Как сделать систему устойчивой тау
Одним из основных вопросов, возникающих при исследовании и проектировании линейных автоматических систем, является вопрос об их устойчивости.
В общем случае устойчивость можно трактовать, как способность автоматической системы управления выполнять заданные функции, то есть целенаправленно изменять свое состояние по заданному закону, с определенным качеством, в том числе при наличии внешних возмущений и воздействий.
В устойчивой системе различают состояние равновесия (или покоя) и состояние невозмущенного движения системы по некоторой наперед заданной траектории.
После прекращения внешнего воздействия система должна либо вернуться в состояние равновесия, либо войти в заданную область изменения параметров.
В простейшем случае линейная система называется устойчивой, если при выведении ее внешним воздействием из состояния равновесия (покоя) она возвращается в него после прекращения этого воздействия.
Если система не возвращается в исходное состояние, она либо является неустойчивой, либо находится на границе устойчивости. В этом случае система, после выведения из состояния равновесия, либо удаляется от него, либо совершает вокруг него недопустимо большие колебания.
На рисунке 8.1 показана графическая интерпретация процессов устойчивости на основе механической модели. Для варианта (а) при воздействии на шарик силы любой величины он скатится в одно из неустойчивых состояний и не сможет вернуться в исходное состояние (система неустойчива). Для варианта (б) после прекращения любого воздействия шарик снова вернется в исходное устойчивое состояние (система абсолютно устойчива). Если шарик лежит на идеальной горизонтальной поверхности без трения (вариант в), то после окончания воздействия он будет продолжать движение с постоянной скоростью (система находится на границе устойчивости).
Рисунок 8.1 - Механическая модель процессов устойчивости
Для нелинейных систем устойчивость может зависеть от приложенного воздействия (вариант г): система может бать устойчива при небольших воздей ствиях (устойчива в малом), но неустойчива при сильных воздействиях (неустойчива в большом).
Неустойчивой может быть только замкнутые системы (с обратной связью). С другой стороны, для любой системы с обратной связью необходимо выполнять анализ устойчивости. Разомкнутая система самовозбудиться не может.
Неустойчиво работающая система не может выполнять своих непосредственных функций автоматической регулировки, слежения, стабилизации параметров и тому подобное. Потеря устойчивости означает потерю управляемости. Правильно спроектированная система должна устойчиво работать при любых внешних возмущениях и заданных воздействиях.
Помимо однозначного ответа на вопрос, устойчива ли система, не менее важным является выявление параметров и элементов системы, наиболее сильно влияющих на устойчивость, а также методов повышения устойчивости.
Определение устойчивости целесообразно производить на начальном этапе проектирования системы, поскольку:
- • анализ устойчивости выполняется сравнительно просто и позволяет исключить из дальнейшего рассмотрения заведомо непригодные (неустойчивые) системы;
- • если автоматическая система устойчива с большим запасом, то в дальнейшем можно не учитывать малые инерционности, что упрощает модель и значительно облегчает последующий анализ.
Под запасом устойчивости понимается количественная оценка, характеризующая степень удаленности системы от неустойчивого состояния.
Уже в начале развития теории автоматического регулирования предпринимались попытки математической разработки теории устойчивости. Задача отыскания критериев устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 г. и впервые решена в алгебраической форме Э. Раусом (1877г.) и А. Гурвицем (1895г.).
Эдвард Джон Раус (1831-1907),
английский математик и механик.
Адольф Гурвиц (1859-1919), немецкий математик.
Наиболее строгое определение устойчивости было дано русским математиком и механиком А.М. Ляпуновым в работе "Общая задача об устойчивости движения" (1892 г.). Им были сформулированы, в частности следующие теоремы.
1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательной вещественной частью, то реальная система будет также устойчива.
- 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет неустойчива.
- 3. При наличие нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой.
Покажем, как на основе изложенных выше определений А.М. Ляпунова можно найти условия устойчивости линейных (линеаризованных) систем автоматического управления.
Рассмотрим замкнутую систему, изображенную на рисунке 8.2. Это следящая автоматическая система (со 100%-й обратной связью), но принципиально те же выводы будут справедливы для любых других типов замкнутых систем.
Рисунок 8.2 - Замкнутая автоматическая система
Коэффициент передачи замкнутой системы для данной структурной схемы определяется по формуле:
ф(р)= К = В(Р) = Md. = Ь " Р "‘ +Ь т-Р"‘~' +-+*> 1 + . + n + ЬтЛр тХ + . + %), (8.3) где р = d/dt - оператор дифференцирования.
По определению устойчивости, необходимо выяснить, будет ли система возвращаться в исходное состояние после прекращения внешнего воздействия. Для этого положим в (8.3) x(t) = 0. Тогда переходную составляющую решения yn(t) можно определить, решая однородное дифференциальное уравнение, приравнивая правую часть уравнения (8.3) нулю.
Нетрудно заметить, что выражение (8.4) является характеристическим уравнением замкнутой системы. Предположим, что уравнение (8.4) решено и определены его крни pi = cii + jсо,. Тогда переходная составляющая решения определяется с помощью уравнения свободного движения (или свободных колебаний):
где С, - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Если корни характеристического уравнения чисто действительные (/7^=0), то вид переходного процесса зависит от знака этих корней (рисунок 8.3).
Рисунок 8.3 - Вид переходного процесса в зависимости от знака действительных корней характеристического уравнения
При наличии комплексных попарно сопряженных корней уравнение (8.5) имеет вид: yi(t)=ci(e (ai + j ‘ ai> ' + e ‘- ja>> ') (8.6)
Читайте также: