Как сделать проверку логарифмического уравнения

Обновлено: 07.01.2025

Очень важно! Этот переход можно делать только если:

- вы написали ОДЗ для исходного уравнения, и в конце проверите, входят ли найденные корни в ОДЗ. Если это не сделать, могут появиться лишние корни, а значит – неверное решение.

- число (или выражение) в основании логарифмов слева и справа одинаково;

Не написали ОДЗ и не проверили корни на соответствие ОДЗ. Уравнение решено неверно.

Основания логарифмов разные, переход к $x-7=4$ невозможен.

Заметим, что уравнения 3 и 4 можно легко решить, применив нужные свойства логарифмов.

Пример. Решить уравнение $2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10$

$2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10$ ОДЗ: $x>0$

Слева перед логарифмом стоит коэффициент, справа сумма логарифмов. Это нам мешает. Перенесем двойку в показатель степени $x$ по свойству: $n \log_b=\log_b⁡$. Сумму логарифмов представим в виде одного логарифма по свойству: $\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a$

Мы привели уравнение к виду $\log_a⁡=\log_a⁡$ и записали ОДЗ, значит можно выполнить переход к виду $f(x)=g(x)$.

Получилось неполное квадратное уравнение . Решаем его и получаем корни.

Проверяем подходят ли корни под ОДЗ. Для этого в неравенство $x>0$ вместо $x$ подставляем $5$ и $-5$. Эту операцию можно выполнить устно.

Первое неравенство верное, второе – нет. Значит $5$ – корень уравнения, а вот $-5$ – нет. Записываем ответ.

Пример: Решить уравнение $\log^2_2⁡-3 \log_2+2=0$

Типичное уравнение, решаемое с помощью замены переменных . Заменяем $\log_2⁡x$ на $t$.

Настоящая статья содержит систематическое изложение методов решения логарифмических уравнений с одной переменной. Это поможет учителю, прежде всего в дидактическом смысле: подбор упражнений позволяет составить для учащихся индивидуальные задания с учетом их возможностей. Данные упражнения могут быть использованы для урока обобщения и для подготовки к ЕГЭ.
Краткие теоретические сведения и решения задач позволяют учащимся самостоятельно развивать умения и навыки решения логарифмических уравнений.

Решение логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:

Обычно решение логарифмических уравнений начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования.
Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.

1. Уравнения вида – выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:

1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если ) .

2. Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

3. Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

сделать замену переменной;
решить полученное уравнение;
сделать обратную замену;
решить полученное уравнение;
сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

4.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

прологарифмировать уравнение;
решить полученное уравнение;
сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
корни (решения).

5. Уравнения, которые не имеют решения.

Для решения таких уравнений надо найти ОДЗ уравнения.
Проанализировать левую и правую часть уравнения.
Сделать соответствующие выводы.

Исходное уравнение равносильно системе:

Доказать, что уравнение не имеет решения.

ОДЗ уравнения определяется неравенством х ≥ 0. На ОДЗ имеем

Сумма положительного числа и неотрицательного числа не равна нулю, поэтому исходное уравнение решений не имеет.

Ответ : решений нет.

В ОДЗ попадает только один корень х = 0. Ответ: 0.

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

ОДЗ уравнения – множество всех положительных чисел.

Поскольку

Аналогично решаются данные уравнения:

Задачи для самостоятельного решения:

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:

в зависимости от того, какое неравенство или проще.

Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

то мы переходим к системе:

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.

3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.

Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:

1 . Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду

Пример. Решим уравнение:

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.

Для упрощения вычислений давайте перенесем логарифмы с отрицательными коэффициентами в противоположную часть уравнения - из соображений, что умножать проще, чем делить:

Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:

Получим уравнение:

Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:

Проверим, удовлетворяет ли наш корень ОДЗ уравнения:

Ответ: х=5

2 . Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.

Пример. Решим уравнение:

Найдем ОДЗ уравнения:

Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.

Важно! Прежде чем вводить замену, нужно "растащить" логарифмы, входящие в состав уравнения на "кирпичики", используя свойства логарифмов.

При "растаскивании" логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:

Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:

Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:

Теперь мы видим, что неизвестное содержится в уравнении в составе . Введем замену: . Так как может принимать любое действительное значение, на переменную мы никаких ограничений не накладываем.

Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:

Вернемся к исходной переменной:

Ответ: ,

Решение логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь.

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

$log_8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$

Особенно можно выделить три формулы:

Основное логарифмическое тождество:

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$

Некоторые свойства логарифмов

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:

2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_b>0$, а если по разные, то $log_b 0$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям: $\0; \7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.

Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$

Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

ОДЗ данного уравнения $x+1>0$

Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.

При решении логарифмических уравнений полезно помнить некоторые свойства логарифмов:

- основное логарифмическое тождество

; ;

- формула перехода к новому основанию

Замечание: десятичный логарифм (по основанию 10)

натуральный логарифм (по основанию )

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

По определению логарифма

Уравнения вида выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:

1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если

_{Решить уравнение}_.

Потенцирование

Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

Введение новой переменной

Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

сделать замену переменной;

решить полученное уравнение;

сделать обратную замену;

решить полученное уравнение;

сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

Логарифмирование обеих частей уравнения

Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

решить полученное уравнение;

Решить уравнение .

Поскольку нет возможности выразить обе части уравнения через степени с одинаковым основанием, то логарифмируем по основанию 10 (в уравнении есть десятичный логарифм, да и для числа 100 это основание удобно). Логарифмы равных положительных чисел (фактически одного и того же числа, выраженного по-разному) равны, поэтому логарифм левой части равен логарифму правой части: lg ,

Легко убедиться, что корни не посторонние.

Приведение к одному основанию

Решите уравнение: .

Решение: ОДЗ: х0. Перейдем к основанию 3.

или ;

Функционально-графический метод

Решить графически уравнение:

= 3 – x.

Можно построить графики функций

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из

функций у = f(x) возрастает, а другая

y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х. Если корень имеется, то его можно угадать. В нашем случае функция

возрастает при х0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при

Читайте также: