Как сделать приращение функции
Пусть дана функция . Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное и новое
Подставляя в формулу (2) выражение для из формулы (3), получим
Как правило, в тех случаях, когда вводятся исходное значение аргумента считается фиксированным, а новое значение х — переменным. Тогда оказывается постоянной, — переменной. Приращения также будут переменными. Формула (4) показывает, что переменная А у является функцией переменной
Пример 1. Для функции в точке найти приращение функции соответствующее приращению аргумента Решение. По формуле (4)
Пример 2. Найти приращение функции при переходе аргумента из точки в точку
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Приращение аргумента, приращение функции"
· познакомиться с понятием непрерывной функции;
· познакомиться с понятием предел функции в точке;
· рассмотреть примеры использования данных понятий для решения задач.
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.
Не всегда нам надо знать точные значения тех или иных параметров. Иногда нам достаточно знать, как они изменяются. Например, если мы в течение одного дня выйдем на улицу, то нам не важно, на сколько именно изменилась температура воздуха, а нам важно похолодало или потеплело. Или при движении автомобиля нам, не важно, знать точную скорость, а важно определить разгоняется автомобиль или тормозит.
Причём, если на улице потеплело, то изменения будут со знаком плюс и наоборот если похолодало, то изменения будут со знаком минус.
Если автомобиль разгоняется, то изменения будут со знаком плюс, если тормозит – то со знаком минус.
Для описания таких изменений было введено понятие приращение.
Определение.
Пусть функция y = f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1 – x0 называют приращением аргумента, а разность f(x1) – f(x0) называют приращением функции.
Приращение аргумента обозначают так:
Приращение функции обозначают так:
Давайте рассмотрим, что же такое приращение аргумента и функции на графике.
Рассмотрим ещё один пример.
Давайте вспомним определение непрерывной функции, которое мы формулировали ранее.
Определение непрерывности функции в точке x = a выглядит так:
Определение непрерывности функции в точке можно записать так:
Когда мы вводили определение непрерывной функции, то мы говорили, что функция непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка. Давайте уточним, что означает непрерывность функции в концевых точках промежутка, например, как понимать непрерывность функции в точках a и b отрезка [a; b].
Давайте изобразим график линейной функции. Отметим приращение аргумента и функции. И найдём чему равно отношение приращения аргумента к приращению функции.
Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Приращение функции
Понятия "приращение функции" и "приращение аргумента"
Допустим, х – некоторая произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х 0 . Приращением аргумента в точке х 0 называется разность х-х 0 . Обозначается приращение следующим образом: ∆х.
Иногда эту величину еще называют приращением независимой переменной в точке х 0 . Из формулы следует: х = х 0 +∆х. В таких случаях говорят, что начальное значение независимой переменной х 0 , получило приращение ∆х.
Если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет изменяться.
Приращением функции f в точке x 0 , соответствующим приращению ∆х называется разность f(x 0 + ∆х) – f(x 0 ). Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем, по определению:
Иногда, ∆f еще называют приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция была, к примеру, у=f(x).
Геометрический смысл приращения
Посмотрите на следующий рисунок.
Как видите, приращение показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через начальное и конечное положение точки.
Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента
Пример 1. Найти приращение аргумента ∆х и приращение функции ∆f в точке х 0 , если f(х) = х 2 , x 0 =2 a) x=1.9 b) x =2.1
Воспользуемся формулами, приведенными выше:
∆ f=f(1.9) – f(2) = 1.9 2 – 2 2 = -0.39;
∆ f=f(2.1) – f(2) = 2.1 2 – 2 2 = 0.41.
Пример 2 . Вычислить приращение ∆f для функции f(x) = 1/x в точке х 0 , если приращение аргумента равняется ∆х.
Опять же, воспользуемся формулами, полученными выше.
Пример 3. . Найти приращение функции y=2x 2 при x0=3 и Δx=0,1
Приращение функции. Разностная форма условия непрерывности
- Функция инкремента. Форма разности в непрерывных условиях. Рассмотрим функцию y= / (x), заданную в интервале (a, B*).Пусть X-любая фиксированная точка в интервале (a,&), а Ah-любое число
меньшее, так что значение x+Ah также находится в интервале(a, B). Это число Ah обычно называют p R A S Ch e N I E m a R GU m e n t a. *В качестве набора распределений функций вместо интервала
K C i i i y=> (x) в точке x, соответствующей приращению аргумента Ah, назовем число AU=1 (x+\x) -1 (x). (5.1) таким образом, для функции Y=W T X приращение, соответствующее приращению аргумента Ah,
принимает вид AU=ε1ν(x+Ah)—SSH=2π^x+(5.2), и следующий ut ver w D En e:функция y=1(x). Фактически, по определению, функция y=/(x) непрерывна в точке x, если существует предел) (x+Ah)= / (x). (5.3) наличие предельных значений, благодаря разделу 4, Глава 4, Раздел 3
(5.4) p a z n o s t n o y f o r m o Y условия n e p r e r s в n s t и функция g/= / (x) в точке X. используйте это условие повторно в будущем. С помощью условия (5.4)еще раз проверьте, что функция
Формулы (5.2), из условия / SOE^x+ / 0′
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Читайте также: