Как сделать развертку пирамиды начертательная геометрия
Пирамидальной называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят через некоторую неподвижную точку S . Определитель поверхности – ломаная направляющая m и точка S .
Призматической называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят параллельно некоторому заданному направлению l . Определитель поверхности – ломаная направляющая m и направление l .
Если образующие призматической поверхности перпендикулярны плоскости проекций, то такую поверхность называют проецирующей .
Точки M и N принадлежат соответственно пирамидальной и призматической поверхностям, так как принадлежат прямым, расположенным на этих поверхностях.
Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом .
Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Рассмотрим два многогранника – призму и пирамиду.
Призмой называется многогранник, у которого основания – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами. Бо-
ковые грани призмы параллелограммы. Если ребра боковых граней перпендикулярны основанию, то призму называют прямой.
Для задания призмы достаточно задать одно ее основание и боковое ребро (рис. 5.8, а ).
Начертательная геометрия. Инженерная графика
Затем строим ребра DL , BF и CQ , параллельные и равные заданному ребру AE . Точки E,D,Q,,L определят второе основание, а тем самым и все грани призмы (рис. 5.8, б ). Чертеж в этом случае приобретает большую наглядность.
Чтобы построить недостающую проекцию точки, лежащей на грани многогранника, нужно через эту точку провести прямую. Например, если задана горизонтальная проекция точки M, принадлежащей грани
CQF, то для построения ее фронтальной проекции нужно через эту точку провести прямую KN . Тогда m определится как точка, принадлежащая проекции k n .
Развертка поверхности призмы
При построении развертки поверхности любого многогранника все его грани располагают в одной плоскости. В результате построения развертки получают плоскую фигуру, в которой все грани многогранника сохраняют свою форму, натуральные размеры и последовательность расположения.
Рассмотрим построение развертки поверхности пятиугольной призмы (рис. 5.9).
Для построения развертки боковой поверхности проводим горизонтальную прямую линию, на которой откладываем пять отрезков, каждый из которых равен ширине грани или стороне пятиугольного основания. Можно взять величину этого отрезка с ортогонального чертежа, где сторона основания проецируется без искажения. Получаем точки 1 0 …5 0 . Затем из этих точек вверх проводим перпендикуляры (ребра боковой поверхности призмы), на которых откладываем высоту призмы, взятую на фронтальной или профильной проекции.
Глава 5. Линии и поверхности
Далее строим два основания. Для этого через середину стороны грани 3 0 4 0 (или любой другой) проводим центровую линию, на которую с горизонтальной проекции переносим расстояние от стороны 34 до центра О 1 и вершины основания. Строим точку О1 0 и проводим вторую центровую линию основания. Для нахождения точек 2 0 и 5 0 на горизонтальной проекции точки 2 и 5 соединяем прямой линией. Измеряем расстояние от точки пересечения этой линии с центровой до стороны 34 и переносим это расстояние на соответствующую центровую линию на развертке. Проводим параллельно стороне 3 0 4 0 прямую, на которую с горизонтальной проекции переносим расстояние от осевой линии до точек 2 и 5. Полученные точки 1 0 … 5 0 соеди- няем отрезками, получаем основание. Таким же образом строим второе основание.
Пирамида представляет собой многогранник (рис. 5.10), у которого одна грань основание (произвольный многоугольник
ABCD ). Остальные грани (боковые)
угольники с общей вершиной S , называемой
Для задания на чертеже пирамиды дос-
таточно задать ее основание и вершину. Что-
бы построить проекции точки на поверхно-
сти пирамиды, нужно через эту точку про-
вести прямую, аналогично построению, вы-
полненному на рис. 5.8, б для призмы.
Развертка поверхности правильной пирамиды
Так как боковые ребра правильной пирамиды равны между собой
и все грани равнобедренные треугольники, то развертку боковой поверхности пирамиды начинаем строить с проведения дуги радиусом, равным размеру ребра боковой поверхности пирамиды (рис. 5.11). На фронтальную и горизонтальную плоскости проекций ребра пирамиды проецируются с искажением, так как расположены наклонно относительно плоскостей H и V . На профильной плоскости проекций ребра S2
и S3 тоже проецируются с искажением, так как расположены наклонно к плоскости W , а ребро S1 проецируется в натуральную величину, потому что располагается параллельно плоскости W . Радиусом, равным дли-
не ребра S1 ( s 1 ), описываем дугу. На ней от произвольно выбранной точки откладываем три хорды, равные стороне основания. Размер стороны основания берем с горизонтальной проекции пирамиды. Затем для
Начертательная геометрия. Инженерная графика
построения основания на развертке из точек 1 0 и 3 0 радиусом, равным стороне основания, проводим дуги до взаимного пересечения в точке 2 0 .
Развертка поверхности неправильной пирамиды
Развертка поверхности неправильной пирамиды будет состоять из неправильных треугольников боковой поверхности и неправильного треугольника, лежащего в основании, совмещенных в одну плоскость, причем их взаимное расположение на развертке должно соответствовать взаимному расположению на ортогональных проекциях. Так как у неправильной пирамиды стороны основания разные и ребра боковой поверхности не равны между собой, сначала находим натуральную величину всех боковых ребер (рис. 5.12). Для этого используем один из способов определения натуральной величины отрезка прямой общего положения. В данном случае использован способ вращения. Боковые ребра вращаем вокруг оси, проведенной через вершину пирамиды S перпендикулярно плоскости Н . На чертеже фронтальная проекция оси i i проведена через фронтальную проекцию вершины s перпендикулярно оси Ox . Горизонтальные проекции ребер s1, s2, и s3 поворачиваем до положения, параллельного оси Ox . При этом горизонтальные проекции точек 1, 2 и 3 займут положение 1 1 , 2 1 и 3 1 . От этих точек проводим линии проекционной связи на фронтальную плоскость проекций для получения их фронтальных проекций 1 1 , 2 1 и 3 1 . Затем фронтальные проекции точек соединяем с фронтальной проекцией s вершины S прямыми линиями, которые и будут натуральными величинами ребер ( 1 1 s ,
2 1 s и 3 1 s ).
Глава 5. Линии и поверхности
Стороны основания 12, 23 и 13 спроецировались в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций. Зная натуральные величины всех элементов пирамиды, приступаем к построению развертки ее поверхности. При построении развертки боковой поверхности используем способ построения треугольников по трем заданным сторонам. Построение можно начать с любой грани боковой поверхности, например с грани 1S3 (рис. 5.12). Сначала на свободном месте чертежа проводим произвольную прямую и на ней откладываем натуральную величину стороны основания 1 0 3 0 , взятую с горизонтальной проекции. Затем из точки 1 0 радиусом, равным натуральной величине ребра S1 ( s 1 1 ), а из точки 3 0 радиусом, равным натуральной величине ребра S3
( s 3 1 ), делаем засечки до пересечения в точке S 0 , которая будет вершиной развертки боковой поверхности пирамиды. Далее строим боковую грань 3S2 . Для этого на фронтальной проекции циркулем измеряем на-
туральную величину ребра S2 ( s 2 1 ) и на развертке этим радиусом из вершины S 0 , а из точки 3 0 радиусом 32, взятым с горизонтальной проекции, делаем засечки до пересечения в точке 2 0 . Соединив точку 2 0 прямой линией с вершиной S 0 , получим вторую грань 3 0 S 0 2 0 боковой поверхности пирамиды. Третья грань и основание сроятся тем же способом.
Начертательная геометрия. Инженерная графика
Пересечение многогранников плоскостями
В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью.
Многоугольник сечения может быть построен двумя способами:
1. Вершины многоугольника находятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью;
2. Стороны многоугольника находятся как линии пересечения плоскостей (граней) многогранника с секущей плоскостью.
В качестве примера построим сечение пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью P
Секущая плоскость является фронтально-проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости (в том числе и фигура сечения на фронтальной проекции), совпадут с фронтальным следом P V плоскости P . Таким образом, фронтальная проекция фи-
Пирамида - это многогранник , одна из граней которого является основанием, остальные грани это треугольники, имеющие общую вершину.
Высота пирамиды - это перпендикулярный отрезок, проведенный через вершину пирамиды к плоскости её основания.
Бумажная развёртка пирамиды - это плоская геометрическая фигура, которая полностью повторяет поверхность тела и при изгибании и склеивании позволяет воссоздать геометрическое тело.
Разверткой пирамиды является плоская фигура, которая получена отложением боковых граней в плоскость основания, где каждая боковая грань так же соединена общей стороной с основанием.
Разверткой пирамиды является плоская фигура, которая получена отложением боковых граней в плоскость основания, где каждая боковая грань так же соединена общей стороной с основанием.
К примеру, разверткой тетраэдра является равносторонний треугольник (основание) и такие же равносторонние треугольники присоединенные обшей стороной к сторонам основания. Развертка такой геометрической фигуры по форме оказывается большим равносторонним треугольником в который вписано основание (меньший равносторонний треугольник).
Развертка правильной прямоугольной пирамиды - это квадратное основание и 4 равносторонних треугольника (грани), которые имеют общую сторону с основанием. Развертка прямоугольной пирамиды по форме похожа на 4-х конечную звезду.
Развертка правильной пятигранной пирамиды – это правильный 5-ти угольник в основании, и 5 равнобедренных треугольников, которые имеют общую сторону с основанием, а равные стороны примыкающих равнобедренных треугольников, параллельны соседней стороне основания. Развертка правильной пятигранной пирамиды имеет форму идеальной пятиконечной звезды.
Прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция и другие – геометрические фигуры из раздела точной науки. Пирамида - это многогранник. Основанием этой фигуры является многоугольник, а боковыми гранями треугольники, имеющие общую вершину, или трапеции. Для полного представления и изучения любого геометрического объекта изготавливают макеты. Используют самый разнообразный материал, из которого выполняется пирамида. Поверхность многогранной фигуры, развернутая на плоскости, называется ее разверткой. Создать макет поможет метод преобразования плоских предметов в объемные многогранники и определенные знания из геометрии. Развертки из бумаги или картона изготовить непросто. Потребуется умение выполнять чертежи по заданным размерам.
Материалы и приспособления
Моделирование и выполнение многогранных объемных геометрических фигур - интересный и захватывающий процесс. Из бумаги можно выполнить большое количество всевозможных макетов. Для работы будут необходимы:
- бумага или картон;
- ножницы;
- карандаш;
- линейка;
- циркуль;
- ластик;
- клей.
Определение параметров
Прежде всего определим, какой будет пирамида. Развертка данной фигуры является основой для изготовления объемной фигуры. Выполнение работы потребует предельной точности. При неправильном чертеже геометрическую фигуру собрать будет невозможно. Допустим, необходимо изготовить макет правильной треугольной пирамиды.
Любое геометрическое тело обладает определенными свойствами. Данная фигура имеет основанием правильный многоугольник, а ее вершина спроецирована в его центр. В качестве основания выбран равносторонний треугольник. Данное условие определяет название. Боковые ребра у пирамиды – это треугольники, количество которых зависит от выбранного для основания многогранника. В данном случае их будет три. Также важно знать размеры всех составных частей, из которых будет составлена пирамида. Развертки из бумаги выполняются в соответствии с учетом всех данных геометрической фигуры. Параметры будущей модели оговариваются заранее. От этих данных зависит выбор используемого материала.
Как выполняется развертка правильной пирамиды?
Основой модели является лист бумаги или картона. Работу начинают с чертежа пирамиды. Фигура представляется в развернутом виде. Плоское изображение на бумаге соответствует заранее выбранным размерам и параметрам. Правильная пирамида имеет основанием правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Изготавливаем для начала простую модель. В данном случае – это треугольная пирамида. Определяем размеры выбранной фигуры.
Чтобы построить развертку пирамиды, основанием которой является правильный треугольник, в центре листа, используя линейку и карандаш, нарисуем основание заданных размеров. Далее к каждой его стороне вычерчиваем боковые грани пирамиды – треугольники. Теперь переходим к их построению. Размеры сторон треугольников боковой поверхности измеряем циркулем. Ножку циркуля ставим в вершину нарисованного основания и делаем засечку. Действие повторяем, перемещаясь в следующую точку треугольника. Пересечение, полученное в результате таких действий, определит вершины боковых граней пирамиды. Их соединяем с основанием. Получаем чертеж пирамиды. Для склеивания объемной фигуры на сторонах боковых граней предусматривают клапаны. Дорисовываем небольшие трапеции.
Сборка макета
Вырезаем ножницами выполненный рисунок по контуру. Аккуратно сгибаем развертку по всем линиям. Клапаны-трапеции заправляем внутрь фигуры таким образом, чтобы ее грани сомкнулись. Их смазываем клеем. Через тридцать минут клей высохнет. Объемная фигура готова.
Развертка четырехугольной пирамиды
Сначала представим, как выглядит геометрическая фигура, макет которой будем изготавливать. Основанием выбранной пирамиды является четырехугольник. Боковые ребра - треугольники. Для работы используем те же материалы и приспособления, что и в предыдущем варианте. Чертеж выполняем на бумаге карандашом. В центре листа чертим четырехугольник с выбранными параметрами.
Каждую сторону основания делим пополам. Проводим перпендикуляр, который будет являться высотой треугольной грани. Раствором циркуля, равным длине боковой грани пирамиды, делаем на перпендикулярах засечки, установив его ножку в вершину основания. Оба угла одной стороны основания соединяем с полученной точкой на перпендикуляре. В результате получаем в центре чертежа квадрат, на гранях которого нарисованы треугольники. Чтобы зафиксировать модель на боковых гранях, дорисовывают вспомогательные клапаны. Для надежного крепления достаточно полоски сантиметровой ширины. Пирамида готова к сборке.
Завершающий этап выполнения макета
Полученную выкройку фигуры вырезаем по контуру. По начерченным линиям сгибаем бумагу. Сбор объемной фигуры производят путем склеивания. Предусмотренные клапаны смазываем клеем и фиксируем полученную модель.
Объемные макеты сложных фигур
После выполнения простой модели многогранника можно перейти к более сложным геометрическим фигурам. Развертка пирамиды усеченной намного сложнее в выполнении. Ее основаниями являются подобные многогранники. Боковые грани – это трапеции. Последовательность выполнения работы будет такой же, как та, в которой изготавливалась простая пирамида. Развертка будет более громоздкой. Для выполнения чертежа используют карандаш, циркуль и линейку.
Построение чертежа
Развертка пирамиды усеченной выполняется в несколько этапов. Боковой гранью усеченной пирамиды является трапеция, а основаниями - подобные многогранники. Допустим, что это квадраты. На листе бумаги выполняем чертеж трапеции с заданными размерами. Боковые стороны полученной фигуры продлеваем до пересечения. В результате получаем равнобедренный треугольник. Его сторону измеряем циркулем. На отдельном листе бумаги строим окружность, радиусом которой будет измеренное расстояние.
Следующий этап – это построение боковых ребер, которые имеет усеченная пирамида. Развертка выполняется внутри нарисованной окружности. Циркулем измеряют нижнее основание трапеции. На окружности отмечаем пять точек, которые соединяют линии с ее центром. Получаем четыре равнобедренных треугольника. Циркулем измеряем сторону трапеции, нарисованной на отдельном листе. Данное расстояние откладываем на каждой стороне нарисованных треугольников. Полученные точки соединяем. Боковые грани трапеции готовы. Остается только нарисовать верхнее и нижнее основания пирамиды. В данном случае это подобные многогранники – квадраты. К верхнему и нижнему основаниям первой трапеции дорисовываем квадраты. На чертеже изображены все части, которые имеет пирамида. Развертка практически готова. Остается только дорисовать соединительные клапаны на сторонах меньшего квадрата и одной из граней трапеций.
Завершение моделирования
Перед склеиванием объемной фигуры чертеж по контуру вырезают ножницами. Далее развертку аккуратно сгибают по начерченным линиям. Крепежные клапаны заправляем внутрь модели. Их смазываем клеем и прижимаем к граням пирамиды. Модели даем высохнуть.
Изготовление разных моделей многогранников
Выполнение объемных моделей геометрических фигур - увлекательное занятие. Чтобы его досконально освоить, следует начинать с выполнения самых простых разверток. Постепенно переходя от простых поделок к более сложным моделям, можно приступать к созданию самых замысловатых конструкций.
Читайте также: