Как сделать одз

Обновлено: 08.01.2025

Областью определения уравнения или областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) уравнения называется множество тех значений неизвестного, при которых имеют смысл его левая и правая части.

Во введении понятия ОДЗ особой необходимости нет, поскольку, как это следует из самого его определения, при решении любого уравнения мы не имеем права рассматривать значения неизвестного, не входящие в ОДЗ.

Уравнение может быть правильно решено, если в решении отсутствует даже упоминание об ОДЗ. И наоборот, верно найденная ОДЗ и последующий отбор корней по нему не гарантируют от ошибок. Универсальных рецептов здесь нет и быть не может. Более того, любая, даже в принципе полезная рекомендация, которая может быть истолкована как универсальная, превратившись в догму, принесет лишь вред, о чем, в частности, свидетельствует короткая, но поучительная история возникновения и распространения понятия ОДЗ.

(Посмотрите с точки зрения полезности нахождения ОДЗ примеры 1—8. Обратите внимание на то, что в уравнениях 3—7 даже лишние корни входят в ОДЗ.)

Разберем еще два примера, показывающих, что в одних случаях нахождение ОДЗ полезно при решении уравнения, в других — задача определения ОДЗ оказывается сложной и абсолютно ненужной.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Решение:

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную (проверьте) и совершенно ненужную задачу. Возведем уравнение в квадрат:

— лишний корень (проверка).

Область допустимых значений - множество переменных, при которых выражение имеет смысл. Значения переменных, при которых выражение теряет смысл, называют недопустимыми.

Когда выражение содержит две, три, и большее число переменных, можно говорить о парах, тройках и т.п. допустимых значений. Рассмотрим, например, выражение

со значениями $x=0$, $y=1$, $z=2$. Здесь мы имеем дело с тройкой переменных, которую можно обозначить как $(0, 1, 2)$. Эта совокупность является допустимой, поскольку в данном случае можно найти значение выражения:

Тройка же (1, 2, 1) недопустима, поскольку при подстановке значений в выражение в знаменателе окажется ноль.

Для выражения $\frac$ ОДЗ можно выразить как $(−∞, 4)∪(4, +∞)$, т.е. объединение числовых открытых множеств от отрицательной бесконечности до $4$ и от $4$ до бесконечности. Иными словами, как множество всех действительных чисел за исключением числа $4$.

ОДЗ можно определить не только через множества, но и через уравнения и неравенства, например $\frac$, где ОДЗ $x \neq y$ при произвольном $z$.

Следует иметь в виду, что термины "ОДЗ" и "область определения" не совпадают по смыслу. Область определения относится к функциям, а область допустимых значений - к выражениям с переменными. Однако при этом справедливо утверждение: область допустимых значений переменной $x$ для выражения $f(x)$ совпадает с областью определения функции $y=f(x)$.

Готовые работы на аналогичную тему

ОДЗ для элементарных выражений (умножение, деление, возведение в степень, логарифмы, тригонометрические операции) хорошо изучены. Так, выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (например, квадратного), должно быть неотрицательным, поскольку не существует действительных чисел, которые при возведении в четную степень давали бы отрицательное число.

Изучением корней четной степени из отрицательных чисел занимается особый раздет математики - теория комплексных чисел.

Как найти ОДЗ переменных для выражения $x^3 + 2xy − 4$?.

Возвести в куб можно любое число, равно как выполнить другие встречающиеся в данном примере арифметические операции (умножение, сложение, вычитание). Следовательно, можно вычислить значение данного выражения при любых значениях $x$ и $y$. Иными словами, выражение $x^3 + 2xy − 4$ имеет смысл при любых значениях его переменных. ОДЗ для него представляет собой множество пар $(x, y)$, где как $x$, так и $y$ могут быть любым числом.

Ответ:

$(x, y)$, где $x$ – любое, $y$ - любое.

Найти ОДЗ переменной x для выражения $\frac - \frac $.

В знаменателе одной из дробей, входящих в состав данного выражения, присутствует ноль, следовательно, ни одно значение переменной $x$ не позволит составить имеющее смысл выражение. Следовательно, данное выражение не определено ни при каких значениях переменной $x$.

Многие в школе при решении математических уравнений или неравенств, часто слышали, что учитель начинает объяснение решения с фразы: "Пишем ОДЗ". А никто не задавался вопросом: "Зачем?" Когда я задаю этот вопрос своим ученикам ответ как правило один: "Так учитель сказал." Крайне редко слышу ответ: "Чтобы отбросить ненужные решения."

Обычно в школах учителя под ОДЗ (хотя правильно говорить ОДЗП - область допустимых значений переменной или переменных) понимают множество значений переменной при которых определено уравнение/неравенство.

Но как известно любое уравнение (переносом с противоположным знаком) может быть сведено к виду

а неравенство к виду

и тогда ОДЗ(П) - это область определения функции f(x) - четкий математический термин. Поэтому зачем придумывать что-то новое.

А область (допустимых) значений функции f(x) - это образ области определения при применении функции f(x).

Ну это так лирическое отступление.

Почему же все таки не надо искать ОДЗ и как решать уравнения/неравенства?

Найти ОДЗ — область допустимых значений — задание, которое в алгебре встречается как в виде самостоятельных примеров, так и при решении уравнений, неравенств и их систем.

ОДЗ многочлена — любое значение переменной.

$2)\frac<<f(x)> >> \Rightarrow g(x) \ne 0$

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля.

Следовательно, ОДЗ дроби — все значения переменной, за исключением тех, в которых знаменатель обращается в нуль.

$3)\sqrt[<2n> ]> \Rightarrow f(x) \ge 0$

Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (в том числе, под знаком квадратного корня), должно быть неотрицательным.

Следовательно, ОДЗ выражения, содержащего переменную под знаком корня чётной степени — все значения переменной, при которых это выражение больше либо равно нуля.

Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (в том числе, под знаком квадратного корня) в знаменателе дроби, должно быть положительным.

То есть ОДЗ выражения с корнем чётной степени в знаменателе — множество значений переменной, при котором это выражение строго больше нуля.

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным.

Выражение, стоящее в основании логарифма, должно быть положительным и не равным единице.

Выражение, стоящее под знаком синуса, может принимать любые значения (ОДЗ синуса — любые значения переменной).

Выражение, стоящее под знаком косинуса, может принимать любые значения (ОДЗ косинуса — любые значения переменной).

$8)tgf(x) \Rightarrow f(x) \ne \frac<\pi > + \pi n,n \in Z.$

ОДЗ тангенса можно рассматривать как ОДЗ дроби

$tg x = \frac<<\sin x> >> \Rightarrow \cos x \ne 0$

$9)ctgf(x) \Rightarrow f(x) \ne \pi n,n \in Z.$

ОДЗ котангенса находим как ОДЗ дроби

$ctg x = \frac<<\cos x> >> \Rightarrow \sin x \ne 0$

$10)\arcsin f(x) \Rightarrow - 1 \le f(x) \le 1$

Выражение, стоящее под знаком арксинуса, должно быть не меньшим -1 и не большим 1 (то есть ОДЗ арксинуса — промежуток [-1;1]).

$11)\arccos f(x) \Rightarrow - 1 \le f(x) \le 1$

Выражение, стоящее под знаком арккосинуса, должно быть не меньшим -1 и не большим 1 (ОДЗ арккосинуса — промежуток [-1;1]).

Выражение, стоящее под знаком арктангенса, может принимать любые значения (ОДЗ арктангенса — любые значения f(x)).

$12)arcctg f(x) \Rightarrow f(x) \in R$

Выражение, стоящее под знаком арккотангенса, может принимать любые значения (ОДЗ арккотангенса — любые значения f(x)).

Выражение, стоящее в показателе степени, основание которой — положительное число, может принимать любые значения.

$15)<(f(x))^\alpha > $

\u041d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u041e\u0414\u0417 \u043d\u0430\u0434\u043e, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0438\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0438\u0437 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0430.
\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c (\u0445-2)
\u0420\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c x-2=0
\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0445=2, \u044d\u0442\u043e \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u041e\u0414\u0417
\u0435\u0441\u043b\u0438 \u0445 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d 2, \u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c 0,\u00a0 \u00a0\u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e ,\u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0435\u0442\u00a0\u0431\u0435\u0441\u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c">]" data-testid="answer_box_list">

ОДЗ- Область Допустимых Значений, т.е. МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ переменной , при котором выражение становится БЕССМЫСЛЕННЫМ. Бессмысленными считаются выражения, у которых 0 в знаменателе. Найти ОДЗ надо, чтобы исключить его из ответа.
Например, знаменатель (х-2)
Решаем x-2=0
получаем х=2, это и есть ОДЗ
если х будет равен 2, то знаменатель будет равным 0, знаменатель не может быть равен нулю ,потому что выражение станет бессмысленным

Читайте также: