Как сделать проекцию прямой на плоскость

Обновлено: 08.01.2025

Пусть прямая представляется уравнениями

где не равны нулю одновременно (случай рассмотрен ниже в примере 3). Чтобы найти проекцию прямой на плоскость достаточно исключить из уравнений (1)-(2). Полученное уравнение (вместе с уравнением будет представлять искомую проекцию. Аналогично находятся проекции на плоскости и

Пример 1. Найти проекцию прямой

Решение. Чтобы исключить 2, умножим первое из данных уравнений на 4, а второе — на 3 и сложим. Получим:

Это уравнение вместе с уравнением

представляет проекцию прямой на плоскость XOY.

Пояснение. Плоскость (5) проходит через прямую (§ 148). С другой стороны, как видно из (6) (где не содержится z), эта плоскость (§ 124, п. 2) перпендикулярна плоскости Значит, прямая, по которой плоскость (6) пересекается с плоскостью (7), есть проекция прямой на плоскость (7) (ср. § 148, пример 3).

Пример 2. Проекция прямой

на плоскость представляется (в плоской системе координат уравнением (9). Исключать координату не требуется, так как в уравнении (9) она уже не содержится. Плоскость (9) перпендикулярна плоскости она проецирует прямую на

Пример 3. Найти проекции прямой

на координатные плоскости.

Решение. В обоих уравнениях 2 отсутствует, так что обе плоскости (рис. 172) перпендикулярны плоскости Прямая перпендикулярна и проецируется на плоскость в точку с координатой Из системы находим

Уравнение проекции на плоскость можно найти по общему способу, исключая из (10) и (11).

Получим т. е. то же равенство, которое выше найдено для (из рисунка видно, что прямая V отстоит от на расстояние равное Уравнение проекции на плоскость есть

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?

$\dfrac<x-x_0> Дано уравнение прямой в каноническом виде =\dfrac=\dfrac$

И общее уравнение плоскости

И вообще - что значит проекция прямой на плоскость?
Проекция вектора на ось - ясно что значит
Можно найти угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости

Последний раз редактировалось neverland 18.12.2009, 17:34, всего редактировалось 1 раз.

Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой. Взять две точки на прямой, найти точки являющиеся проекциями, и по ним написать уравнение нужной вам прямой.

Логически проще всего -- так.

Взять две точки на прямой (это стандартно). И спроецировать каждую из них на плоскость (тоже стандартно). И провести прямую через две получившиеся точки (а уж насколько это стандартно -- так и не описать словами).

Возможны разные оптимизации. Скажем, в качестве одной из точек взять пересечение прямой и плоскости (тогда её и проецировать-то не придётся). При этом возможен исключительный случай -- когда прямая параллельна плоскости; ну тогда и вообще вторая-то точка и не нужна.

Можно с векторами. (Но наверняка сложней будет.) Если -- точка на искомой проекции, -- точка пересечения плоскости с прямой (если не пересекаются, то там еще легче),, то ,\vec n)=0$" />
и ,\vec n,\vec a)=0$" />
.

В условии, скорее всего, пропущено одно слово --- прямоугольная (или ортогональная ) проекция. А то ведь если прямая не параллеьна плоскости, так можно вообще взять проекцию вдоль этой прямой, получится точка

Если плоскость задана уравнением , то --- вектор, ортогональный к плоскости. Пусть
= \left( \frac>, \frac>, \frac> \right) $" />

Пусть _0$" />
--- какая-нибудь точка плоскости. Тогда для произвольного \in \mathbb^3$" />
ортогональная проекция $" />
на нашу плоскость будет равна -\mathbf_0) - \big((\mathbf -\mathbf_0\big) \cdot \mathbf)\mathbf + \mathbf_0$" />
(точка обозначает скалярное произведение).

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде + t\mathbf : t \in \mathbb \>$" />
. Затем подставьте в уравнение проекции и сразу найдите параметрическое уравнение проекции. Ну а затем, при необходимости, переходите от параметрического уравнения к каноническому. Если прямая не параллельна плоскости, то в качестве _0 = \mathbf$" />
можно взять точку пересечения прямой и плоскости, кое-что подсократится.

Спасибо, ясно, осталось только понять - как находить проекцию точки на плоскость

-- Вс дек 20, 2009 01:20:21 --

Логически проще всего -- так.

Стандартно, но математически пока неясно как искать

-- Вс дек 20, 2009 01:22:15 --

$(\overrightarrow<M_0 M> Да, так посложнее. А что значит ,\vec n,\vec a)$
Тройное скалярное произведение?

-- Вс дек 20, 2009 01:23:27 --

$\vec r$

А что значит тут ?

-- Вс дек 20, 2009 01:39:49 --

Я не очень понял, как находить проекцию точки на плоскость.
Уравнение прямой

$\dfrac<x-x_0> =\dfrac=\dfrac$

И общее уравнение плоскости

$Ax+By+Cz+D=0 ; (\gamma)$

Хотелось бы найти проекцию точки на плоскость

У прямой , проходящей через точку и перпендикулярной плоскости направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости
=\dfrac=\dfrac$" />

Пусть точка является проекцией точки на плоскость
Т.к. точка принадлежит , то уравнение плоскости можно записать

-- Вс дек 20, 2009 01:43:42 --

По идее

отсюда можно найти координаты точки

Вектор нормали есть -- он в уравнении плоскости задан, точку на прямой выбрать тоже можем. Перпендикуляр к плоскости через точку проведем.

$(\overrightarrow<M_0 M> А что значит ,\vec n,\vec a)$
Тройное скалярное произведение?

Правильно. Теперь припишите к этой цепочке справа "" и выразите , и через -- это и будут рекомендованные Вам параметрические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости. Подставьте их в уравнение плоскости, найдите значение параметра , ну а за ним и .

Последний раз редактировалось meduza 20.12.2009, 15:23, всего редактировалось 1 раз.

$(\overrightarrow<M_0 M> А что значит ,\vec n,\vec a)$
Тройное скалярное произведение?

Это смешанное произведение: . (Хотя "тройное скалярное" -- это вроде синоним).
,\vec n)=0$" />
значит, что вектор $" />
лежит в плоскости (по сути это и есть уравнение плоскости, поэтому вместо него можно написать ваше ), а ,\vec n,\vec a)=0$" />
-- что вектор нормали к плоскости, прямая и ее проекция лежат в одной плоскости. Отсюда уравнение проекции однозначно определяется.

Проще всего - запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую и перпендикулярно заданной плоскости.
Две плоскости и определяют искомую прямую, тем более, что в задаче не оговорено в каком виде должна быть записана проеция

$\left\< \begin Спасибо! Получилось так x=At+x_0\\ y=Bt+y_0\\ z=Ct+z_0\\ \end \right$

$" />

Координаты проекции точки

$\left\< \begin x_1=-A\dfrac+x_0\\ y_1=-B\dfract+y_0\\ z_1=-C\dfract+z_0\\ \end \right$

Такое преобразование позволяет определить натуральную величину отрезка прямой и углы наклона его к плоскостям проекций.

При решении задачи новую плоскость, например, V1 (рис. 5), ставим в положение, параллельное отрезку. В этом случае новая ось проекций будет проходить параллельно горизонтальной проекции прямой:

Через горизонтальные проекции а и Ь, перпендикулярно новой оси х 1 , проводим линии связи и на них откладываем х координаты точек (то есть расстояние от оси х до фронтальных проекций точек). Новая проекция а 1 Ь 1 будет равна натуральной величине отрезка, а угол а равен углу наклона отрезка к плоскости Н.

Преобразование прямой уровня в проецирующую прямую

В данном случае прямую необходимо поставить в положение, перпендикулярное плоскости проекций, чтобы на эту плоскость прямая спроецировалась в точку (рис. 6).

Так как данная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, то для преобразования ее в проецирующую прямую, необходимо заменить фронтальную плоскость V на новую V1. Располагаем плоскость V1 перпендикулярно АВ. Тогда на плоскость V1 прямая спрое- цируется в точку (а’ 1=Ъ’ 1).

Преобразование прямой общего положения в проецирующую

Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую за одну замену нельзя, так как невозможно расположить новую плоскость одновременно перпендикулярно прямой общего положения и оставшейся старой плоскости проекций.

Чтобы прямую общего положения АВ (рис. 7) преобразовать в проецирующую, проводят две замены, то есть обе задачи, первую и вторую, решают последовательно. Сначала прямую общего
положения преобразуют в прямую, параллельную плоскости проекций (прямую уровня), а затем эту прямую преобразуют в проецирующую.

Взаимное положение двух прямых

Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные положения:

пересекаться, то есть иметь одну общую точку;
скрещиваться, то есть не иметь общей точки;
быть параллельными, когда точка пересечения прямых удалена в бесконечность.

Пересекающиеся прямые. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи (рис. 8).

Скрещивающиеся прямые. Если прямые в пространстве не пересекаются, а скрещиваются (рис. 9), то хотя на чертеже их одноименные проекции и пересекаются, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых. Точки 1, 2, 3 и 4 являются конкурирующими. Конкурирующими точками называются точки, лежащие на одной линии связи, но на разных прямых.

Параллельные прямые

Если прямые общего положения в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой (рис. 10).

Прямые частного положения параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые (рис. 11).

Зависимость между декартовыми координатами принадлежащих плоскости точек, выраженная аналитически в виде многочлена первой степени:

Преобразуется в уравнение проекции прямой, когда как минимум один из них равен нулю: Cz=0; By=0; Ax=0. Например для горизонтальной проекции прямой:

То есть, проекции прямой - линия первого порядка.

Построим проекции прямой, которой принадлежат точки А и В. Спроецировав их на плоскости проекций H, V и W, а затем соединив между собой одноименные проекции A`B`, A"B" и A"`B"` получаем проекции прямой.

На эпюре (КЧ) прямая может быть задана проекциями двух точек (отрезком) или непосредственно своими проекциями.

На представленном рисунке положение прямой d определяют проекции прямой d` и d".

Построить проекции прямой зная ее следы lH и lV

Для заданных следов lH и lV находим их проекции l"H и l`V. Соединяя проекции следов l"H и l"V получаем фронтальную проекцию прямой l". Соединяя проекции следов l`H и l`V получаем горизонтальную проекцию прямой l`.

Читайте также: