Как сделать сечение цилиндра на чертеже
В разделе Пересечение тел вращения рассмотрим задачу на сечение цилиндра плоскостью. Плоскость частного положения фронтально-проецирующая.
- Прямой круговой цилиндр.
- Фронтально-проецирующая плоскость, заданная следами PV и PH.
- Построить сечение цилиндра плоскостью.
- Построить натуральную величину сечения цилиндра.
- Построить развертку усеченного цилиндра.
Решение задач по начертательной геометрии я произвожу в системе автоматизированного проектирования Автокад и Автокад 3D. Данный прием обучения позволит развить пространственное мышление и закрепить владение Автокад.
На рис. 4.69 показан пример построения проекций прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра со срезами профильной плоскостью и фронтально-проецирующей плоскостью .
Для построения проекций цилиндра со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий поря-док действий при решении всех подобных задач;
1-е действие. Построить па чертеже топкими линиями по заданному диаметру и заданной высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра без срезов, а за-тем выполнить на се фронтальной проекции заданные по условию срезы профильной плоскостью и фронтально-проецирующей плоскостью .
2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основаниями цилиндра и выполнить графический анализ сечений:
1. Профильная плоскость , проекцией которой является вертикальный отрезок. расположена параллельно оси цилиндра и пересекает его поверхность по прямоугольнику :
точки лежат на верхнем основании и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости среза с верхним основанием цилиндра
3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию цилиндра со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:
. Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию относительно базовой оси (б.О.), точки обозначены на одной ее половине (нижней).
4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура:
1. Горизонтальный очерк определяет часть окружности основания и отрезок .
5-е действие. Достроить профильную проекцию цилиндра со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов
1. Плоскость среза определяет видимая натуральная проекция прямоугольника :
6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции цилиндра для определения ее очерка и внутреннего контура.
1. Профильный очерк определяют: слева и справа — участки и очерковых образующих и участки эллипса;
7-е действие. Оформить чертеж цилиндра, выполнив сплошными толсты-ми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура всех проекций цилиндра (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций н линии построения).
На рис. 4.70 показан частный случай сечения цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью , расположенной к его оси под углом . В этом случае на профильную проекцию цилиндра эллипс, полученный в сечении, проецируется в виде окружности.
Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
если пересекаются все образующие (Y1), представляет плоскую кривую второго порядка - окружность или эллипс, принадлежащую секущей плоскости. В частом случае, при определенном расположении секущей плоскости (Y2), когда она проходит через две образующие, сечение цилиндра представляет собой прямоугольник
Сечение прямого кругового цилиндра дает - окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.
Построение третьей проекции линии сечения цилиндра плоскостью по двум заданным представлено на рисунке. Здесь сечение прямого кругового цилиндра - эллипс с большой осью AB и малой осью CD, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.
Построим эллиптическое сечение прямого кругового цилиндра ω плоскостью α, занимающей общее положение
Решение задачи на сечение прямого кругового цилиндра плоскостью, в данном случае значительно упрощается потому, образующие цилиндра занимают проецирующее положение: - проекции точек A и B линии пересечения находим без каких-либо дополнительных построений в пересечении окружности основания цилиндра и горизонтального следа αΗ секущей плоскости; - горизонтальные проекции остальных точек линии пересечения находятся на окружности основания цилиндра левее горизонтального следа αΗ. Задавая горизонтальные проекции ряда точек, в том числе и характерных точек кривой линии пересечения - точки D это граница видимости и E это наивысшая, находим их недостающие фронтальные проекции из условия принадлежности плоскости α: - проводим через точки горизонтали плоскости h1, h2, h3 и h4 и в пересечении их с линиями связи точек находим фронтальные проекции C", D", E", F" и G". - проекции A", B", C", D", E", F" и G" соединяем плавной кривой линией и получаем недостающую фронтальную проекцию линии пересечения.
Определение видимости линии пересечения и цилиндра на плоскости проекций выполняем с использованием конкурирующих точек.
В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения одной из самых распространенных трехмерных геометрических фигур – цилиндра. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Определение цилиндра
Далее мы подробно остановимся на прямом круговом цилиндре как самой популярной разновидности фигуры. Другие ее виды будут перечислены в последнем разделе данной публикации.
Прямой круговой цилиндр – это геометрическая фигура в пространстве, полученная путем вращения прямоугольника вокруг своей стороны или оси симметрии. Поэтому такой цилиндр иногда называют цилиндром вращения.
Цилиндр на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ABCD вокруг оси O1O2 на 180° или прямоугольников ABO2O1/O1O2CD вокруг стороны O1O2 на 360°.
Основные элементы цилиндра
- Основания цилиндра – два одинаковых по размеру/площади круга с центрами в точках O1 и O2.
- R – радиус оснований цилиндра, отрезки AD и BC – диаметры (d).
- O1O2 – ось симметрии цилиндра, одновременно является его высотой (h).
- l (AB, CD) – образующие цилиндра и одновременно с этим стороны прямоугольника ABCD. Равны высоте фигуры.
Развёртка цилиндра – боковая (цилиндрическая) поверхность фигуры, развернутая в плоскость; является прямоугольником.
- длина данного прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра ( 2πR );
- ширина равна высоте/образующей цилиндра.
Примечание: формулы для нахождения площади поверхности и объема цилиндра представлены в отдельных публикациях.
Виды сечений цилиндра
- Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, образованный в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. В нашем случае – это ABCD (см. первый рисунок публикации). Площадь такого сечения равна произведению высоты цилиндра на диаметр его основания.
Виды цилиндров
- Прямой цилиндр – имеет одинаковые симметричные основания (круг или эллипс), параллельные друг другу. Отрезок между точками симметрии оснований перпендикулярен им, является осью симметрии и высотой фигуры.
- Наклонный цилиндр – имеет одинаковые симметричные и параллельные друг другу основания. Но отрезок между точками симметрии не перпендикулярен этим основаниям.
- Косой (скошенный) цилиндр – основания фигуры не взаимно параллельны.
- Круговой цилиндр – основаниями является круг. Также выделяют эллиптические, параболические и гиперболические цилиндры.
- Равносторонний цилиндр – прямой круговой цилиндр, диаметр основания которого равен его высоте.
Задача 1. Построить проекции и истинный вид сечения цилиндра плоскостью общего положения Т (АВСД).
1. Для преобразования секущей плоскости Т в проецирующую введем новую плоскость П4 вместо П2. П2 → П4. Плоскость П4 вводится перпендикулярно плоскости П1 ; П4 ^ П1, П4 ^ h1; на чертеже новая ось Х 1,4 ^ h1.
2. В новой плоскости П4 построим новую фронтальную проекцию цилиндра. Для этого проведем вспомогательную плоскость Σ, перпендикулярную к горизонтали секущей плоскости и проходящую через ось вращения цилиндра. å^ h.
На основании цилиндра отметим точки А1 и В1 – горизонтальные проекции новых образующих АА' и ВВ'. Построим эти образующие в плоскости П4: т.А4, В4 лежат на оси Х1,4. А4А'4 = В4В'4 – высота цилиндра. А4А'4В'4В4 – новая фронтальная проекция цилиндра.
3. В системе плоскостей проекций П1/П4 секущая плоскость Т занимает фронтально проецирующее положение, ее фронтальная проекция Т4 – прямая.
Для построения прямой достаточно иметь две точки, например М и N.
Пусть точка М – пересечение фронтали и горизонтали плоскости Т.
М1 = М2 и совпадают с осью Х1,2. Точку N возьмем произвольно на фронтали f. N2 Î f2, N1 Î f1.
Из т. М1 и N1 проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х1,4, и на их продолжении от новой оси откладываем координаты Z точек М и N. ZМ = 0; ZN = N1N2.
Прямая М4N4 – новая фронтальная проекция секущей плоскости Т.
4. Секущая плоскость пересекает все образующие цилиндра, поэтому сечение – эллипс, на плоскости П4 совпадающий со следом М4N4 секущей плоскости Т.
Горизонтальные 11, 21, 31, 41 проекции точек находим по их принадлежности к горизонтальному очерку цилиндра. Фронтальные 12, 22, 32, 42 проекции точек линии сечения определяем по их принадлежности к соответствующим образующим, отложив от оси Х1,2 вверх высоту каждой точки: 12В2 = 14В4, 22А2 = 24А4, 32D2 = 34D4, 42С2 = 44С4.
Проводя линии связи через горизонтальный очерк цилиндра, получаем две дополнительные точки 3¢ и 4¢. Их фронтальные проекции определяются по высоте точек 3 и 4.
Находим их горизонтальные 51, 61 и фронтальные 52, 62 проекции по принадлежности точек к поверхности цилиндра. По аналогии с точками 3 и 4 для точек 5 и 6 на горизонтальной проекции цилиндра получаем дополнительные точки 5¢ и 6¢. Определяем их фронтальные проекции.
6. Последовательно соединив все полученные точки сечения на плоскости П1 и П2 построим горизонтальную и фронтальную проекции сечения. Определяем видимость сечения на П1 и П2.
7. Для определения натуральной величины сечения введем еще одну вспомогательную плоскость П5. П1 → П5; П5 ^ П4; П5 ? Т.
На чертеже ось Х4,5 параллельна следу М4N4 секущей плоскости Т.
8. В новую плоскость П5 проецируем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Для этого из 14, 24, 34, 44, 54, 64 проводим линии проекционных связей, перпендикулярные к оси Х4,5 и на их продолжении откладываем отрезки, равные расстояниям от оси Х1,4 до заменяемых точек 11, 21, 31, 41, 51, 61. Получаем точки 15, 25, 35, 45, 55, 65, соединяем их плавной линией. Построенный эллипс - натуральная величина сечения.
Натуральную величину сечения можно определить проще, если построить сначала большую ось эллипса; ее горизонтальная проекция совпадает на П1 с проекцией прямой АВ (А1В1). В плоскости П5 находим точки 15 и 25, отложив от оси Х4,5 по линиям связи расстояния 11В4 = 21А4. Соединив полученные точки, получаем новую горизонтальную проекцию большой оси эллипса. Теперь измеряем расстояния от прямой 1121 до точек 31, 41, 51, 61 и откладываем их от прямой 1525 по соответствующим линиям связи в обе стороны. Полученные точки соединяем плавной линией.
Пересечение конуса плоскостью общего положения
Задача 2. Построить проекции и истинный вид сечения конуса плоскостью общего положения Т(АВС).
Задача решается аналогично Задаче №1.
РЕШЕНИЕ
1. Для преобразования секущей плоскости Т в проецирующую, введем новую плоскость П4 вместо плоскости П2 (П2 → П4), перпендикулярно к оставшейся плоскости П1 и перпендикулярно к горизонтали секущей плоскости, П4 ^ П1, П4 ^ h.
В плоскости Т(А,В,С) строим горизонталь: h2 ? ОХ, h1 – по принадлежности к ΔАВС. На чертеже новую ось Х1,4 проводим перпендикулярно h1. Х1,4 ^ h1.
2. В плоскости П4 построим новую фронтальную проекцию конуса. Для этого проведем вспомогательную плоскость Σ(Σ1), перпендикулярную к горизонтали секущей плоскости и проходящую через ось вращения конуса. Т.к. Σ ^ П1, то Σ1 – прямая, Σ1 ^ h1.
На основании конуса отметим точки М и N – пересечение вспомогательной плос-кости Σ с основанием конуса, SM и SN - полученные при этом новые очерковые образующие.
3. В системе плоскостей проекций П1/П4 секущая плоскость Т занимает фронталь-но - проецирующее положение, ее фронтальная проекция Т4 – прямая.
Для построения прямой достаточно иметь две точки, например, В и С.
Из т. В1 и С1 проводим линии проекционных связей перпендикулярно оси Х1,4, и на их продолжении от новой оси Х1,4 откладываем координаты Z точек В и С.
Прямая С4В4 – новая фронтальная проекция секущей плоскости Т.
4. Секущая плоскость пересекает все образующие конуса, поэтому сечение – эллипс, на плоскости П4 совпадающий со следом С4В4 секущей плоскости Т.
Для определения очерковых точек построим в плоскости П4 очерковые образу-ющие KS и LS (К4S4 и L4S4).
Горизонтальные 11, 21, 31, 41 и фронтальные 12, 22, 32, 42 проекции точек линии сечения определяем по их принадлежности к соответствующим образующим.
5. Возьмем еще две промежуточные точки 5 и 6 линии сечения, 54 Î C4B4, 64 Î C4B4
Находим их горизонтальные 51, 61 и фронтальные 52, 62 проекции по принадлежности точки поверхности конуса. Для нахождения проекций 61 и 62, через проекцию 64 точки 6 проводим вспомогательную плоскость Г(Г4), параллельную основанию конуса. Плоскость Г рассекает конус по окружности радиуса R.
Теперь из центра О1 ≡ S1 проводим окружность радиуса R и проецируем на эту окружность точку 64. Получаем точки 61 и 61′, из этих точек проводим линии проекционной связи перпендикулярно оси Х1,2 и откладываем на них от оси расстояния, равные высоте точки 6. Аналогично строим точку 5.
6. Последовательно соединив все полученные точки сечения на плоскости П1 и П2, построим горизонтальную и фронтальную проекции сечения. Определяем видимость сечения. На плоскости П1 вся линия сечения видима, а на плоскости П2 точки 32 и 42 являются точками смены видимости, поэтому видимая линия 325242′2242, а невидимая - 4252′32′1232.
7. Для определения натуральной величины сечения введем еще одну вспомогательную плоскость П5. П1 → П5; П5 ^ П4; П5 ? Т.
На чертеже ось Х4,5 параллельна следу С4В4 секущей плоскости Т.
8. В новую плоскость П5 проецируем точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Для этого из 14, 24, 34, 44, 54, 64 проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х4,5 и на их продолжении от оси Х4,5 откладываем отрезки, равные расстояниям от оси Х1,4 до заменяемых точек 11, 21, 31, 41, 51 и 61. Получаем точки 15, 25, 35, 45, 55, 65, соединяем их плавной линией. Построенный эллипс - натуральная величина сечения конуса плоскостью Т.
Проще найти натуральную величину сечения, построив сначала большую ось эллипса - отрезок 1,2. Строим проекции 15 и 25 точек 1 и 2: отрезок 1525 – натуральная величина большой оси эллипса. Проводим линии проекционной связи из точек 34, 44, 54, 64 и в обе стороны от оси 1525 откладываем расстояния, равные расстояниям от прямой 1121 до точек 31, 41, 51, 61 соответственно.
Читайте также: