Как сделать поэтажную схему балки
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Для балки требуется построить эпюры изгибающего момента M и поперечной силы Q (аналитически). Дано: F=10кН, q=4кн/м, M=12кНм
Расчет ведется с верхнего этажа. Для верхней балки определяются реакции и строятся эпюры поперечной силы и изгибающего момента.
Далее рассчитываются нижележащие этажи. При этом нагрузка с верхнего этажа на нижний передается через реакцию в соответствующей опоре с обратным знаком.
После расчетов всех этажей построенные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов соединяются по одной линии.
Решение:
1. Строим этажную схему: мысленно убираем шарниры и конструкция распадается на простые балки.
3. Рассчитываем нижележащие этажи, нагрузка с верхнего этажа на нижний передается через соответствующую реакцию с обратным знаком.
Балка СE Определяем опорные реакции:
Построим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M для балки СЕ.
Балка AB: Эта балка консольная, реакции можно не определять, но расчет вести со свободного незакрепленного конца.
Балка EK: Эта балка тоже консольная, реакции можно не определять, расчет ведем со свободного незакрепленного конца.
4. Совмещаем все построенные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по одной линии.
Пример решения задачи по расчёту многопролетной балки: выполним её кинематический анализ, определим реакции опор и построим эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов.
Многопролетной (шарнирной) балкой называется статически определимая система, состоящая из ряда однопролетных и консольных балок, соединенных между собой шарнирами.
В большинстве случаев на практике возведение многопролетных балок выгодно с точки зрения снижения расхода материалов.
Рассмотрим типовой пример расчета многопролетной статически определимой балки (рисунок 3.17):
Кинематический анализ:
- W = 3×6 – 3×3 – 2×2 −5 = 0, следовательно система может быть неизменяемой; : диск АВ вместе с диском "земля" образует единый диск, который соединен с диском СDЕGН с помощью трех непараллельных и непересекающихся в одной точке стержней.
Система в целом неизменяема.
Расчет реакций опор
После кинематического анализа выполняется определение опорных реакций и реакций связей.
Для этого: заменим внутренние (шарниры В,С) и внешние (заделка А, шарнирно-подвижные опоры D,G) связи их реакциями, которые будут представлять собой неизвестные пока сосредоточенные воздействия.
После этого расчленим заданную систему на элементы.
Рассматривая каждый элемент с учетом их совместной работы, определим опорные реакции и реакции связей.
Рисунок 3.17 – Пример расчета многопролетной балки
Построение эпюр
Построение эпюры изгибающих моментов
Для решения задачи методом сечений имеем шесть (AB, ВС, СD, DЕ, ЕG, GН) силовых участков.
Начало силового участка примем в сечении "А":
Рисунок 3.18 – Построение эпюры М на участке АВ
Рисунок 3.19 — Построение эпюры М на участке ВА
Участок ВС:
Начало консоли примем в точке "В".
Рисунок 3.20 — Построение эпюры М на участке ВС
Рисунок 3.21 — Построение эпюры М на участке СD
Рисунок 3.22 — Построение эпюры М на участке DE
Рисунок 3.23 — Построение эпюры М на участке GH
Рисунок 3.24 — Построение эпюры М на участке ЕG
Окончательно получим эпюру моментов, изображенную на рисунке 3.17.
Построение эпюры поперечных сил
Первоначально рассмотрим силовые участки с линейной эпюрой моментов.
Эпюра моментов параллельна базису (оси участка), поэтому тангенс угла наклона эпюры моментов, а значит и поперечная сила на этом участке равны нулю.
Участок ЕG: Участок DЕ:
Участок АВ: Участок ВС:
Рисунок 3.25 – Построение Эпюр Q на участках EG, DE, AB, BC, CD
Окончательная эпюра Q изображена на рисунке 3.17.
Построение эпюры продольных сил
Отсутствие горизонтальных составляющих всех реакций позволяет сделать вывод о том, что продольные усилия на всех силовых участках отсутствуют.
Общая статическая проверка.
Рисунок 3.26 – Статическая проверка
Балка состоит из двух дисков Д1 и Д2 (Д = 2), одного простого шарнира Ш (Ш = 1) и четырех опорных стержней С1 – С4 (СОП = 4) (рисунок 2).
1. Определяем степень свободы системы по формуле Чебышева
W = 3Д – 2Ш – Соп = 3 × 2 – 2 × 1 – 4 = 0.
Так как W = 0, балка статически определима и может быть геометрически неизменяемой.
2. Проводим структурный анализ системы. Диск Д1 присоединен к земле при помощи трех опорных стержней С1, С2, С3, не параллельных между собой и не пересекающихся в одной точке. Следовательно, систему Д1–земля можно считать одним диском. К нему посредством шарнира Ш и стержня С4 прикреплен диск Д2, причем ось стержня не проходит через шарнир.
Таким образом, данная многопролетная балка является статически определимой, геометрически неизменяемой и неподвижно прикрепленной к земле.
2 Построение эпюр внутренних усилий от неподвижной нагрузки
Наметим расчетные сечения 1–6 (рисунок 3, а). Изобразим поэтажную схему (рисунок 3, б), в которой двухопорная балка 1–5 является основной, балка 5–8 – дополнительной.
Расчет начнем с дополнительной балки 5–8, на которую действует только заданная нагрузка. Рассматриваем ее как простую двухопорную балку (рисунок 3, в). Составим уравнения моментов относительно правой и левой опор:
∑М7 = 0; – V5 · 2d + 2P · 2d – Pd = 0, ∑М5 = 0; V7 · 2d – P · 3d = 0,
откуда V5 = (4Pd – Pd)/2d = 1,5P; V7 = 3Pd/2d = 1,5P.
Проверка: SY = V5 + V7 – 2P – P = 1,5P + 1,5P – 3P = 0.
Далее выполняем расчет основной балки 8–11, которая загружена заданной нагрузкой и сосредоточенной силой, равной соответствующей опорной реакции вышерасположенной балки 5–8: V5 = 1,5P.
Составим уравнения моментов относительно правой и левой опор:
∑М4 = 0; – V1 · 3d – V5 · d + 2P · 2d – 0,5Pd = 0,
∑М1 = 0; V4 · 3d – V5 · 4d – 2Pd – 0,5P · 2d = 0,
откуда V1 = (– 1,5Pd + 4Pd – 0,5Pd)/3d = P; V4 = (1,5P · 4d + 2Pd + Pd)/3d = 3P.
Проверка: SY = V1 + V4 – V5 – 2P – 0,5P = P + 3P – 1,5P – 2P – 0,5P = 0.
Определяем методом сечений внутренние поперечные силы и изгибающие моменты в расчетных точках, рассматривая отдельные однопролетные балки (см. рисунок 3, в).
Балка 1–5.
Q2 справа = V1 – 2Р =
= P – 2Р = –Р,
Q3 справа = V1 – 2Р – 0,5Р =
= Р – 2,5Р = –1,5P,
Q4 справа = Q5 слева = V5 = 1,5P;
М1 = 0, М2 = V1 · d = Pd,
М3 = V1 · 2d – 2P · d =
= 2Pd – 2Pd = 0,
М4 = –V5 · d = –1,5Pd.
Балка 5–8.
– 2Р = 1,5Р – 2Р = –0,5P,
Q7 справа = Q8 = P;
М6 = V5 · d – 2P · d =
= 1,5Pd – 2Pd = –0,5Pd,
М7 = –Рd, М8 = 0.
Строим эпюры Q и M (рисунок 3, г).
3 Построение линий влияния статическим методом
Для заданной многпролетной балки (рисунок 4, а) изображаем поэтажную схему (рисунок 4, б).
Линия влияния V1. Опора 1 относится к основной балке 1–5. Вначале строим линию влияния в пределах этой балки (рисунок 5, а), при этом положение силы Р = 1 задаем координатой z1, отсчитываемой от опоры 1. Составим уравнение равновесия SМ4 = 0:
1 × (3d – z1) – V1· 3d = 0, отсюда V1 = 1 – z1/3d.
Определим V1 при расположении груза Р = 1 в двух характерных точках:
(груз на опоре 1), (груз на опоре 4).
По полученным ординатам в пределах балки 1–5 проводим прямую.
Далее продолжаем линию влияния в вышерасположенную дополнительную балку 5–8. Уже известную ординату в сечении 5 соединяем с нулевой ординатой под опорой 7. Характерные значения вычисляем из подобия треугольников. Линия влияния V1 показана на рисунке 4, в.
Линия влияния V4. Опора 4 также принадлежит основной балке 1–5. Построение ведем аналогично. Составим уравнение SМ1 = 0:
– 1 × z1 + V4 · 3d = 0, отсюда V4 = z1/3d.
(груз на опоре 1), (груз на опоре 4).
По полученным ординатам в пределах балки 1–5 проводим прямую.
Далее уже известную ординату в сечении 5 соединяем с нулевой ординатой под опорой 7. Характерные значения вычисляем из подобия треугольников. Линия влияния V4 показана на рисунке 4, г.
Линия влияния v7. Опора 7 принадлежит дополнительной балке 5–8, поэтому линия влияния будет расположена только в ее пределах. Начало координат выберем на опоре 5, положение груза Р = 1 будем задавать координатой z2. Составим уравнение равновесия SМ5 = 0;
V7 · 2d – 1 × z2 = 0, откуда V7 = z2/2d.
(груз на опоре 5),
(груз на опоре 7).
По полученным ординатам строим линию влияния V7 (рисунок 4, д).
Линии влияния Q2 и М2. Сечение 2 расположено между опорами основной балки 1–4, поэтому вначале построим л. в. под ней (рисунок 6, а). Рассечем балку в точке 2 (рисунок 5, б, в) и рассмотрим равновесие той ее части, на которой нет груза Р = 1 (таблица 1).
Таблица 1. Построение л. в. Q2 и М2.
Груз Р = 1 слева
Груз Р = 1 справа
SY прав. ч. = 0, Q2 = –V4.
SY лев. ч. = 0, Q2 = V1.
Л. в. Q2 = – л. в. V4
Л. в. Q2 = л. в. V1
SМ2 прав. ч. = 0,
Л. в. М2 = 2d · л. в.V4
Л. в. М2 = d · л. в.V1
Определяем реакции опор и строим эпюры моментов М и поперечных сил Q.
Изображаем расчетную схему
Рис.1 - Расчетная схема.
Выделяем главные балки АВ, DE и второстепенную ВС. Строим поэтажную схему.
Рис. 2 - поэтажная схема.
Расчет балки верхнего этажа.
Определим реакции опор.
Начало координат выбираем в крайней левой точке. Рассмотрим равновесие отсеченной части бруса:
Читайте также: