Как сделать отношение чисел
Отношение чисел — это частное от деления одного числа на другое.
Отношение чисел a и b можно записать двумя способами: с помощью знака деления, либо с помощью дробной черты (в виде дроби):
a : b или | a | . |
b |
Эти записи читаются так: отношение a к b или отношение числа a к числу b .
Числа a и b, составляющие отношение a : b, называются членами отношения. Делимое называется предыдущим членом отношения, а делитель — последующим членом отношения. Так, a — предыдущий член, b — последующий.
Отношение используют для сравнения двух чисел. Так, отношение a : b показывает, во сколько раз a больше b (если делимое больше делителя) или какую часть числа b составляет a (если делимое меньше делителя).
Отношение 35 к 7 показывает, что число 35 в 5 раз больше, чем число 7.
2)
Отношение 12 к 15 показывает, что число 12 составляет 0,8 от числа 15.
Из основного свойства частного следует основное свойство отношения:
Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Отношением пары чисел называют результат их деления одно на другое. То есть понятия частного и отношения являются синонимами, обозначая одно и то же понятие. При этом число, которое делят, называют предыдущим членом, а число, на которое осуществляется деление, – последующим.
Общая форма записи отношения чисел: a : b или, соответственно
В таких записях a – предыдущий член отношения, b – последующий. Обязательное условие для всякого отношения: b≠0.
Свойства отношений
Членами всякого отношения могут быть как целые, так и дробные, рациональные или другие числа.
Если члены отношения умножить (либо разделить) на одно и то же число, то его значение не изменится. Это свойство называют основным для отношений чисел. Деление членов отношения на одно и то же число называют сокращением отношения.
Это свойство нередко используется для перехода от нецелых членов отношения к целым, что более удобно для расчетов.
Пример №4. Имеется треугольник, длины сторон которого относятся как 3:4:5.
Пример №5. Даны 4 пропорциональных числа, которые относятся между собой как 1:2:4:5.
В задачах, в которых приведены такого рода отношения, обычно вводится коэффициент пропорциональности и, используя свойства объекта, для которого они приведены, и (или) данные из условия, по заданному отношению находят абсолютные значения величин для этого объекта. При этом под абсолютными величинами понимают величины, выраженные в конкретных единицах измерения – кг, км и так далее.
Процентное отношение
Процентное отношение – это характерное и одно из наиболее распространенных направлений прикладного использования отношения чисел. Обозначение процентного отношения – % (процент). 1 % – это сотая часть от целого.
Процентное отношение основывается на обычном отношении, которое множат на 100. Процентное отношение показывает часть объекта (величины) в сравнении с его 100 частями, которые принимаются за целое.
Где a – часть целого, выраженная в единицах измерения, b – значение целого, выраженное в тех же единицах, z – количество процентов, которое составляет данная часть от целого.
Пример. На книжной полке 80 книг. Сколько процентов от этого количества составляют 36 книг?
Обозначим искомую величину через х. Тогда получаем:
Пример. Фермер посеял пшеницу на 2 га, что составляет 80 % от всех его посевных площадей. Какова общая посевная площадь, которой он располагает?
Обозначим искомую величину через х. Составим процентное отношение на основании данных задачи:
Нередко вместо понятия процентного отношения используют понятие долей. В этом случае целое абстрактно принимается за 1, а понятие процента не используется. Доля (часть) от данного целого в такой ситуации – это всегда будет величина, меньшая 1. Для определения доли (части) от целого используется обычное отношение:
Где b – часть от целого, c – величина целого, a – доля, которую b составляет от c.
Специальной единицы измерения доля не имеет и измеряется просто в единицах.
Пример. Какую долю тиража изданной книги удалось продать писателю, если тираж составляет 10 тысяч экземпляров, а приобретено было 6830 книг?
Обозначим искомую величину через х. Составим отношение и найдем х:
Переход от долей к процентам предельно прост: достаточно умножить долю на 100. Так, в предыдущем примере 0,683 по отношению к общему тиражу составит 0,683×100%=68,3% .
Пример. С 1 га планировалось собрать 40 тонн картофеля. Реальная урожайность составила 0,7 от планируемой. Сколько тонн картофеля собрали?
Обозначим искомую величину через х. Составим выражение для расчета реальной урожайности и найдем х:
Пропорция
Пропорцией называют равенство двух числовых отношений. В общем виде такое равенство записывают как:
где a и d называют крайними членами пропорции, b и c – средними. Прочтение пропорции: отношение a к b равно отношению c к d, или a относится к b как c к d, или a во столько раз больше b во сколько больше d.
Примеры конкретных пропорций:
При решении практических задач с использованием отношений в виде пропорции чаще всего от деления переходят к умножению ее членов. Для этого используют основное ее свойство.
Основное свойство пропорции
Произведение ее крайних членов равно произведению средних. Математически это свойство записывается так:
Пример:
Если провести дальнейшие вычисления, то в итоге мы должны прийти к равенству чисел слева и справа. А именно:
Отсюда следует важная особенность: основное свойство применяют для проверки истинности составленной пропорции. Если в результате числовых преобразований получено верное равенство, то это означает, что исходные 4 числа действительно могут составить пропорцию.
Как найти неизвестный член пропорции?
Когда один из членов пропорции неизвестен и требуется найти его, то применяют правило: для вычисления неизвестного крайнего (среднего) члена перемножают средние (крайние) и делят полученное произведение на известный крайний (средний) член.
Математически это выражается так:
То есть для определения неизвестного члена перемножают пару соответствующих известных и делят их на тот известный член, который не имеет известной пары.
Пример. Дана пропорция:
Требуется найти х.
Пример. Дана пропорция:
Необходимо найти х.
На этом занятии Вы узнаете, что называют отношением двух чисел и что оно показывает. А также научитесь находить отношение двух чисел.
Давайте рассмотрим и решим задачу.
Дан деревянный брусок длиной 4 метра. От этого бруска отпилили кусок длиной 3 метра. Какую часть бруска отпилили?
Для начала узнаем, какую часть от бруска составляет 1 метр. Длина куска равна 4 метрам, поэтому 1 метр из четырех - это 1 : 4 бруска. Следовательно, 3 метра будут составлять 3 : 4 бруска. Ответ мы можем записать как в виде обыкновенной дроби, так и в виде десятичной дроби, так и в процентах.
=0,75=75%.
Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Чаще всего частное записывают в виде отношения тогда, когда хотят показать, сколько частей чего-либо содержится в чем-то.
В математике рассматривают отношение только для положительных чисел и записывают при .
Читают так: отношение пяти к семи или отношение чисел пять и семь.
Заметим, что если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин (отношением масс, отношением длин, отношением объемов и т.д.).
Решим еще одну задачу.
Масса книги - 1 килограмм, а масса ее переплета- 50 грамм. Нужно найти отношение массы переплета к массе всей книги.
Для того чтобы найти отношение масс, нам нужно обе величины привести к общей единой единице измерения. 1 килограмм = 1000 грамм. Значит, отношение массы переплета к массе = 0,05 или 5%.
Итак, масса переплета составляет 0,05 массы всей книги, или масса переплета составляет 5% массы всей книги.
Итак, на этом уроке вы узнали, что называют отношением двух чисел и что оно показывает. А также научились находить отношение двух чисел.
Отношением двух чисел является их частное.
отношение $18$ к $3$ может быть записано как:
отношение $5$ к $15$ может быть записано как:
С помощью отношения двух чисел можно показать:
- во сколько раз одно число превышает другое;
- какую часть представляет одно число от другого.
При составлении отношения двух чисел в знаменателе дроби записывают то число, с которым проводится сравнение.
Вспомним основное свойство дроби и применим его к отношению:
При умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, получаем отношение, которое равно исходному.
Рассмотрим пример, который иллюстрирует использование понятия отношения двух чисел.
Количество осадков в предыдущем месяце составляло $195$ мм, а в текущем месяце – $780$ мм. Во сколько раз увеличилось количество осадков в текущем месяце по сравнению с предыдущим месяцем?
Составим отношение количества осадков в текущем месяце к количеству осадков в предыдущем месяце:
Ответ: количество осадков в текущем месяце в $4$ раза больше, чем в предыдущем.
Найти сколько раз число $1 \frac$ содержится в числе $13 \frac$.
Готовые работы на аналогичную тему
Понятие пропорции
Пропорцией называется равенство двух отношений:
$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,
Правильную пропорцию можно преобразовать следующим образом:
Произведение крайних членов правильной пропорции равно произведению средних членов:
$a \cdot d=b \cdot c$.
Данное утверждение является основным свойством пропорции.
Справедливо и обратное утверждение:
Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная.
Если в правильной пропорции переставить средние члены или крайние члены, то пропорции, которые получатся, также будут правильными.
$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,
С помощью данного свойства легко из пропорции найти неизвестный член, если известны остальные три:
Читайте также: