю. Значит, вероятность того, что на свободу выйдет третий узник, равна ⅔.

Парадокс заключается в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, вероятности ведут себя добропорядочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный — сумму 2X. И здравый смысл подсказывает, что информация об имеющейся у вас сумме не может повлиять на содержимое второго конверта.

Тем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Шредингера, где само наличие наблюдателя влияет на положение дел). Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. А это невозможно.

Для наглядности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. Очевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше.

Любопытно, что дискуссии относительно разрешения парадокса продолжаются и в настоящее время. При этом предпринимаются попытки как объяснить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведения в подобной ситуации. В частности, профессор Томас Кавер предложил оригинальный подход к формированию стратегии — менять или не менять конверт, руководствуясь неким интуитивным ожиданием. Скажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 — небольшую сумму по вашим прикидкам — стоит его обменять. А если в конверте, скажем, $1 000, что превосходит ваши самые смелые ожидания, то меняться не надо. Эта интуитивная стратегия в случае, если вам регулярно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратегия постоянной смены конвертов.

Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться, обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать вероятность пола другого ребенка.

Рассмотрим все возможные комбинации в семьях с двумя детьми:

Вариант девочка/девочка нам не подходит по условиям задачи. Поэтому для семьи мистера Смита возможны три равновероятных варианта — а значит, вероятность того, что другой ребенок тоже окажется мальчиком, составляет ⅓. Именно такой ответ и давал сам Гарднер первоначально.

Представим, что мы встречаем мистера Смита на улице, когда он гуляет с сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок — тоже мальчик? Поскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным (и правильным) ответом является ½.

Почему так происходит, ведь, казалось бы, ничего не изменилось?

Читайте также: