Как сделать общий знаменатель у дроби
Приведение дробей к общему знаменателю – это замена дробей с разными знаменателями на равные им по величине дроби, но имеющие одинаковые знаменатели.
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом выполняется данная операция. Также разберем практические примеры для лучшего понимания изложенного материала.
Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю
Для того, чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, выполняем следующие шаги:
-
(если можно).
- Находим наименьшее общее кратное (НОК) обоих знаменателей.
- Находим дополнительный множитель для каждой дроби, равный результату деления НОК на знаменатель этой дроби.
Примеры
Пример 1
к наименьшему общему знаменателю.
Решение
Сократить данные дроби не получится, поэтому сразу переходим к шагу 2 описанного выше алгоритма.
Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей – это число 48.
Дополнительный множитель: для первой дроби со знаменателем 12 равняется 4 (48:12), для второй дроби со знаменателем 16 равен 3 (48:16).
Теперь числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на найденный для них дополнительный множитель.
Калькулятор приводит несколько дробей к общему знаменателю. Просто введите дроби и получите подробное решение и ответ. Можно вводить две, три дроби и более. Числители и знаменатели дробей должны быть натуральными числами.
Как привести дроби к общему знаменателю?
Чтобы выполнить с дробями такие операции, как сравнение, сложение и вычитание, дроби нужно привести к общему знаменателю.
- Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Пусть оно равно .
- Числитель и знаменатель первой дроби умножить на число
- Числитель и знаменатель второй дроби умножить на число
Пример. Привести к общему знаменателю дроби и
Решение. Находим наименьшее общее кратное знаменателей дробей. НОК(12, 8) = 24. Это число и будет новым знаменателем.
Чтобы знаменатели обеих дробей стали равны 24, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 2 = 24:12, а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 24:8.
Приводим к общему знаменателю первую дробь:
Приводим к общему знаменателю вторую дробь:
Общий знаменатель трёх дробей
Если к общему знаменателю требуется привести три дроби и более, то алгоритм действий в таком случае аналогичен алгоритму для двух дробей.
- Находим наименьшее число , которое делится на знаменатели всех дробей (наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей). Найденное число будет новым знаменателем.
- Домножаем числитель и знаменатель каждой дроби на частное
Чтобы разобраться лучше, рассмотрим пример.
Пример. Привести к общему знаменателю три дроби и
Решение. Сначала найдём наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Число 12 делится на знаменатели всех дробей, и это наименьшее такое число. Поэтому НОК(3, 4, 6) = 12. Число 12 будет новым знаменателем.
Чтобы знаменатели дробей стали равны 12, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 4 = 12:3, числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 12:4, а числитель и знаменатель третьей дроби — на 2 = 12:6.
Приводим дроби к общему знаменателю и получаем:
Всё — дроби приведены! Пожалуй, самая большая сложность — правильно найти (или угадать) число, которое будет новым знаменателем.
Общий знаменатель – это число всегда положительное, на которое делятся знаменатели данных дробей.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число, кратное знаменателям данных дробей.
Дополнительный множитель – это число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вы уже знаете, что дробь в математике – это число, состоящее из одной или нескольких частей единиц, и умеете определять и называть часть целого.
Вопрос: какая часть яблока на картинке?
Вопрос: какая часть пиццы осталась на тарелке?
Ответ: .
Или, например, круг разделили на восемь частей. Четыре части закрасили в другой цвет: значит, закрашено части круга.
Но, если посмотреть внимательнее, четыре доли круга, разделённого на восемь частей, – это ровно половина. Значит, дробь равна дроби .
Вспомним основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Дроби и имеют разные знаменатели, но их можно привести к общему знаменателю.
Для этого найдём число, которое делится на 8 и 3, – например, число 24.
Дополнительный множитель обычно пишут слева над числителем:
Приведём дроби к знаменателю 24. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3.
Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8.
Дробииприведены к общему знаменателю.
Далее приведём дроби и к наименьшему общему знаменателю.
Так как наименьшее общее кратное (НОК) чисел 36 и 54 равно 108, то наименьший общий знаменатель этих дробей также равен 108.
Соответственно, чтобы привести дробь к знаменателю 108, необходимо и числитель, и знаменатель дроби умножить на 3:
Чтобы привести дробь к тому же знаменателю, умножаем и числитель, и знаменатель этой дроби на 2:
Таким образом, алгоритм приведения дробей к наименьшему
- деление на простые множители знаменателей дробей;
- поиск наименьшего общего кратного(НОК)для знаменателей этих дробей;
- приведение дроби к общему знаменателю, то есть умножение и числителя, и знаменателя дроби на множитель.
Итак, сегодня мы научились находить наименьший общий знаменатель дробей двумя способами:
- первый способ – перемножить знаменатели этих дробей;
- второй способ – найти наименьшее общее кратное этих дробей.
Тренировочные задания
№ 1. Для дроби выберите из представленных равную ей дробь со знаменателем 6; 15; 102:
Чтобы привести дробь к знаменателю 6, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на дополнительный множитель 2:
Чтобы привести дробь к знаменателю 15, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на дополнительный множитель 5:
Чтобы привести дробь к знаменателю 102, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на дополнительный множитель 34:
Следовательно, правильный ответ:
№ 2. Какое число является наименьшим общим знаменателем дробей и ?
Одна из важных тем в математике, которую проходят в 5 классе, — приведение дробей к общему знаменателю. Обыкновенные дроби состоят из двух частей — числителя (верхней) и знаменателя (нижней). Знаменатели в дробях может быть одинаковым — это и называется общий, а могут быть разными, и в таком случае их можно привести к общему с помощью определенных действий.
Общий знаменатель
Самый простой способ, как привести дробь к общему знаменателю, — верхнюю и нижнюю части первой дроби умножить на значение в знаменателе второй, а верхнюю и нижнюю часть второго дробного числа — на значение в знаменателе первой. Проверочное правило, действующее в этом случае: дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.
Даны две дроби: 3/13 и 3/7. После выполнения необходимых действий получится: 3/13*7 = 21/91, 3/7*13 =39/91.
Общий знаменатель (ОЗ) — это любое натуральное число, которое является всеобщим кратным всех данных дробей. Иными словами, это значит, что ОЗ может быть любое число из натуральных, которое обязательно будет делиться на знаменатель каждого дробного числа. Допустим, есть две обычных дробных соотношения 4/8 и 5/10. ОЗ в этом случае может быть любым значением, кратным 8 и 10. А конкретно, это значения: 80, 160, 240, 320, 400 и так далее.
Дано 3 дробных значения: 1/5, 3/10 и 9/15. Вопрос: может ли ОЗ быть числом 330? Ответ: да, потому что оно делится на знаменатель каждого соотношения без остатка: 330/5 = 66, 330/10 = 33, 330/15 = 22.
НОЗ и НОК
При работе с дробями используются наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее натуральное число среди всех ОЗ ряда дробных чисел и наименьшее общее кратное (НОК) — это самый меньший общий делитель данного ряда чисел.
Наименьшее общее кратное — это НОЗ этого ряда. К нему можно прийти поиском НОК.
Например, необходимо провести следующую операцию для двух дробных значений: 7/16, 19/6. Нужно узнать, какой НОК у 16 и 6. Простые множители этих чисел:
НОК (16, 6) =8*2*3= 48.
Число 48 и есть искомый НОЗ.
Существует простое правило о том, как перевести дробное число к НОЗ. Вычисления проводятся по порядку:
- Найти НОК.
- Для каждого дробного числа из ряда определить дополнительный множитель. Определить его можно с помощью деления НОЗ на знаменатель каждой из дробей.
- Умножить обе части каждой дроби на их дополнительные множители.
Пример. Есть 2 дробных значения: 3/14 и 18/30. Теперь можно воспользоваться правилом, для того чтобы найти НОЗ:
- Найти НОК: 14 = 2*7; 30 = 5*2*3; НОК (14,32) = 5*2*7*3 = 210;
- Найти дополнительные множители: 210/14 = 15; 210/30 = 7;
- Перемножить верхнюю и нижнюю части с дополнительными множителями: 3*15/14*15 = 45/210; 18*7/30*7 = 126/210.
Примеры с несколькими дробями
Правило поиска ОЗ и НОЗ действует также и в отношении нескольких дробных чисел в ряде. Есть три значения: 3/9, 8/11 и 10/12. Для того чтобы переводить их, нужно совершать те же действия, которые представлены в правиле:
НОК (9; 11) = 99; НОК (99; 12) = 39; НОК (9; 11; 12) = 396;
396/9 = 44; 396/11 = 36; 396/12 = 33;
3*44/9*44 = 132/396; 8*36/11*36 =288/396; 10*33/12*33 =330/396;
Приводить дробные соотношения к ОЗ требуется во многих случаях. Вычисление этой величины необходимо, чтобы получить разность дробей, провести их сложение, умножение или деление, а также при решении задач на доли и проценты, так как процентные соотношения — это обыкновенные выражения, которые содержат дробные соотношения.
Читайте также: